韩信点兵问题

小学数学文化丛书《历史与数学》

《韩信点兵》教学设计

教学内容：小学数学文化丛书《历史与数学》第115-119页的内容

教学目标：

1、让学生了解韩信点兵(物不知数)问题的由来。

2、让学生经历解决韩信点兵(物不知数)问题的探索过程,并能自主尝

试运用古代方法解决问题,掌握剩余定理，拓展学生解题思路。

3、让学生了解列举法、化繁为简等数学思想的方法，从而培养学生的

综合思维能力。

4、学生能在了解中国古代光辉灿烂的数学成就中,开阔数学视野,提高

数学素养,增强爱国主义情感。

教学重点：

掌握剩余定理

教学难点：

探索剩余定理

课前准备：

课前准备:生:课前浏览、阅读有关汉朝大将韩信的历史知识。

师：教学PPT

教学步骤：

一、情境导入

1、课前，老师请同学们通过阅读书本、上网浏览，了解有关汉朝大将

韩信的历史故事，你了解到哪些内容，先让我们来聊一聊吧。指名交流。

2、播放《韩信点兵》的故事

师：秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信带领1500名将士与楚王大将

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李锋交战。韩信的部队与楚将军大战一场，死伤四五百人。还剩多少人士

兵，再次交战能胜利吗？韩信立即命令士兵排队，清点人数。令士兵3人

一排，还多2人；令士兵5人一排，还多3人；令士兵7人一排，还多2

人。韩信胸有成竹地说：我军有1073名勇士，敌人不足五百人，我们一定

能打败敌人。

课件：士兵原有1500人，死伤四五百人，现令士兵排队。士兵3人一

排，还多2人；士兵5人一排，还多3人；士兵7人一排，还多2人，问

还剩多少人？

3、你们能一下算出这个数据吗？（不能）这里面有着数学奥秘。想去

探索吗？这就是我们今天要探究的韩信点兵。板书：韩信点兵当时，韩

信说出这个数字时，大家就很惊讶问：你是怎么算的呢？韩信高兴地说：

孙子算经里早有这个算法了。

课件出示：孙子算经

4、只要我们能把这个问题解决了，韩信点兵这个问题就一定能受到启

发。也就是化繁为简的思想算一算。

二、新授

（一）探一探：其题其解（《孙子算经》课件—化繁为简数学思想）

1、出示《孙子算经》课件

生读：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七

数之，剩二，问物几何？

提问：这是什么意思？指名学生说题意

学生探究其算法。指名交流，强调列举法。

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2、出示导入课时的题目：

问：那么韩信点兵的1000多人能用这个列举法吗？为什么呢？怎么办

呢？让我们一起来研究吧

3、学生探究算法

（1）四人一小组进行探讨交流，指名汇报。

先算到3、5、7的最小公倍数是105，但在1500内，所以扩大10倍为

1050，但要有相应的余数，为此还要加上他们最小的数23，刚才我们已算

过。

（2）验证法：用1073去分别除以3、5、7是否余数与题目要求相同？

（二）研一研：其诗其理

明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；

七子团圆正半月，除百零五便得知。

理解题意：除是减的意思。用现在的话来说就是：一个数用3除，除

得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15。最

后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少。

2、学生用此方法试着验证一下：

得出：70X2+3x21+2x15-105x2=23

1050+23=1073

3、诗句中70、21、15怎么来的？

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学生小组自主探究，再汇报。

交流得出：

这是因为，被5、7整除，而被3除余1的最小整数是70。

被3、7整除，而被5除余1的最小整数是21；

被3、5整除，而被7除余1的最小整数是15；

所以，这三个数的和15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除

余2，被5除余3，被7除余2的性质。

以上解法的道理在于：

被3、5整除，而被7除余1的最小整数是15；

被3、7整除，而被5除余1的最小整数是21；

被5、7整除，而被3除余1的最小整数是70。

因此，被3、5整除，而被7除余2的最小整数是15×2＝30；

被3、7整除，而被5除余3的最小整数是21×3＝63；

被5、7整除，而被3除余2的最小整数是70×2＝140。

于是和数15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被

7除余2的性质。但所得结果233（30＋63＋140＝233）不一定是满足上述

性质的最小整数，故从它中减去3、5、7的最小公倍数105的若干倍，直

至差小于105为止，即233－105－105＝23。所以23就是被3除余2，被

5除余3，被7除余2的最小整数。

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教师介绍：我国古算书中给出的上述四句歌诀，实际上是特殊情况下

给出了一次同余式组解的定理。韩信点兵是一种有趣的猜数游戏。宋朝周

密称为“鬼谷算”或“隔墙算”，杨辉叫它“剪管术”，而“韩信点兵”

则是最通用的说法。它的算法，在孙子兵法上早有说秦九韶著《数书九章》，

称为“大衍求一术”，在国际上称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

这个问题已成为世界数学史上闻名的问题。

这一算法，还用这个统一的公式。70a+21b+15c-105,你们知道a、b、c

分别表示什么吗？

（三）玩一玩：其巧其趣

1、今有物，不知其数，三三数之，剩一，五五数之，剩三，七七数之，

剩六，问物几何？

2、一日，烽火台边的校场上，韩信发现全体将士三路纵队结果末尾余

2，五路纵队末尾也余2，七路纵队末尾余6。你能算出有多少士兵吗？（不

能）对，不能，韩信点兵时，必须先知道部队的大约人数，否则他也是无

法准确算出人数的。

补充出题目：已知全体将士人数在2000-2300之间。学生独立完成

四、拓展

问：是不是韩信点兵只有用3、5、7三个数呢？用2、3、11行不行呢？

借助这个题目试一试。

如果有堆约100粒的棋子,2粒一数余1粒,，3粒一数余2粒,11粒一

数余2粒,那么原有棋子是多少粒?（33a+22b+12c-66）

介绍：4、6、7、这三个数4与6不是互质的，最大公约数是2，而6

与7的任何一个公倍数都是偶数，被4余后余数也一定是偶数，而不可能

是1，所以找不到与70、21、15相当的三个数，因此在韩信点兵里就不能

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用。

五、课堂小结

这节课你有什么收获？