等边三角形的高

等边三角形的性质优异课公然课教学设计

第2课时等边三角形的性质

1．进一步学习等腰三角形的有关性质，

认识等腰三角形两底角的角均分线(两腰上的高，

中线)的性质；

2．学习等边三角形的性质，并能够

运用其解决问题．(要点、难点)

一、情境导入

我们赏识以下两个建筑物(如图)，图中

的三角形是什么样的特别三角形？这样的

三角形我们是如何定义的，有什么性质？

二、合作研究

研究点一：等腰三角形两底角的均分线

(两腰上的高、中线)的有关性质

如图，在△ABC中，AB＝AC，CD

⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：

DE∥BC.

证明：由于AB＝AC，因此∠ABC＝

∠ACB.又由于CD⊥AB于点D，BE⊥AC于

点E，因此∠AEB＝∠ADC＝90°，因此

∠ABE＝∠ACD，因此∠ABC－∠ABE＝

∠ACB－∠ACD，因此∠EBC＝∠DCB.在

∠BEC＝∠CDB，

△BEC与△CDB中，

∠EBC＝∠DCB，

所

BC＝CB，

以△BEC≌△CDB，因此BD＝CE，因此AB

－BD＝AC－CE，即AD＝AE，因此∠ADE

＝∠AED.又由于∠A是△ADE和△ABC的

顶角，因此∠ADE＝∠ABC，因此DE∥BC.

方法总结：等腰三角形两底角的均分线

相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．

研究点二：等边三角形的有关性质

【种类一】利用等边三角形的性质求

角度

如图，△ABC是等边三角形，E

是AC上一点，D是BC延伸线上一点，连结

BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠

CED的度数．

分析：由于△ABC三个内角为60°，

∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，由于

BE＝DE，因此获得∠EBC＝∠D，求出∠D

的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度

数．

解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝

∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝

∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝

DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝

∠ACB－∠D＝40°.

方法总结：等边三角形是特别的三角形，

它的三个内角都是60°，这个性质经常应用在

求三角形角度的问题上，因此一定娴熟掌握．

【种类二】利用等边三角形的性质证

明线段相等

如图：已知等边△ABC中，D是AC

的中点，E是BC延伸线上的一点，且CE＝CD，

DM⊥BC，垂足为M，求证：BM

等边三角形的性质优异课公然课教学设计

＝EM.

分析：要证BM＝EM，由题意证△BDM

≌△EDM即可．

证明：连结BD，∵在等边△ABC中，

求得∠AQN＝∠ABC＝60°.

解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝

∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和

AB＝BC，

1

∠ABC＝

1

×

△BNC中，∵

∠ABC＝∠C，

∴△AMB≌

D是AC的中点，∴∠DBC＝2

2

60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴

∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴

∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥

BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°，在△DMB

∠DMB＝∠DME，

和△DME中，∠DBM＝∠E，DM

＝DM，

BM＝CN，

△BNC(SAS)，

∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠

ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC

＝60°.

DME≌△DMB.∴BM＝EM.

方法总结：证明线段相等可利用三角

形全等获得．还应理解等边三角形是特别的

等腰三角形，因此等腰三角形的性质完整合

适等边三角形．

【种类三】等边三角形的性质与全等

三角形的综合运用

△ABC为正三角形，点M是边BC

上随意一点，点N是边CA上随意一点，且BM

＝CN，BN与AM订交于Q点，求∠BQM

的度数．

分析：先依据已知条件利用SAS判断

△ABM≌△BCN，再依据全等三角形的性质

1．等腰三角形两底角的均分线(两腰上的

高、中线)的有关性质

等腰三角形两底角的均分线相等；

等腰三角形两腰上的高相等；等腰

三角形两腰上的中线相等．

2．等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，而且每个

角都等于60°.

本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进

一步认识等边三角形．学习等边三角形的定

义、性质．让学生在研究图形特点以及相

关结论的活动中，进一步培育空间观点，锻炼

思想能力．让学生在学习活动中，进一步产生

对数学的好奇心，加强着手能力和创新意识.

第2课时平行四边形的判断定理3与两平行线间的距离

四边形的性质和判断定理解决问题．(要点，

难点)

1．复习并稳固平行四边形的判断定理

1、2；

2．学习并掌握平行四边形的判断定理

3，能够娴熟运用平行四边形的判断定理解

决问题；(要点)一、情境导入

3．依据平行四边形的性质总结出求两小明的父亲的手中有一些木条，他想通

条平行线之间的距离的方法，能够综合平行过合适的丈量、割剪，钉制一个平行四边形

方法总结：等边三角形与全等三角形的

∴△

综合运用，一般是利用等边三角形的性质研

究三角形全等．

三、板书设计

等边三角形的性质优异课公然课教学设计

框架，你能帮他想出一些方法来吗？你能想

出几种方法？

二、合作研究

研究点一：对角线相互均分的四边形

是平行四边形

【种类一】利用平行四边形的判断定

理(3)判断平行四边形

已知，如图，AB、CD订交于点O，

AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD

中点．

求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)

四边形AFBE是平行四边形．

分析：(1)利用已知条件和全等三角形

的判断方法即可证明△AOC≌△BOD；

(2)本题已知AO＝BO，要证四边形

AFBE是平行四边形，依据全等三角形，只

要证OE＝OF就能够了．

证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在

AO＝OB，

△AOC和△BOD中，∵∠AOC＝∠BOD，

∠C＝∠D，

∴△AOC≌△BOD(AAS)；

(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝

DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF

11

＝2OD，OE＝2OC，∴EO＝FO，又∵AO

＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．

方法总结：在应用判断定理判断平行四

边形时，应认真察看题目所给的条件，认真

选择合适于题目的判断方法进行解答，防止混

用判断方法．娴熟掌握平行四边形的判断定理

是解决问题的要点．

【种类二】利用平行四边形的判断定

理(3)证明线段或角相等

如图，在平行四边形ABCD中，AC

交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中

点，请判断线段BE，DF的地点关系和数目关

系，并说明你的结论．

分析：依据平行四边形的对角线相互均分

得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义

得出OE＝OF，进而利用平行四边形的判断

定理“对角线相互均分的四边形是平行

四边形”判断BFDE是平行四边形，进而得

出BE＝DF，BE∥DF.

解：BE＝DF，BE∥DF.由于四边形

ABCD是平行四边形，因此OA＝OC，OB

＝OD.由于E，F分别是OA，OC的中点，

因此OE＝OF，因此四边形BFDE是平行四

边形，因此BE＝DF，BE∥DF.

方法总结：平行四边形的性质也是证

明线段相等或平行的重要方法．

研究点二：平行线间的距离

如图，已知l1∥l2，点E，F在l1

上，点G，H在l

2

上，试说明△EGO与△

FHO的面积相等．

分析：联合平行线间的距离相等和三角

形的面积公式即可证明．

证明：∵l

1

∥l

2

，∴点E，F到l

2

之间的

1

距离都相等，设为h.∴S△EGH＝2GH·h，S△

1

FGH＝2GH·h，∴S△

EGH＝S△

FGH，∴S△

EGH－

S△GOH

＝S△FGH

－S△GOH

，∴S△EGO

＝S△FHO

.

方法总结：解题的要点是明确三角形

的中线把三角形的面积均分红了相等的两部

分，同底等高的两个三角形的面积相等．

研究点三：平行四边形判断和性质的综

合

如图，在直角梯形ABCD中，AD

∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，

点E、F分别为AG、CD的中点，连结DE、

FG.