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极坐标与参数方程基本知识点

、极坐标知识点

x=lx,a>0）,1

伸缩变换：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换“

y=「y,（4>0）・

的作用下，点P（x,y）对应到点P（x,y），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换..，简称伸缩变换

-O

■

2•极坐标系的概念：在平面内取一个定点0,从0引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向（通常

取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，0点叫做

极点，射线Ox叫做极轴I

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

3•点M的极坐标：设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0MI叫做点M的极径，

记为T；以极轴Ox为始边，射线0M为终边的xOM叫做点M的极角，记为二。有序

数对（罕）叫做点M的极坐标，记为M（T）・

极坐标（「）与（「2k二）（kZ）表示同一个点。极点0的坐标为（0「R）・

4.若「：0,则.0,规定点（・「，力与点（「门）矢于极点对称，即（-'门）与（，，二二）表

示同一点。

如果规定「•0,0_二_2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（匸I'】）表

示；

同时，极坐标（二二）表示的点也是唯一确定的。

5•极坐标与直角坐标的互化:

（1）互化的前提条件精品文档

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;

②极轴与X轴的正半轴重合

③两种坐标系中取相同的长度单位・

(2)互化公式

r2=x2y2X~-

y=:sinv,

6.曲线的极坐标方程：

tan——(x0)

1•直线的极坐标方程：若直线过点M(订门。)，且极轴到此直线的角为：■，则它的方程为：

「sin(v・:)=sin(6・

几个特殊位置的直线的极坐标方程

(1)直线过极点(2)直线过点M(a,O)且垂直于极轴(3)直线过M(b,—)且平行于极轴

2

方程：ri)rR)或写成&二二虧nI2)?C0A-a(3)Psin0=b

2・圆的极坐标方程：若圆心为M(「。,4)，半径为I的圆方程为：

俨一2PoPcos(日一日o)+Po?・r2=0

几个特殊位置的圆的极坐标方程精品文档

(1)当圆心位于极点r为半径(2)当圆心位于C(a,O)(a>0),a为半径(3)当圆心位

2.

精品文档

于C(a—)(a0),a为半径

2

方程：（JT=r（2）匸=2acosv（3）『二2asinv

7.在极坐标系中，v0）表示以极点为起点的一条射线；

v-：-三R）表示过极点的一条直线

二、参数方程知识点

程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。）

1•参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线

ct

fX・f什）

c上的点p（x,y）满足1⑴'该方程叫

“=f（t）

（在平面直角坐标系中，如杲曲线上任意一点的坐标

t

x,y都是某个变数t的函数丿’力

g（t）,

M（x,y）都在这条曲线上，那么这个方

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间矢系的方程叫做

3•曲线的参数方程

普通方程。

（4）经过点M。（x。，y。），倾斜角为〉的直线I的参数方程可表示为

参数）

3•在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。化中，必须使x,y的

取值范围保持一致.

规律方法指导：

1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法•常见的消参方法有：

代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.

2、把曲线：的普通方程化为参数方程的矢键：一是适当选取参数；二是确保

互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。

一222

（1）圆（X—a）2+（y—b）2=r2

的参数方程可表示为丿

数）.

22

（2）椭圆笃•爲=1（a.b■0）的参数方程可表示为ab

x=a+rcosT,、’厶、「“

（日为参

y=b+rsinT.

;：：;：敖为参

数）.

ill

（3）抛物线y2=2px的参数方程可表示为

x=2pt2'（t为参数）.

y=2pt.

=绻+2°以（t为y=y«+

tsina.

在参数方程与普通方程的互