PartIVAngularVelocity&Acceleration
（角速度与角加速度）
坐标变换解决了刚体之间的相对位置和姿态的问题，而二者之间的相对速度
等问题是通过角速度和角加速度来解决的。在刚体运动学和动力学中角速度起着
非常重要的作用，很多问题都是围绕它进行展开的，因此在处理运动学问题之前
必须了解关于角速度和角加速度的相关知识。
§1.反对称矩阵
1．概念
运动学中常用到向量之间的点乘（dotproduct）和叉乘（crossproduct），其
中点乘表示一个矢量在另一个矢量方向上的投影，而叉乘得到一个与二者都垂直
的矢量。
A
B
BA⋅
A
B
BA×
图4.1.1矢量的点乘与叉乘
以坐标的形式表示则为
（4.1.1）
bababa
zzyyxx++=⋅BA
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==×
b
b
b
aa
aa
aa
bbb
aaa
z
y
x
xy
xz
yz
zyx
zyx
0
0
0
kji
kji
BA
（4.1.2）
将矢量形式的（4.1.2）式写成标量形式为
（4.1.3）
BAS
z
y
x
xy
xz
yz
BA
b
b
b
aa
aa
aa
)(
0
0
0
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=×
其中为3阶反对称方阵，运算矢量的叉乘时常采用它做运算。对于反对称
阵有（4.1.4）
)(AS
0=+TSS
【例】求单位向量
i
、、jk的反对称阵，，)(iS)(jS)(kS
解：；
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
010
100
000
0
0
1
)(SSi
；（4.1.5）
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
001
000
100
0
1
0
)(SSj
。
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
001
010
1
0
0
)(SSk
2．性质
（1）线性：)()()(BSASBASβαβα+=+（4.1.6）
（2）乘法：RBRABAR×=×)(（4.1.7）
（3）坐标变换：（4.1.8）)()(RASRARST=
证明：因为
（4.1.9）
BRAS
BRA
BRRRA
BRARBRARS
T
TT
)(
)(
)()(
)()(
=
×=
×=
×=
对比等号两端可以得出（4.1.7）的结论。可以认为A为一矢量在动坐标系中
的坐标，B为另一矢量在定坐标系中的坐标。坐标形式的叉乘必须在同一坐标系
下进行，所以（4.1.7）式表示向量的反对称的坐标变换。
§2.坐标变换矩阵的导数
由坐标系的定义课知，坐标系i中的p点可以表示为：
（4.2.1）[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
p
p
p
T
z
y
x
kjiPeP
则其对时间的导数为：
dt
dP
P
dt
d
dt
d
T
T
e
e
P+=
（4.2.2）
可以看出，向量对时间的导数由两个矢量组成，其中第一项与坐标基的倒数
相关，第二项是在原坐标系基下坐标的倒数即速度。如果p点相对于坐标系i未
发生任何移动则第二项为零；如果坐标系i随时间未发生变化，即其坐标基未发
生变化，则第一项为零。
e
e
′
tΔω
τ
ω
图4.2.2坐标基的导数
设一坐标基为
e
随着刚体做角速度为ω的旋转，经过时间tΔ之后为，则在与e
′ω
垂直的平面内的回转半径为
)sin(teΔω，此时的变化量为
t
tte
tet
Δ⋅×=
Δ⋅Δ=
Δ⋅Δ=−
′
=Δ
)(
)sin(
)sin(
e
eee
ω
ωω
ωω
（4.2.3）
因此，
e
eee
×=
Δ
Δ⋅×
=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
ω
ω
t
t
tdt
d
tt
)(
limlim
00
（4.2.4）
由此（4.2.2）式可以改写成为
))((
dt
dP
PS
dt
dP
P
dt
dP
P
dt
d
TTT
TT
+=+×=
+×=
ωω
ω
eee
eeP
（4.2.5）
理论推倒过程中使用上述的矢量形式比较方便，而在做标量形式下求导就会遇到
对坐标变换矩阵求导的问题。因此，首先考察坐标变换矩阵，设其只随一个时间
变量t变化，则有
（4.2.6）ItRtRT=)()(
对t求导数有：
0
)(
)()(
)(
=+
dt
tdR
tRtR
dt
tdRT
T（4.2.7）
设TtR
dt
tdR
S)(
)(
=
（4.2.8）
dt
tdR
tRtR
dt
tdR
S
T
TTT
)(
)())(
)(
(==
（4.2.9）
由上式知是反对称阵，则（4.2.4）式两侧各乘得：S)(tR
)(
)(
tSR
dt
tdR
=
（4.2.10）
§rVelocity&Acceleration
（4.2.10）式中的S表示了某一个向量的反对称阵，实际这个向量就是角速度向
量，记做，角速度代表了t时刻动坐标系对于定坐标系的转动速度。
)(tω
【例】绕x轴的角速度为
)()(ttθiω=
，则旋转矩阵的导数为：
)(
010
100
000
)(
)(
tRtSR
dt
tdR
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−==ω（4.3.1）
考察（4.2.2）式的标量形式，可以做如下推倒：
（4.3.2）
1
1
00
)(PtRP=
取时间的倒数为：
00
1
1
01
1
00
)(
)(
)(
PPS
PRSP
dt
tdR
dt
dP
×==
==
ωω
ω
（4.3.3）
考察既有平动又有转动的情况：
（4.3.4）1
01
1
00
)(DPtRP+=
（4.3.5）
•
••
••
+×=
+=+=
1
00
1
01
1
01
1
0
0
)()(
DP
DRPSDPtRP
ω
ω
其中表示转动的速度，表示平动速度。进一步求导得：)(tω
•
1
0
D
（4.3.6）
•••
•••••
+××+×=
+×+×=
000
0110
)(DPP
DPRRPP
ωωω
ωω
其中，表示平动的加速度，表示角加速度。如果P点在坐标系I中也不固
定，则详细推导后有
••
0
D
•ω
（4.3.7）
••••••
+×+××+×=
0
1
110
2)(DPRPPPωωωω
式中，被称作柯氏（Coriolis）加速度。12
•
×PRω
§4.运算规则
根据角速度的定义，角速度是根据两个坐标系之间的相对转动来确定的，通常用
动坐标系中的坐标表达比较方便，考察对于固定坐标系的角速度时，需要把在动
坐标系中表示变换到固定坐标系中表示。
对求时间导数得：2
1
1
0
2
0
RRR=
（4.4.1）
•••
+=2
1
1
0
2
1
1
0
2
0
RRRRR
即：
（4.4.2）
2
0
2
1
1
0
1
0
2
0
2
1
1
0
2
0
1
0
2
1
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
1
0
2
1
2
1
1
0
2
1
1
0
1
0
2
0
2
0
)(
)()(
)())(()(
)()()(
RRS
RRSRS
RRRSRRS
RSRRRSRS
T
ωω
ωω
ωω
ωωω
+=
+=
+=
+=
比较等号两端可得：
（4.4.3）2
1
1
0
1
0
2
0
ωωωR+=
同理可以扩展到n个物体串联的情况：
（4.4.4）n
n
nnRRRR
1
1
0
4
3
3
0
3
2
2
0
2
1
1
0
1
00−
−+++++=ωωωωωωL
§5.小结
1．角速度的影响：
••
+×=PPTTeePω
2．反对称矩阵用来做角速度运算中的标量形式：)(ωS
3．坐标变换矩阵对时间的导数RSR)(ω=
•
4．对时间导数的矢量形式和标量形式。
5．角速度的传递：。n
n
nnRRRR
1
1
0
4
3
3
0
3
2
2
0
2
1
1
0
1
00−
−+++++=ωωωωωωL
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