抛物线顶点坐标

1

抛物线顶点坐标的求法（公式法）

1、二次函数表达式的“一般形式”为；李丹与王涓（2019届bobo）

2、二次函数表达式的“配方形式”为；

一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标

1、先把“一般形式”的二次函数cbxaxy2（0a）转化成“配方形式”

为，再依据由“配方式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标

为，我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”；

①、求二次函数35x2xy2－的顶点坐标以及最值？

解：由顶点坐标公式得：

2a

b

x－

顶横

；



4a

b4ac

y

2－

顶纵

；

∴顶点坐标为；

又∵抛物线开口向，有最点，∴y有最值；

即：当x时，；

②、求二次函数3112x2xy2－－的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述？

解：由顶点坐标公式得：

2a

b

x－

顶横

；

把

顶横

x代入函数表达式得：

顶纵

y

；∴顶点坐标为；

又∵抛物线开口向，所以，

在对称轴的左侧，即当自变量x时，y的值随x的增大而；

在对称轴的右侧，即当自变量x时，y的值随x的增大而；

③、求二次函数3112x2xy2－－的顶点坐标、并在当4＜5x时，求函数y的最值？

解：由顶点坐标公式得：

2a

b

x－

顶横

；

∴可设抛物线的表达式为：kxy2，易求k；

∴原表达式化为配方式为，则顶点坐标为；

又

顶横

x，不在“4＜5x”的范围内，∴函数y的最值“不在”顶点处取，

由图形可知，当x时，

min

y；

2

变式：如果把“4＜5x”改为“5x4”，问y有最大值吗？答：；

点评：第①题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求

顶横

x和

顶纵

y（不妨命名为：全求分别法）；

第②题是先求

顶横

x，然后代入函数表达式，再求出

顶纵

y（不妨命名为：半求代入法）；

第③题是先求

顶横

x，然后“拼凑”出配方式，再求出ky

顶纵

（不妨命名为：半求拼凑法）；

以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！！！

二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标

1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴？

答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于轴的直线，叫做抛物线的对称轴；

第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的线，叫做抛物线的对称轴；

2、二次函数的表达式的“交点形式”为

21

xxxxay－－（0a）.

其中，“a值”与“一般形式”cbxaxy2（0a）中“a值”的相等，而“

1

x、

2

x”

分别代表抛物线cbxaxy2（0a）与x轴的交点横坐标，即是说“

1

x、

2

x”是一元二次方

程0cbxax2（0a）的二根，所以抛物线的“交点形式”，也可称“二根形式”。

3、重要思路：如果抛物线cbxaxy2（0a）与x轴有两个交点，分别为A（

1

x，0）、

B（

2

x，0），那么线段AB的“垂直平分线”必为抛物线的，这条对称轴的表达式为：

直线

顶横

也x

2

xx

x21



（关于这一结论，可以通过举例，来加以理解！）。

知道了

顶横

x，就可以根据表达式

21

xxxxay－－，利用“半求代入法”，求出“

顶纵

y”，

岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式”khxay2，岂不美哉！

①、求二次函数6x1x3y－的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式.

解：联立

得：06x1x3－，解得：

1

x，

2

x；

∴抛物线的对称轴为：直线x；

把

顶横

x代入6x1x3y－，得

顶纵

y；

∴顶点坐标为，∴当x时，；

则抛物线的配方形式为；













0yx

6x1x3y

轴：

－抛物线：

3

②、求抛物线16x9xy2－－的顶点坐标，并在x1－＜4的范围内，求函数y的最值？

③、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价

x(元)满足关系：2x140m－，

(1)、写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

(2)、如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多

少？

4、提出问题：如果抛物线cbxaxy2（0a）与x轴“没有交点”，那么怎样由“交点式”

来求抛物线的顶点坐标呢？

思路：假设抛物线与平行于x轴的“某条直线”：如my有两个交点，

则联立

得：mcbxax2，即：0mcbxax2－，设此方程的二根为

1

x、

2

x，

由韦达定理可知：

a

b

a

b

xx

21

－

原始

原始

－，

而点A（

1

x，m）、点B（

2

x，m）必然是抛物线上的一对“对称点”，











myx

cbxaxy2

轴：

抛物线：

4

∴对称轴为：直线

顶横

也－x

2a

b

2

xx

x21





然后把

2a

b

x－

顶横

代入抛物线表达式cbxaxy2可得：

4a

b4ac

y

2－

顶纵



∴抛物线的顶点坐标为；

启示：无论抛物线与x轴是否有公共点，其顶点横标，即对称轴直线“永远”为：

2a

b

x－

顶横

，

再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标！！！

三、应用练习

1、函数7x3xy2－－化为配方式为，可知顶点坐标为，

当x时，y有最值为；

2、抛物线5x3xy－－先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式

为，新抛物线的顶点坐标为；

3、已知点A（6－，

1

y）、B（5－，

2

y）、C（1－，

3

y）在抛物线k24xay上，且直线axy

经过第二、四象限，试比较

1

y、

2

y、

3

y的大小关系（用“＜”来连接）；

4、抛物线3x6x3y－－的顶点坐标为，当自变量x的取值范围满足：

x2＜5时，函数y的取值范围满足：；

5、已知抛物线cbxaxy2的对称轴是直线2x－，函数y的取值范围是9y－，则抛物线

的开口向，若抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），则抛物线的表达式

为，它与x轴的两个交点的坐标为；

6、已知抛物线cbxaxy2与xx2y2的开口方向相反，开口大小程度一样，且它与直线

3y的两个交点的横坐标分别为15和－－，则抛物线的表达式为，

它与x轴的两个交点的距离为；

7、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1cm的速

度移动，点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果

P、Q同时出发，问经过几秒钟△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

B

Q

C

P

A