魔牌

第1讲解决“和、差、倍的问题

一、和倍问题，顾名思义就是已知大小两个数的和以及这两个数之间的倍数

关系，求这两个数分别是多少的应用题。

这部分内容主要涉及这样几个数量：和、一份数（或一倍量）、倍数、大

数、小数。

其数量关系式是：

量数之和÷（大数份数＋小数份数）=一份数（小数）

一份数×倍数=几倍数（大数）或两数之和-小数

解答这类应用的关键是把小数作为标准数（一份），再确定大数是几份，求

出份数之和，最后求出大、小数。解答这类应用题常用的方法是画线段图。

例1、甲、乙二人共加工零件100个，乙加工的零件个数是甲的4倍。甲、

乙各加工零件多少个？

@分析：关键是确定1份这个标准量。如果把甲加工零件个数看作1份，则

乙就应该是4个1份，也就是4份，甲和乙的份数之和就是5份（1＋4），用两

数之和除以两数份数之和就可以求1份量，就是甲是多少，然后再求出4份是多

少，也就是乙加工的零件个数。

解：

例2、某校学生共植树160棵，其中男生植树的棵树是女生植树棵树的2倍

多10棵。男、女生各植树多少棵？

@分析：女生植树棵树是1倍量，男生植树棵树是女生植树棵树的2倍，还

多10棵。如果从总数中去掉10棵，即160-10=150（棵），150棵对应的就是1

＋2=3倍，即可转化为例1形式，从而先求出女生植树棵数。

解：

例3、鸡和鸭共180只，其中鸡是鸭的3倍少20只。鸡和鸭各多少只？

@分析：把鸭的只数看作1倍量，如果把鸡的只数也增加了20只，那么鸡

的只数就正好是鸭的3倍，这时，鸡和鸭的总只数也增加了20只，变成180＋

20=200（只），正好是鸭的只数的4倍，从而求出鸭的只数。

也可以理解为：鸡和鸭的总数180只加上少的20只（180＋20=200只）以

后，总只数正好是鸭的只数的4倍，从而求出鸭的只数。

解：

例4、学校图书馆买来文艺书和科技书共480本，其中科技书比文艺书多2

倍。文艺书和科技书各多少本？

@分析：文艺书为1倍量，科技书比文艺书多2个1倍量，相当于文艺书的

1＋2=3倍。总本数480本对应的应是1＋1＋2=4倍，就可以求出文艺书的本数。

例5、甲、乙两数之和是420，其中甲的个位是0，若把0去掉，则甲是乙

的2倍。甲、乙各是多少？

@分析：已知甲的个位是0，若把0去掉，要是甲和乙相等，说明甲是乙的

10倍。而此时，甲还是乙的2倍，说明甲应该乙的20倍（10×2），把乙作为1

倍量，则甲、乙份数之和应是1＋20=21，即21份对应总和420，用除法即可求

出乙数，乙的20倍就是甲数。

解：

二、差倍问题，顾名思义就是已知两个数的差以及这两个数之间的倍数关系，

求这两个数各是多少的电信应用题。它是应用两数相差多少也就是这两个相差几

倍，从而推出一倍数是多少。

本讲主要涉及差、倍数、大数、小数、1倍数几个概念。

差倍问题的解题思路与和倍问题相似，先要确定1倍量，然后找到两数的差

以及对应的份数，再用差除以它所对应的份数，求出一份数，然后再求出另一个

数。

解题关键是找出两个数的差以及份数的差，求出份是多少。

基本公式：差÷（倍数-1）=1倍数（小数）

小数×倍数=大数

例1、爸爸比小明大24岁，爸爸的年龄是小明年龄的4倍，爸爸和小明的

年龄各是多少岁？

@分析：把小明年龄看作1倍量，爸爸的年龄就是4倍量，爸爸比小明多

4-1=3（倍），又知道爸爸比小明的年龄多24岁。由此可知，多的3倍正好是24

岁，就能求出1倍量是多少，也就是小明的年龄，然后再求出爸爸的年龄是多少

岁。

解：

例2、鸡的只数比鸭的只数多250只，鸡的只数是鸭的只数的3倍多50只，

鸡、鸭各是多少只？

@分析：把鸭的只数看作1倍量，如果把鸡的只数减去50只，那么鸡的只

数就比鸭的只数多250-50=200（只），鸡比鸭多3-1=2倍，200只对应的是2倍，

可以求出1倍量即鸭的只数，进而求出鸡的只数。

解：

例3、苹果树比梨子树多28棵，而且苹果树比梨树的3倍少12棵。苹果树、

梨树各多少棵？

@分析：苹果树比梨树多28棵，如果苹果树再增加12棵，苹果树就比梨树

多28＋12=40（棵），这时苹果树就是梨树的3倍，苹果树就比梨树多3-1=2（倍），

2倍多40棵，就可以求出1倍量，也就是梨树的棵数，进而可以求出苹果树棵

数。

例4、第一根电线长36米，第二根电线长24米。两根电线用去同样的长度

后，第一根电线剩下的长度的3倍。两根电线各剩下多少？

@分析：在没用去之前，第一根电线比第二根电线长36-24=12米，因为两

根电线用去的长度相等，所以第一根电线剩下的长度仍然比第二根电线剩下的长

度多12米，把第二根电线剩下的长度作为1倍量，第一根电线剩下的长度就是

3倍量，第一根电线剩下的长度比第二根剩下的长度多3-1=2倍，用两数差12

÷2=6（米）就是第二根电线剩下的长度。

解：

例5、甲桶内有油120千克，乙桶内有油30千克。现在给甲、乙加入同样

多的油后，甲桶内油的重量是乙桶内油的重量的3倍。甲、乙各加入多少千克油？

@分析：加入油之前，甲桶比乙桶多120-30=90（千克），因为加入的油重量

相等，所以加入油后，甲桶还是比乙桶多90千克，而此时，甲桶油重量是乙桶

油重量的3倍，甲桶油应比乙桶油重量多3-1=2倍，用90÷2即可求出1倍的量，

即乙桶加入以后重多少，然后再求出加入了多少千克。

解：

三、和差的问题：已知两个数的和与它们的差，求这两个数各是多少的应用

题，叫做和差应用题。

这部分内容涉及和、差、大数、小数几个基本概念。

解题的基本方法是：

（和＋差）÷2=大数和-大数=小数

（和-差）÷2=小数和-小数=大数

解答和差应用题的关键：首先找出两个数的和是多少，再找出这两个数的差

是多少，然后用两数的和加上两数的差就等于大数的2倍，除以2可求出大数；

两数的和减去两数的差就等于小数的2倍，除以2可求出小数。而题中“差”与

“和”往往不直接给出，需要通过条件转化才能求得。

画线段图仍是解答和差问题的好办法。

例1、有两筐桔子，共重120千克，大筐比小筐重30千克。两筐桔子各重

多少千克？

@分析：120千克就是两数之和，30千克就是两数之差，也就是大筐比小

筐多的千克数，用（和＋差）÷2即可求出大数，就是大筐重量。（和-差）÷2

就是小筐重量。

解：

例2、两层书架共放书88本，如果从上层拿出10本给下层，则两层书一样

多。上层、下层各放书多少本？

@分析：从线段图上可以看出，上层给下层10本，上下层相等，说明原来

上层应该比下层多2个10本，即10×2=20(本)，也就是上下两层的差是20，又

知两层共放88本，即已知上下两层之和是88，和与差已知，可义求出原来各放

多少本？

解：

例3、两个连续单数的和是200，这两个单数各是多少？

@分析：连续单数是指像1、3、5、7、9、11这样的数，仔细观察可以发现，

每两个连续单数之间总是相差2，如3-1=2，,5-3=2，从题意可知这两个单数的和

是200，两数之和与两数之差都已知，可以求出这两个数。

解：

例4、姐姐和弟弟共有贺卡80张，如果姐姐给弟弟3张后，还比弟弟多4

张。姐姐和弟弟原来各有多少张？

@分析：姐姐给弟弟3张，说明姐姐比弟弟多2个3张即3×2=6（张），又

知姐姐给过弟弟后，还比弟弟多4张，可知姐姐原来一共比弟弟多6＋4=10（张）

即3×2＋4=10（张），这也就是姐姐与弟弟贺卡的数量差，题中知道二人贺卡张

数和，可以求出原来两人各多少张。

解：

例5、红球、黄球共100个，如果红球拿出24个，黄球比红球多16个。红

球、黄球原来各有多少个？

@分析：红球拿出24个后，黄球比红球多16个，可以知道红球要比黄球多

24-16=8（个）也就是两数之差，又知两数之和是100个，可以求出红球、黄球

原来各是多少个？

解：

练习一

1、一个长方形，周长是48厘米，长是宽的3倍，求这个长方形的面积。

2、有两堆木料，第一堆50根，第二堆70根，从第一堆拿多少根木料到第

二堆，才可使第二堆木料数是第一堆的3倍？

3、师傅和徒弟共加工零件100个，师傅加工的零件个数是徒弟的2倍少20

个。师傅和徒弟各加工零件多少个？

4、李新有邮票45张，王磊有邮票30张。要使李新的邮票数是王磊的2倍，

那么王磊要给李新多少张邮票？

5、甲乙两数之和是99,乙数末尾添上0后就和甲数相等。甲、乙各是多少？

6、陈军和张军两人共用72元购买奥运体育彩票，陈军买彩票的钱数是张军

的3倍少8元。问两人购买奥运体育彩票各用了多少元？

7、妈妈的年龄比小明大24岁，今年妈妈的年龄正好是小明年龄的4倍。今

年妈妈和小明各多少岁？

8、某饲养场养鸡只数比养鸭只数多1000只，养鸡的只数是养鸭只数的3

倍少200只。饲养场养鸡、鸭各多少只？

9、某厂男工人数比女工人数的3倍多15人，男工人数女工人数多189人。

男、女工各有多少人？

10、甲、乙二人存款相等，如果甲取出1000元，乙存入2000元，那么乙的

钱数是甲的钱数的3倍。甲、乙原来各存款多少元？

11、两根电线一样长，如果从第一根上剪21米给第二根电线，这时，第二

根电线的长度正好是第一根的4倍。两根电线原有多长？

12、两根同样长的铁丝，第一根用去80厘米，第二根用去20厘米。结果所

剩铁丝，第二根的长是第一根的3倍。原来两根铁丝各长多少米？

13、某校男生、女生共816人，男生人数比女生人数多74人，男、女生各

是多少人？

14、甲、乙两箱水果共100千克，如果从甲箱中取出8千克放入乙箱中，这

时，甲、乙两箱水果重量相等。两箱原来各有水果多少千克？

15、一个长方形操场的长与宽相差50米，小军沿操场跑一周280米。这个

操场的长与宽各是多少米？

16、一厂、二厂共有工人606人，若一厂增加46人，二人减少54人，两个

厂工人人数相同。一厂、二厂原来各有工人多少人？

17、王军上服装超市买衣服，花85元钱买了一条裤子和一件上衣。已知上

衣比裤子贵15元，买上衣花了多少元？

第2讲数学魔牌二十四

“数学魔牌二十四”也称为“速算二十四”。它源于一种扑克游戏：将54张

扑克去掉2张“王”，剩下的扑克便是1~13的4种不同图案组合。游戏中是任意

抽取四张扑克牌，在很短的时间内运用＋、-、×、÷四则运算，有时还需要加

上括号，使最后得数是24。这是一个发展智力、培养能力的很好的游戏，它需

要有敏捷的思维，灵活的计算技巧，并经济加以练习才行。“速算二十四”有许

多奇妙的组合，非常有趣，并被人们广泛地应用。

首先来介绍一下数的组合：

第一种组合：4张牌数字相同。如：

(1)3、3、3、3

3×3×3-3=24

(2)5、5、5、5

5×5-5÷5=24

第二种组合：4张牌两两数字相同。如

(1)1、1、4、4

（1＋1＋4）×4=24

(2)2、2、3、3

（2＋2）×（3＋3）=24

(3)4、4、5、5

5×5-4÷4=24

(4)5、5、7、7

5＋5＋7＋7=24

第三种组合：4张牌是连续自然数。如：

(1)1、2、3、4

（1＋2＋3）×4=24

(2)5、6、7、8

【5-（8-7）】×6=24

第四种组合：4张牌中有两张数字相同，两张数字不同。如：

(1)2、2、5、6

（5-2÷2）×6=24

(2)1、4、4、6

（1＋6）×4-4=24

第五种组合：4张牌的数字都不相同。如：

(1)8、7、11、6

【8-（11-7）】×6=24

(2)7、5、2、6

（7-5）×6×2=24

还有许多奇妙的组合，这里先介绍这几种。小小的数字，简单的四则运算符

号，能使数学变化多端，其乐无穷，到底有什么窍门呢？下面我们就来通过具体

例子来进行一些探索。

例1、2，2，4，8（1）把8固定。（2）把4固定。（3）2固定。

@分析：得数是24必须先想两个数如何凑24。3×8=244×6=242×12=24

1×24=2424÷1=2448÷2=2420＋4=2416＋8=24等等。

解：

【有专家统计，数学魔牌凑24共有404道题，变化无穷的数字和符号，带着

你的思维像在跳体操，一会儿是这种组合，一会是那种组合，十分美妙。其中方

法用的最多的还是3×8,4×6,2×12。

下面我们再探索一下别的窍门。

1、抓同数相除得1，相邻自然数相减得1。

在404道魔牌题目中，有些题目很特别，它们都与1有关，下面我们就巧妙

地抓住1解开一道魔题。

例2、3，6，7，8（1）把8固定。（2）把6固定。

解：

例3、5，5，6，6

解：

当魔牌中4个数里出现两个相同数时，可将两个相同数固定，将其他两个凑

成相应的数来凑成24。

例4、（1）2、3、3、5把3固定（2）2、2、3、8把2固定（3）2、5、

6、6把6固定（4）4、7、8、8把8固定（5）3、4、4、9把4固定

解：

练习二

1、(1)4、4、4、4(2)6、6、6、6

2、(1)1、1、5、5(2)1、1、6、6

(3)2、2、4、4(4)2、2、7、7

(5)3、3、5、5(6)4、4、8、8

(7)5、5、8、8(8)5、5、10、10

3、(1)2、3、4、5(2)3、4、5、6

(3)4、5、6、7(4)6、7、8、9

4、(1)1、2、6、6(2)2、2、4、9

(3)3、3、4、7(4)3、4、4、4、

5、(1)3、5、5、8(2)2、3、4、8

(3)3、5、6、9(4)4、5、3、3

(5)1、2、9、11(6)7、2、5、6

第三讲相遇、行船的问题

一、小学数学应用题中，行程问题是其中的一大主要学习内容，而且在各种

数学竞赛中都离不开这类应用题。它内容丰富，形式多样，变化多端，贴近生活，

同学们学起来饶有趣味，是数学学习中的一大快餐。

行程问题所涉及的其本数量关系式是：

速度×时间=路程路程÷时间=速度路程÷速度=时间

相遇问题和追及问题是行程问题中的两种主要类型。这一讲我们先来学习相

遇问题。

相遇问题可有两种情况：相向相遇和反向相遇。一般情况，相向相遇的形式

多一些，作为主要学习内容。它的特点是：两个运动着的物体从两地出发，相向

运动，越行越接近，到一定时候二者可以相遇，两个运动物体同时起行，相遇时

所用的时间相同。

例1、小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相距810米。两人同时从

家中出发相向而行，小秋每分钟走40米，小冬每分钟走50米，问：（1）他们经

过多长的时间相遇？（2）5分钟时，他们还相距多少米？（3）15分钟时他们

相距多少米？

@分析：（1）根据题意，小秋和小冬家相距810米，称为总路程。小秋每分

走40米，小冬每分走50米，可知小秋和小冬同时走1分钟共行路程是40＋50=90

（米），我们把它称为速度和，810米里有几个90米就是走了几分钟。

解：

@分析：（2）根据题意，小秋和小冬每分钟共行40＋50=90（米），5分钟可

以行90×5=450（米），用总路程减去两人行了的路程就是还没有行的路程，也

就是他们还相距多少米。

解：

@分析：根据题意，15分钟时他们相距多少米，就是他们相向走了9分钟

相遇，这时他们相距为0，然后相背（或反向）而行，又走了15-9=6（分钟），

这时两人反向相离的路程。

解：

￥根据以上例子，我们可以总结出相遇问题中数量之间的基本关系式是：

速度和×相遇时间=总路程

总路程÷速度和=相遇时间

总路程÷相遇时间=速度和

总路程÷相遇时间-一个速度=另一个速度

解相遇问题，我们必须熟练掌握有关的数量关系式，此时，应借助于线段图

来直观地分析和理解题意，以突破题意的难点。

例2、甲、乙两人骑自行车同时从A、B两地出发，相向而行，甲每分钟行

200米，乙每分钟行220米，15分钟后两人相遇，求A、B两地的距离。

@分析：此题根据数量关系就能直接求出，求A、B两地的距离就用速度和

×相遇时间=总路程。

解：

例3、一辆客车和一辆货车同时从630千米的两地相相向而行，客车的速度

是每小时50千米，货车的速度是每小时55千米，问几小时后两车相距105千米？

@分析：两车在相距630千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某

一时刻两车相距105千米，这时两车共行的路程是630-105=525（千米），然后

根据总路程÷速度和=相遇时间

解：

例4、慢车从甲地开往乙地，开出1小时后，离甲地40千米，这时，快车

从乙地开往甲地，快车开出3小时后两车相遇。已知甲、乙两地相距340千米，

求快车的速度。

@分析：慢车开出1小时后，离甲地40千米，说明慢车的速度为每小时40

千米。也说明慢车比快车先出发1小时，行了40千米后，快车才出发。那么快

车用了3小时与慢车相遇，这个3小时是两车共同用的时间。共同行的路程

340-40=300（千米），然后用路程÷相遇时间-一个速度=另一个速度进行求解。

解：

例5、甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行41

千米，乙车每小时行45千米，甲车先出发2小时后，乙车才出发。乙车行几小

时后与甲车相遇？

@分析：甲车先出发2小时，所行的路程是41×2=82（千米），这时乙车才

出发，那么甲、乙同时相向而行的路程是770-82=688（千米），然后用路程÷速

度和=相遇时间，便可求出乙车用的时间。

解

二、行船问题是行程问题中的一种特殊的题型，它是指船在流水中航行的问

题。除了具有的路程、速度和时间之间基本的数量关系外，同时还涉及水流的问

题。

行船问题涉及的数量有：船速、水速，顺水速度和逆水速度。它们的含义是

这样的：船在静水中航行的速度叫船速；江河水流动的速度叫水速；船从上游向

下游顺水而行的速度叫顺水速度；船从下游逆水而行的速度叫逆水速度。

各种速度之间的关系：

顺水速度=船速＋水速

逆水速度=船速-水速

（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速

（顺水速度-逆水速度）÷2=水速

例1、甲、乙两港间的水路长270千米，一只船从甲港开往乙港，顺水9小

时到达，从乙港返回甲港，逆水15小时到达，求船在静水中的速度和水流的速

度。

@分析：根据题意，要想求出船速和水速，必须先求出顺水速度和逆水速度，

顺水速度用路程÷顺水时间求得：270÷9=30（千米/小时），逆水速度用路程÷

逆水时间求得：270÷15=18（千米/小时），然后根据上面的基本数量关系求出船

速和水速。

解：

例2、一艘船顺水行360千米需用9小时，水流速度为每小时15千米，这

艘船逆水每小时行多少千米？这艘船逆水行这段路程需用几小时？

@分析：由顺水行360千米需用9小时，可以求出顺水的速度为：360÷9=40

（千米/小时），由顺水速度每小时40千米和水流速度每小时15千米，可以求出

船在静水中的速度为：40-15=25（千米/小时），再由船速每小时25千米和水流

速度每小时15千米，可以求出逆水速度为：25-15=10（千米/小时），那么这艘

船逆水行360千米需用的时间为360÷10=？小时。

解：

例3、一艘轮船从甲码头开往乙码头，顺水而行每小时行28千米，返回甲

码头时逆水而行用了8小时，已知水速是每小时4千米，甲、乙两码相距多少千

米？

@分析：根据顺水速度-水速=船速，可求出船在静水中的速度为：28-4=24

（千米/小时）。再根据船速-水速=逆水速度，可求出逆水速度为：24-4=20（千米

/小时）。最后由逆水速度×时间=路程求出两码头的距离：20×8=160（千米）。

解：

例4、一条大河的水流速度是每小时3千米，一只船在河中行驶，如果船在

静水中的速度是每小时行13千米，那么这只船在河中顺水航行160千米需要几

小时？如果按原航道返回，需要几小时？

@分析：求顺水航行160千米需要几小时，必须先求出顺水的速度。由船速

＋水速=顺水速度，求出顺水速度为13＋3=16（千米/小时）。再用160÷16=10

（小时），求出了顺行需要的时间；按原航道返回，船程仍是160千米，要求逆

回需要时间，必须先求出逆水速度。由船速-水速=逆水速度，求出逆水速度为

13-3=10（千米/小时）。再用160÷10=16（小时），求出了逆行需要的时间。

解：

练习三

1、两辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，一辆摩托车每小时行62千米，另

一辆摩托车每小时行65千米，经过5小时相遇。甲、乙两地相距多少千米？

2、A、B两地相距70千米，小孙和小万分别从AB两地骑自行车同时出发，

相向而行，小孙每小时行18千米，小万每小时行17千米，问两人几小时后相遇？

3、一个圆形跑道的周长是500米，两个学生同时从同地相背而行。甲每分

钟走65米，乙每分钟走60米，经过几分钟才能相遇？

4、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距800千米的两地出发，相向而行，汽

车每小时行45千米，摩托车每小时行55千米，6小时后两车还相距多少千米？