偶函数乘奇函数

奇函数偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有

f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数．

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，

都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数．

说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当

f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有

可能是奇(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率

从事，例如判断f(x)是不易的．为了便于判断有时

可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说

明是否是奇函数．用这个方法判断此函数较为方便：

f(x)

(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域

内的任何x值，

当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－

x)=f(x)=1，∴f(x)为xx奇xx偶函数．

(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中

心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴

的对称图形．

(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注

意由它们的定义出发来进行论证．

例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是

增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．

奇函数偶函数

解设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0则有－x1

＞－x2＞0，∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，∴f(－

x1)＞f(－x2)又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对

任意x成立，∴=－f(x1)＞－f(x2)∴f(x1)＜

f(x2)．∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．由此可得

出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在

(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上

与(－∞，0)上的奇偶性相同．类似地可以证明，偶

函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反．

时，f(x)的解析式解∵x＜0，∴－x＞0．又∵f(x)

是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．

偶函數

f(x)=x2，偶函數的一個例子

設f(x)為一實變數值函數，則f為偶函數若下列的方程對所有

實數x都成立：

f(x)=f(−x)

幾何上，一個偶函數會對y軸，亦即其在對y軸為xx不會改變。

偶函數的例子有、x2、x4、(x)和(c)(x)。

偶函數不可能是個。

奇函数偶函数

奇函數

f(x)=x，奇函數的一個例子

再次地，設f(x)為一個實變數值函數，則f為奇函數若下列的

方程對所有實數x都成立：

f(x)=−f(−x)或f(−x)=−f(x)

幾何上，一個奇函數對對稱，亦即其在繞原點做180xx不會改變。

奇函數的例子有x、x3、(x)、(x)和(x)。