三角形的周长公式

高二数学——直线与椭圆的位置关系（4）

椭圆焦点三角形的周长、面积公式的应用：

定理在椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

（a＞b＞0）中，焦点分别为

1

F、

2

F，点P是椭圆上任意一

点，

21

PFF，则

2

tan2

21



bS

PFF





.

证明：记

2211

||,||rPFrPF，由椭圆的第一定义得

.4)(,222

2121

arrarr

在△

21

PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22

21

2

2

2

1

crrrr

配方得：.4cos22)(2

2121

2

21

crrrrrr

即.4)cos1(242

21

2crra

.

cos1

2

cos1

)(2222

21









bca

rr

由任意三角形的面积公式得：

2

tan

2

cos2

2

cos

2

sin2

cos1

sin

sin

2

1

2

2

22

21

21



















bbbrrS

PFF

.

.

2

tan2

21



bS

PFF





同理可证，在椭圆1

2

2

2

2



b

x

a

y

（

a

＞b＞0）中，公式仍然成立.

例题讲解：

1、若P是椭圆1

64100

22



yx

上的一点，

1

F、

2

F是其焦点，且60

21

PFF，求

△

21

PFF的面积.

P

y

F

1

OF

2

x

P

2、

21

,FF是椭圆1

79

22



yx

的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠0

21

45FAF，求Δ

12

AFF的面积

3、如图，椭圆

x2

16

＋

y2

9

＝1的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，一条直线l经过F

1

与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾

斜角为45°，求△ABF

2

的面积．

4、已知△ABC的顶点B，C在椭圆

x2

3

＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边

上，则△ABC的周长是()

A．23B．6

C．43D．12