*作品编号:DG13485281*
创作者:玫霸*
指数函数和对数函数
重点、难点:
重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函
数yayxx
a
,log在
a1
及
01a
两种不同情况。
1、指数函数:
定义:函数yaaax01且
叫指数函数。
定义域为R,底数是常数,指数是自变量。
为什么要求函数yax中的a必须aa01且。
因为若
a0
时,yx4,当x
1
4
时,函数
值不存在。
a0
,yx0,当
x0
,函数值不存在。
a1
时,yx1对一切x虽有意义,函数值恒为
1,但yx1的反函数不存在,因为要求函数
yax中的aa01且。
1、对三个指数函数yyyx
x
x
2
1
2
10,,
的图象的认识。
图象特征与函数性质:
图象特征函数性质
(1)图象都位于x轴上方;(1)x取任何实数值时,都有ax0;
(2)图象都经过点(0,1);
(2)无论a取任何正数,
x0
时,y1;
(3)
yyxx210,在第一象限内的纵坐
标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,
y
x
1
2
的图象正好相反;
(3)当
a1
时,
xa
xa
x
x
01
01
,则
,则
当
01a
时,
xa
xa
x
x
01
01
,则
,则
(4)yyxx210,的图象自左到右逐渐
上升,y
x
1
2
的图象逐渐下降。
(4)当
a1
时,yax是增函数,
当
01a
时,yax是减函数。
对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较):
①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如yx2和yx10相交于
()01,,当
x0
时,yx10的图象在yx2的图象的上方,当
x0
,刚好相反,
故有10222及10222。
②yx2与y
x
1
2
的图象关于y轴对称。
③通过yx2,yx10,y
x
1
2
三个函数图象,可以画出任意一个函数
yax(aa01且)的示意图,如yx3的图象,一定位于yx2和yx10两
个图象的中间,且过点()01,,从而y
x
1
3
也由关于y轴的对称性,可得y
x
1
3
的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数:
定义:如果aNaab()01且,那么数b就叫做以a为底的对数,记作
bN
a
log(a是底数,N是真数,log
a
N是对数式。)
由于Nab0故log
a
N中N必须大于0。
当N为零的负数时对数不存在。
(1)对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如:
求log
.032
52
4
分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成
log
.032
52
4
x,再改写为指数式就比较好办。
解:设log
.032
52
4
x
则
即
∴
即
032
52
4
8
25
8
25
1
2
52
4
1
2
1
2
032
.
log
.
x
x
x
评述:由对数式化为指数式可以解决问题,反之由指数式化为对数式也能解决问
题,因此必须因题而异。如求35x中的x,化为对数式xlog
3
5即成。
(2)对数恒等式:
由aNbNb
a
()log()12
将(2)代入(1)得aNa
Nlog
运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底
数和对数的底数相同。
计算:31
3
2log
解:原式
3
1
3
1
2
2
22
1
3
1
3
log
log
。
(3)对数的性质:
①负数和零没有对数;
②1的对数是零;
③底数的对数等于1。
(4)对数的运算法则:
①logloglog
aaa
MNMNMNR,
②logloglog
aaa
M
N
MNMNR,
③loglog
a
n
a
NnNNR
④loglog
a
n
a
N
n
NNR
1
3、对数函数:
定义:指数函数
yaaax()01且的反函
数yx
a
logx(,)0叫做对数函数。
1、对三个对数函数yxyxloglog
21
2
,,
yxlg的图象的认识。
图象特征与函数性质:
图象特征函数性质
(1)图象都位于y轴右侧;(1)定义域:R+,值或:R;
(2)图象都过点(1,0);
(2)
x1
时,y0。即log
a
10;
(3)yxlog
2
,yxlg当
x1
时,图象
在x轴上方,当
00x
时,图象在x轴下
方,yxlog
1
2
与上述情况刚好相反;
(3)当
a1
时,若
x1
,则y0,若
01x
,则y0;
当
01a
时,若
x0
,则y0,若
01x
时,则y0;
(4)yxyxloglg
2
,从左向右图象是上
升,而yxlog
1
2
从左向右图象是下降。
(4)
a1
时,yx
a
log是增函数;
01a
时,yx
a
log是减函数。
对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较):
(1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但是yxlog
2
与yxlg在点(1,0)
曲线是交叉的,即当
x0
时,yxlog
2
的图象在yxlg的图象上方;而
01x
时,yxlog
2
的图象在yxlg的图象的下方,故有:.
2
1515;
.
2
0101。
(2)yxlog
2
的图象与
yxlog
1
2
的图象关于x轴对称。
(3)通过yxlog
2
,yxlg,
yxlog
1
2
三个函数图象,可以作出任意一
个对数函数的示意图,如作yxlog
3
的图象,它一定位于yxlog
2
和yxlg两
个图象的中间,且过点(1,0),
x0
时,在yxlg的上方,而位于yxlog
2
的
下方,
01x
时,刚好相反,则对称性,可知
yxlog
1
3
的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式:
log
log
log
log(.)
log
b
a
a
ne
g
N
N
b
LNNeN
LNN
其中…称为的自然对数
称为常数对数
271828
10
由换底公式可得:
LN
N
e
N
N
n
lg
lg
lg
.
.lg
04343
2303
由换底公式推出一些常用的结论:
(1)
log
log
loglog
a
b
ab
b
a
ba
1
1或·
(2)loglog
a
m
anb
m
n
b
(3)
loglog
a
n
anbb
(4)log
a
m
na
m
n
5、指数方程与对数方程*
定义:在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算,故指数方程对数方程不是代数方
程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法:
名称题型解法
基本型
同底数型
不同底数型
需代换型
abfx
aafxx()()
abfxx
F
ax
0
取以a为底的对数fxb
a
log
取以a为底的对数fxx
取同底的对数化为fxaxb··lglg
换元令tax转化为t的代数方程
对数方程的题型与解法:
名称题型解法
基本题
log
a
fxb
对数式转化为指数式fxab
同底数型
loglog
aa
fxx转化为fxx(必须验根)
需代换型
F
a
x(log)
0
换元令tx
a
log转化为代数方程
作品编号:DG13485281
创作者:玫霸*
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