立体几何定理

立几基本公式

空间直线.

1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.

相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一

平面内

2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面

直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相

等（如下图）.

（二面角的取值范围180,0

）

（直线与直线所成角90,0

）

（斜线与平面成角90,0

）

（直线与平面所成角90,0

）

（向量与向量所成角

])180,0[

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）

相等.

5.两异面直线的距离：公垂线的长度.

一、直线与平面平行、直线与平面垂直.

1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直

线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）

3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平

面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）

4.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面

垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.

若PA⊥，a⊥

AO

，得a⊥

PO

（三垂线定理），

得不出⊥

PO

.因为a⊥

PO

，但

PO

不垂直OA.

三垂线定理的逆定理亦成立.

直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这

两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于

这个平面.

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

5.⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点

．．

向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相

等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线

段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.

⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射

影在这个角的平分线上

一、平面平行与平面垂直.

1.空间两个平面的位置关系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平

面平行.（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.

[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.

3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.

（“面面平行，线线平行”）

4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.

两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直

于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.

5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也

垂直于另一个平面.

推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.

五、棱锥、棱柱.

1.棱柱.

⑴①直棱柱侧面积：

ChS

（

C

为底面周长，

h

是高）

②斜棱住侧面积：

lCS

1



（

1

C

是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）

⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.

{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.

四棱柱平行六面体直平行六面体长方体

正四棱柱

正方体

底面是

平行四边形

侧棱垂直

底面

底面是

矩形

底面是

正方形

侧面与

底面边长相等

⑶棱柱具有的性质：

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形

．．．．．．．．

；正棱柱

的各个侧面都是全等的矩形

．．．．．

.

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等

．．

多边形.

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

（直棱柱定义）：棱柱有一条侧棱和底面垂直.

⑷平行六面体：

定理一：平行六面体的对角线交于一点

．．．．．．．．．．．．．

，并且在交点处互相平分.

[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.

定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以

棱柱棱柱

3VShV.

正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.

[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相

等）；底面为正多边形.

正棱锥的侧面积：'Ch

2

1

S（底面周长为

C

，斜高为'h

）

⑵棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫

做正棱锥的斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱

在底面内的射影也组成一个直角三角形.

3.球：⑴球的截面是一个圆面.

①球的表面积公式：24RS

.②球的体积公式：3

3

4

RV

.

②圆锥体积：

hrV2

3

1



（r为半径，

h

为高）

③锥形体积：

ShV

3

1



（

S

为底面积，

h

为高）

六.空间向量.

1（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,bba，a∥b的充要条件是存在实数（具有

唯一性），使ba.

（3）共面向量：若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a∥.

（4）①共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，则向量P与向量ba,共面的充要条件是存在

实数对x、y使byaxP.

②空间任一点

．．．

O

．

和不共线三点

．．．．．．

A

．

、

．

B

．

、

．

C

．

，则)1(zyxOCzOByOAxOP是PABC四点共

面的充要条件.（简证：ACzAByAPOCzOByOAzyOP)1(P、A、B、C四

点共面）

注：是证明四点共面的常用方法.

2.空间向量基本定理：如果三个向量

．．．．

cba,,不共面

．．．

，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的

有序实数组x、y、z，使czbyaxp.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z

使OCzOByOAxOP(这里隐含x+y+z≠1).

注：设四面体ABCD的三条棱，,,,dADcACbAB其



▲

n

B

C

A





▲

n

2

n

1



C

E

D

A

B

中Q是△BCD的重心，则向量

)(

3

1

cbaAQ

用MQAMAQ即证.

3.（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对

应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

①令a=(a1,a2,a3),),,(

321

bbbb，则

),,(

332211

babababa))(,,(

321

Raaaa

332211

babababa

a∥)(,,

332211

Rbababab

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

0

332211

babababa

222

3

2

1

aaaaaa(用到常用的向量模与向量之间的转化：aaaaaa2)

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211

||||

,cos

bbbaaa

bababa

ba

ba

ba

























②空间两点的距离公式：2

12

2

12

2

12

)()()(zzyyxxd

.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如

果a那么向量a叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，

其中A

，则点B到平面的距离为

||

||

n

nAB

.

②利用法向量求二面角的平面角定理：设

21

,nn分别是二面角l中平面

,

的法向量，

则

21

,nn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（

21

,nn方向相同，则为补角，

21

,nn

反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a平面，DCaBA,

，且CDE三点不共线，则

a∥的充要条件是存在有序实数对



使CECDAB.（常设CECDAB求解

,

若

,

存在即证毕，若

,

不存在，则直线AB与平面相交）.