求导数

导数的计算

§1.2导数的计算

§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

1.使学生应用由定义求导数的三个步骤

推导四种常见函数yc、yx、2yx、1

y

x



的导数公式;

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数

的导数.

教学重点：

四种常见函数yc、yx、2yx、1

y

x

的导

数公式及应用.

教学难点：

四种常见函数yc、yx、2yx、1

y

x

的导

数公式.

教学过程：

一、创设情景

我们知道,导数的几何意义是曲线在某

一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在

某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()yfx,

如何求它的导数呢？

由导数定义本身,给出了求导数的最基

本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所

以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻

烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某

些函数的导数,这一单元我们将研究比较简

捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的

函数的导数.

二、新课讲授

1.函数()yfxc的导数

根据导数定义,因为()()

0

yfxxfxcc

xxx







所以

00

limlim00

xx

y

y

x









函数导数

yc0y





0y



表示函数yc图像(图3.2-1)上每一点处

的切线的斜率都为0.若yc表示路程关于时

间的函数,则0y



可以解释为某物体的瞬时速

度始终为0,即物体一直处于静止状态.

2.函数()yfxx的导数

因为()()

1

yfxxfxxxx

xxx







所以

00

limlim11

xx

y

y

x









函数导数

yx1y





1y



表示函数yx图像(图3.2-2)上每一点处

的切线的斜率都为1,若yx表示路程关于时间

的函数,则1y



可以解释为某物体做瞬时速度

为1的匀速运动.

3.函数2()yfxx的导数

因为

22()()()yfxxfxxxx

xxx







2222()

2

xxxxx

xx

x







所以

00

limlim(2)2

xx

y

yxxx

x









函数导数

2yx2yx





2yx



表示函数2yx图像(图3.2-3)上点(,)xy处

的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化,切线

的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数

在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x时,随

着x的增加,函数2yx减少得越来越慢;当0x

时,随着x的增加,函数2yx增加得越来越快.

若2yx表示路程关于时间的函数,则2yx



可以

解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时

速度为2x.

4.函数1

()yfx

x

的导数

因为

11

()()yfxxfx

xxx

xxx











2

()1

()

xxx

xxxxxxx







所以

22

00

11

limlim()

xx

y

y

xxxxx









函数导数

1

y

x



2

1

y

x





5.函数()yfxx的导数

因为()()yfxxfxxxx

xxx







()()

()

xxxxxx

xxxx







()

()

xxx

xxxx







所以

00

11

limlim

2xx

y

y

x

xxxx











函数导数

yx

1

2

y

x





推广:若*()()nyfxxnQ,则1()nfxnx



注:这里n可以是全体实数.

三、课堂练习

1.课本P

13

探究1

2.课本P

13

探究2

四、回顾总结

函数导数

yc'0y

yx'1y

2yx'2yx

1

y

x

'

2

1

y

x



yx

1

2

y

x





*()()nyfxxnQ'1nynx

五、布置作业

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;

2.掌握导数的四则运算法则;

3.能利用给出的基本初等函数的导数公

式和导数的四则运算法则求简单函数

的导数.

教学重点：

基本初等函数的导数公式、导数的四则

运算法则

教学难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则

运算法则的应用

教学过程：

一、创设情景

五种常见函数yc、yx、2yx、1

y

x

、yx

的导数公式及应用

二、新课讲授

函数导数

yc'0y

yx'1y

2yx'2yx

1

y

x

'

2

1

y

x



yx

1

2

y

x





*()()nyfxxnQ'1nynx

(一)基本初等函数的导数公式表

(二)导数的运算法则

导数运算法则

函数导数

yc'0y

*()()nyfxxnQ'1nynx

sinyx'cosyx

cosyx'sinyx

()xyfxa'ln(0)xyaaa

()xyfxe'xye

()log

a

fxx'

1

()log()(01)

lna

fxxfxaa

xa

且

()lnfxx'

1

()fx

x



1．

'

''()()()()fxgxfxgx

2．

'

''()()()()()()fxgxfxgxfxgx

3．



'

''

2

()()()()()

(()0)

()

()

fxfxgxfxgx

gx

gx

gx











推论:

'

'()()cfxcfx(常数与函数的积的导数,

等于常数乘函数的导数)

(三)运算法则的证明

).()()]()(['''xvxuxvxu

证明:令()()().yfxuxvx

vu

xvxxvxuxxu

xvxuxxvxxuy







)]()([)]()([

)]()([)]()([

x

u

x

u

x

y

















.

.limlimlimlim

0000x

v

x

u

x

v

x

u

x

y

xxxx









































即).(')(')]'()([xvxuxvxu

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这

两个函数的导数的和(或差),

即:('.')'vuvu

范例:(1)求xxysin3的导数.(2)求324xxxy

的导数.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函

数的导数乘以第二个函数,加上第

一个函数乘以第二个函数的导数,

即:.)('''uvvuuv

指导学生尝试法则2的证明:

令).()()(xvxuxfy

()()()()yuxxvxxuxvx

).()(()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxu







x

y

x

xuxxu



)()(

)(xxv

0

lim)(





x

xu

x

xvxxvA



)()(.

因为)(xv在点x处可导,所以它在点x处连续,

于是当0x时,)(xxv)(xv.

从而

x

xvxxv

xuxxv

x

xuxxu

x

y

xxx

















)()(

lim)()(

)()(

limlim

000

).(')()()('xvxuxvxu

即'')'('uvvuuvy

说明:

1.'')'(vuuv.

2.若C为常数,则''0'')'(CuCuCuuCCu.即

常数与函数的积的导数等于常数乘以

函数的导数.')'(CuCu.

法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导

数与分母的积,减去分母的导数与

分子的积,再除以分母的平方：

)0(

''

2

'



















v

v

uvvu

v

u

回顾导数定义：

x

xfxxf

x

y

xf

xx













)()(

limlim)('

00

证明：设0)(,

)(

)(

)(xv

xv

xu

xfy

则

)()(

)()()()(

)(

)(

)(

)(

xvxxv

xxvxuxvxxu

xv

xu

xxv

xxu

y















()()()()()()

()()

uxxuxvxuxvxxvx

vxxvx











x

y

()()()()

()()

()()

uxxuxvxxvx

vxux

xx

vxxvx









.

因为)(xv在点x处可导,所以)(xv在

点x处连续.

于是当0x时,)()(xvxxv

从而

2

0)(

)(')()()('

lim

xv

xvxuxvxu

x

y

x











即

2

'''

'

v

uvvu

v

u

y



















说明:若两个函数可导,则它们的和、差、积、

商(商的分母不为0)必可导.

若两个函数均不可导,则它们的和、

差、积、商不一定不可导.

例如:设

x

xxf

1

sin)(,

x

xxg

1

cos)(,则)()(xgxf、在

0x处均不可导,但它们的和

xxxgxfcossin)()(在0x处可导.

三、典例分析

例1假设某国家在20年期间的年均通货膨胀

率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:

年)有如下函数关系

0

()(15%)tptp,其中

0

p

为0t时的物价.假定某种商品的

0

1p,那

么在第10个年头,这种商品的价格上涨

的速度大约是多少(精确到01.0)?

解:根据基本初等函数导数公式表,有

'()1.05ln1.05tpt

所以'10(10)1.05ln1.050.08p(元/年)

因此,在第10个年头,这种商品的价格约

为08.0元/年的速度上涨.

例2根据基本初等函数的导数公式和导数运

算法则,求下列函数的导数.

(1)323yxx

(2)11

11

y

xx





(3)sinlnyxxx

(4)

4x

x

y

(5)1ln

1ln

x

y

x







(6)2(251)xyxxe

(7)sincos

cossin

xxx

y

xxx







解:(1)'3'3'''2(23)()(2)(3)32yxxxxx

'232yx。

(2)'''

11

()()

11

y

xx





''

22

(1)(1)

(1)(1)

xx

xx







22

11

22

(1)(1)

xx

xx





22

111

[]

2(1)(1)xxx





22

2

1(1)(1)

(1)

2

xx

x

x





2

(1)

(1)

xx

xx







'

2

(1)

(1)

xx

y

xx







(3)'''(sinln)[(ln)sin]yxxxxxx

''(ln)sin(ln)(sin)xxxxxx

1

(1ln)sin(ln)cosxxxxxx

x



sinlnsinlncosxxxxxx

'sinlnsinlncosyxxxxxx

(4)''

''

22

4(4)144ln41ln4

()

4(4)(4)4

xxxx

xxxx

xxxxx

y





'

1ln4

4x

x

y





(5)

''''

22

1

1ln212

()(1)2()2

1ln1ln1ln(1ln)(1ln)

x

x

y

xxxxxx







'

2

2

(1ln)

y

xx





(6)'2'2'(251)(251)()xxyxxexxe

22(45)(251)(24)xxxxexxexxe，

'2(24)xyxxe。

(7)''

sincos

()

cossin

xxx

y

xxx







''

2

(sincos)(cossin)(sincos)(cossin)

(cossin)

xxxxxxxxxxxx

xxx







2

(coscossin)(cossin)(sincos)(sinsins

(cossin)

xxxxxxxxxxxxxco

xxx







2

sin(cossin)(sincos)s

(cossin)

xxxxxxxxxcox

xxx







2

2(cossin)

x

xxx





2

'

2(cossin)

x

y

xxx





点评:①求导数是在定义域内实行的;

②求较复杂的函数积、商的导数,必须

细心、耐心.

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的,

随着水纯净度的提高,所需净化费用

不断增加.已知将1吨水净化到纯净度

为%x时所需费用(单位:元)为

5284

()(80100)

100

cxx

x





求净化到下列纯净度时,所需净化费用

的瞬时变化率:(1)90%(2)98%

解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函

数的导数

''

''

2

52845284(100)5284(100)

()()

100(100)

xx

cx

xx







2

0(100)5284(1)

(100)

x

x





2

5284

(100)x





(1)因为'

2

5284

(90)52.84

(10090)

c



所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变

化率是84.52元/吨

(2)因为1321

)98100(

5284

)98(

2

'



c

所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变

化率是1321元/吨

注:函数()fx在某点处导数的大小表示函数

在此点附近变化的快慢.由上述计算可

知,''(98)25(90)cc.它表示纯净度为98%左右

时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净

度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的

25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净

化费用就越多,而且净化费用增加的速

度也越快.

例4求曲线xysin在点)

2

1

,

6

(



A的切线方程.

分析:先要求出函数xysin的导函数,然后利

用导函数求出曲线在点)

2

1

,

6

(



A的切线的

斜率,最后应用点斜式求出切线的方

程.

解:xysinxxycos)(sin''

2

3

6

cos

6

'



x

y

x

x

斜率

2

3

k

切线方程为13

()

226

yx



化简得

6312630xy

故曲线xysin在点)

2

1

,

6

(



A的切线方程为

6312630xy

类型题:求曲线

3

2

1

x

y在点)

4

1

,8(R的切线方程.

解:略

例5试用求导的方法求和)1(32112xnxxxn.

解:略

补充例题

例1判断下列求导是否正确,加以改正.

2

2

'

2

sin)cos1(2cos1

x

xxxx

x

x

















解:略

例2求下列函数的导数

(1)

x

x

y

sin

2

;(2)xeyxsin.

解:略

例3求

3

3

2





x

x

y在点3x处的导数.

解:略

例4求下列函数的导数

(1)xytan;(2)xycot;(3)xy2sin.

解:略

例5求

x

x

y

2sin

sin12

的导数.

解:将函数变形为

xx

xx

xxx

x

x

ycot

2

1

tan

cossin2

sincossin

2sin

sin12222











xxxxy22csc

2

1

c)'(cot

2

1

)'(tan'’.

例6求

x

xxxx

y

9532

的导数.

解:略

注:有的函数虽然表面形式为函数的商的形

式,但在求导前利用代数或三角恒等变

形将函数先化简,然后进行求导.有时可

以避免使用商的求导法则,减少运算量.

例7求曲线

1

2

2



x

x

y在点)1,1(处的切线方程.

回顾导数的几何意义:

函数)(xfy在

0

x处的导数就是曲线)(xfy在点

))(,(

00

xfxP处的切线的斜率.

解:略

例8曲线运动方程为2

2

2

1

t

t

t

s



,求3t时的速

度.

回顾导数的物理意义:

瞬时速度是位移函数)(ts对时间t的导

数:)(')(tstv.

解:略

例9已知抛物线cbxaxy2通过点)1,1(,且在点

)1,2(处与直线3xy相切,求cba,,的值.

四、课堂练习

1.课本P

92

练习

2.已知曲线4923:234xxxyC,求曲线C上横坐

标为1的点的切线方程.

答案:812xy

五、回顾总结

1.基本初等函数的导数公式表;

2.导数的运算法则.

六、布置作业

§1.2.3复合函数的求导法则

教学目标：

理解并掌握复合函数的求导法则.

教学重点：

复合函数的求导方法:复合函数对自变

量的导数,等于已知函数对中间变量的导数

乘以中间变量对自变量的导数之积.

教学难点：

正确分解复合函数的复合过程,做到不

漏,不重,熟练,正确.

一、创设情景

(一)基本初等函数的导数公式表

函数导数

yc'0y

*()()nyfxxnQ'1nynx

sinyx'cosyx

cosyx'sinyx

()xyfxa'ln(0)xyaaa

()xyfxe'xye

()log

a

fxx'

1

()log()(01)

lna

fxxfxaa

xa

且

()lnfxx'

1

()fx

x



(二)导数的运算法则

导数运算法则

1．

'

''()()()()fxgxfxgx

2．

'

''()()()()()()fxgxfxgxfxgx

3．



'

''

2

()()()()()

(()0)

()

()

fxfxgxfxgx

gx

gx

gx











推论:

'

'()()cfxcfx(常数与函数的积的导数，

等于常数乘函数的导数)

二、新课讲授

1.复合函数的概念

一般地,对于两个函数()yfu和()ugx,如果

通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这

个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数,记作

()yfgx.

2.复合函数的导数

复合函数

()yfgx的导数和函数()yfu和

()ugx的导数间的关系为

xux

yyu



,即y对x的导

数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

若

()yfgx,则()()()yfgxfgxgx











三、典例分析

例1求下列函数的导数:

(1)2(23)yx

(2)0.051xye

(3)sin()yx(其中,均为常数)

解:(1)函数2(23)yx可以看作函数2yu和

23ux的复合函数

根据复合函数求导法则有

xux

yyu



=2''()(23)4812uxux

(2)函数0.051xye可以看作函数uye和

0.051ux的复合函数

根据复合函数求导法则有

xux

yyu



=''0.051()(0.051)0.0050.005uuxexee

(3)函数sin()yx可以看作函数sinyu和

ux的复合函数

根据复合函数求导法则有

xux

yyu



=''(sin)()ss()uxcoucox

例2求2sin(tan)yx的导数.

解:'2'222[sin(tan)]cos(tan)c()2yxxxx

2222cos(tan)c()xxx

'2222cos(tan)c()yxxx

点评:求复合函数的导数,关键在于搞清楚

复合函数的结构,明确复合次数,由外

层向内层逐层求导,直到关于自变量

求导,同时应注意不能遗漏求导环节

并及时化简计算结果.

例3求

22

xa

y

xax







的导数.

解:2

2

'

2

22

12()

22

2

xa

xaxxa

xax

y

xax











222

22

22

2

(2)

22

aaxax

xax

xaxxax









，

22

'

22

2

(2)

axax

y

xax







点评:本题练习商的导数和复合函数的导数,

求导数后要予以化简整理.

例4求xxy44cossin的导数.

解法一:

xxxxxxxy2sin

2

1

1cossin2)cos(sincossin22222244

xx4cos

4

1

4

3

)4cos1(

4

1

1

xy4sin'

解法二:)'(coscos4)'(sinsin4)'(cos)'(sin'3344xxxxxxy

xxx

xxxx

xxxx

4sin2cos2sin2

)cos(sincossin4

)sin(cos4cossin4

22

33







点评:解法一是先化简变形,简化求导数运

算,要注意变形准确.

解法二是利用复合函数求导数,应注

意不漏步.

例5曲线)2)(1(xxxy有两条平行于直线xy的

切线,

求此二切线之间的距离.

解:xxxy2232232'xxy

令1'y即01232xx解得

3

1

x或1x

于是切点为)

27

14

,

3

1

(),2,1(QP

过点P的切线方程为12xy即01yx

显然两切线间的距离等于点Q到此切线

的距离

故所求距离为

2

|1

27

14

3

1

|

2

27

16



补充例题

例1指出下列函数的复合关系

(1)32)2(xy;

(2)2sinxy;

(3))

4

cos(xy

;

(4))]13ln[sin(xy;

(5)3

2

)2cos1(xy.

解:略

例2写出由下列函数复合而成的函数

(1)21,cosxuuy;

(2)xuuyln,ln.

解:略

例3求5)12(xy的导数(P122例1).

解:略

注意：要求步骤规范,首先设中间变量,再对

几个简单函数分别求导,最后应强调

把中间变量换成自变量的函数.复合

函数求导步骤：分解——求导——回

代.

例4求下列函数的导数

(1)

4)31(

1

x

y



;(2)xy2sin;

(3)21xy;

(5)

221

1

x

y



;(6))

6

3cos(



xy;

(7)xeyx3cos2.

解:略

注:这里有分式型,根式型,三角函数型的

复合函数求导,熟练后可省写步骤,并

作示范.如,解(1)可表达为

55

4)31(12)3()31(431'





xxxy

x

,这里最后结

果可写负指数或分数指数.

例5求5

1

x

y

x





的导数.

解:略

例6已知102)()(xxxxf,求

)0(

)0('

f

f.

解:略

例7求证双曲线5:22

1

yxC与椭圆7294:22

2

yxC

在同一交点处的切线互相垂直.

解:略

四、课堂练习

求下列函数的导数:

(1)xxy3sinsin33

(2)

12

2sin





x

x

y

(3))2(log2xy

a(4)

23

1

.

(21)

y

x





(5)4

1

.

31

y

x





(6)sin(3).

6

yx





(7)2cos(1).yx

(8))132ln(2xxy

五、回顾总结

六、布置作业