机械能守恒定律公式

第七章机械能守恒定律

【知识点】：一、功

1、做功两个必要因素：力和力的方向上发生位移。

2、功的计算：FLCOSW

3、正功和负功：①当o≤a＜π/2时，cosa>0，w〉o,表示力对物体做正功。

②当a=π/2时，cosa=0，w=0，表示力对物体不做功（力与位移方向垂直）。

③当π/2＜a≤π时，cosa〈0,w<0，表示为对物体做负功。

4、求合力做功：

1）先求出合力，然后求总功，表达式为W

总

=F

合

Lcosθ（为合力与位移方向的夹角）

2）合力的功等于各分力所做功的代数和，即W总=W1+W2+W3+———————

例题、如图1所示，用力拉一质量为m的物体，使它沿水平匀速移动距离s,若物体和地面间的摩擦因数为μ，则此

力对物体做的功为(）

A．μmgs

B．μmgs/（cosα+μsinα)

C．μmgs/（cosα—μsinα）

D．μmgscosα/（cosα+μsinα）

二、功率

1、定义式：

t

W

P，所求出的功率是时间t内的平均功率。

2、计算式：cosFvP,其中θ是力与速度间的夹角.用该公式时，要求F为恒力.

1）当v为瞬时速度时，对应的P为瞬时功率；

2)当v为平均速度时，对应的P为平均功率

3）若力和速度在一条直线上，上式可简化为FvP

3、机车起动的两种理想模式

1)以恒定功率启动

2）以恒定加速度a启动

三、重力势能

重力势能表达式:mghE

P



重力做功：

PPPG

EEEW

21

（重力做功与路径无关，只与物体的初末位置有关）

四、弹性势能

图1

弹性势能表达式：2/2lkE

P

（l为弹簧的型变量）

五、动能定理

(1）动能定理的数学表达式为：

2

1

2

22

1

2

1

mvmvW

总

（2)动能定理应用要点

①外力对物体所做的总功，既等于合外力做的功，也等于所有外力做功的代数和。

②不管是否恒力做功，也不管是否做直线运动，该定理都成立；对变力做功，应用动能定理更方便、更迅捷。

③动能定理涉及一个过程,两个状态。所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功，若物体运动过

程中包括几个物理过程，物体的运动状态、受力情况等均发生变化，因此在考试外力做功时，可以分段考虑，也可视

全过程为一个过程；两个状态是指初末两个状态的动能.

④动能定理只对惯性参考系成立，表达式中每一物体的速度都应相对于同一参考系，这个参考系一般是地球．

⑤动能定理解题，由于它不涉及运动过程中的加速度、时间和中间状态的速度，一般比应用牛顿第二定律结合运动

学公式解题要简便且应用范围更广,即可解直线运动，又可解曲线运动；即能解匀变速运动，又能解非匀变速运动．

（3）应用动能定理解题的步骤

①确定研究对象和研究过程。研究对象既可以是单个物体，也可以是系统。如果是单个物体,只要考虑所有外力做的

功；(如果是系统，则要考虑系统内、外所有力做的功。）

②对研究对象进行受力分析。并确定各力的做功情况。

③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)。如果研究过程中物体受力情况有变化，

要分别写出该力在各个阶段做的功。

④写出物体的初、末动能。

⑤按照动能定理列式求解。

六、机械能守恒定律

（1）机械能守恒定律的两种表述

①在只有重力或弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化,但机械能的总量保持不变.

②如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

(2）机械能守恒的条件：

首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零,例如水平飞来的子

弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机

械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．

机械能守恒的条件：只有重力和或只有弹簧弹力做功（即没有发生机械能与其他形式能的转化），具体有以下三种

情况:只有重力和弹力作用，没有其他力作用；有重力、弹力以外的力作用，但这些力不做功;有重力、弹力以外的力做

功，但这些力做功的代数和为零

（3）对机械能守恒定律的理解：

①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒"其实一定也就包

括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的.另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度.

②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功"来判定机械能是否守恒；当研究对

象（除地球以外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

③对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失,碰撞后两物体粘在一起的过程中一

定有机械能损失.

（4）机械能守恒定律的各种表达形式

①22

2

1

2

1

vmhmgmvmgh







,即

kpkp

EEEE









;

②

0

kP

EE；0

21

EE;

减增

EE

用①时，需要规定重力势能的参考平面。用②时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考

平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减,只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

(5）解题步骤

①确定研究对象和研究过程。

②判断机械能是否守恒。

③选定一种表达式，列式求解.

（6）理解势能势能与相互作用的物体之间的相对位置有关,是系统的状态量。例如重力势能与物体相对地面的高度

有关，弹性势能与物体的形变有关.势能的大小与参考点(此处势能为零）的选取有关，但势能的变化与参考点无关.重

力势能的变化与重力做功的关系是W

G

=Ep

1

－Ep

2

=mgh

1

－mgh

2

;弹性势能的变化与弹簧做功有类似的关系.要区分重力做

功W

G

=mgh中的“h”和重力势能Ep=mgh中的“h”，前者是始末位置的高度差，后者是物体相对参考面的高度。

七、功能关系

(1）功是能的转化的量度:

做功的过程就是能量转化的过程，做功的数值就是能量转化的数值．不同形式的能的转化又与不同形式的功相联

系．

（2）力学领域中功能关系的几种主要表现形式：

①合外力对物体所做的功等于物体动能的增量．W合=Ek2一Ek1(动能定理）

②只有重力做功（或弹簧的弹力）做功，物体的动能和势能相互转化，物体的机械能守恒。

③重力功是重力势能变化的量度，即W

G

=－ΔE

P重

＝一（E

P末

一E

P初

）=E

P初

一E

P末

④弹力功是弹性势能变化的量度，即：W

弹

＝一△E

P弹

＝一（E

P末

一E

P初

)=E

P初

一E

P末

⑤除了重力,弹力以外的其他力做功是物体机械能变化的量度,即：W

其他

=E

末

一E

初

⑥一对滑动摩擦力对系统做总功是系统机械能转化为内能的量度,即：f·S

相

＝Q

（3）理解“摩擦生热”

设质量为m

2

的板在光滑水平面上以速度υ

2

运动，质量为m

1

的物块以速度υ

1

在板上同向运动，且υ

1

＞υ

2

,它们之

间相互作用的滑动摩擦力大小为f，经过一段时间，物块的位移为s

1

，板的位移s

2

，此时两物体的速度变为υ′

1

和υ′

2

，

由动能定理得:

—fs

1

=

1

2

m

1

υ′

1

2－

1

2

m

1

υ

1

2（1)

fs

2

=

1

2

m

2

υ′

2

2－

1

2

m

2

υ

2

2(2）

在这个过程中,通过滑动摩擦力做功,机械能不断转化为内能，即不断“生热”，由能量守恒定律及(1）（2）式可得

Q=（

1

2

m

1

υ

1

2+

1

2

m

2

υ

2

2）－（

1

2

m

1

υ′

1

2－

1

2

m

2

υ′

2

2）=f(s

1

－s

2

)（3）

由此可见,在两物体相互摩擦的过程中，损失的机械能（“生热”)等于摩擦力与相对路程的乘积.

长郡中学高一下期物理期末复习题(机械能）

1．质量60kg的人，从第一层登上大厦的第21层用了5min，如果该楼每层高

3.0m,则登楼时这人的平均功率是(g取10m／s2）

A．0.12kwB。0。36kWC。0.40kwD.1。2kw

2．一艘轮船以速度15m／s匀速运动，它所受到的阻力为1.2×107N，发动机实际功

率是

A.1.8×105kWB．9。0×104kWC.8.0×104kwD.8.0×103kW

3．汽车发动机的额定功率为80kW，它们以额定功率在平直公路上行驶的最大速度为20m／s，那么汽车在以最大速度

匀速行驶时所受的阻力是

A．8000NB．4000NC．2500ND．1600N

4．汽车在平直的公路上行使,它受的阻力大小不变，若发动机的功率保持恒定，汽车在行驶的过程中，它的牵引力F

和加速度a的变化情况是

A．F逐渐减小，a也逐渐减小B．F逐渐增大,a逐渐减小

C．F逐渐减小，a逐渐增大D．F逐渐增大，a也逐渐增大

5．改变汽车的质量和速度，都能使汽车的动能发生变化.在下面4种情况中，能使汽车的动能变为原来的4倍的是

A．质量不变，速度增大到原来的4倍B．质量不变，速度增大到原来的2倍

C．速度不变，质量增大到原来的2倍D．速度不变，质量增大到原来的8倍

6．利用潮汐可以发电，某海湾围海面积为S,涨潮与落潮水位差为h，海水密度为ρ，每次潮汐可以发电的海水势能为

(）

A．ρSh2B．ρSh2／2C．ρSh2gD．ρSh2g／2

7．如图6-4所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体以初速度v

0

被抛出，不计

空气阻力，当它到达B点时，其动能为:

A。mv

0

2/2+mgHB。mv

0

2/2+mgh

C．mgH—mghD．mv

0

2/2+mg（H—h）

8．一物体从某一高度自由落下,落在直立于地面上的轻弹簧上，如图6—5在A点，物体开始与弹簧接

触，到B点时，物体的速度为零，然后被弹回。则下列说法中正确的是（)

A．物体从A点下降到B的过程中，动能不断减小

B．物体从B上升到A的过程中，动能不断增大

C．物体从A下降到B以及由B上升到A的过程中，动能都是先增大，后减小

D．物体在B点时，所受合力为零

9．一质量m=2.0kg的物体自由下落，重力加速度取10m／s2,则第2s内重力的平均功率

A．400WB．200WC．300wD．100w

10．快艇在水上行驶，所受水的阻力和艇的速度平方成正比,若快艇以速度v行驶时,发动机的功率为p，当快艇的速度

为3v时,发动机的功率应为

A．27ΡB．9ΡC．3ΡD．81Ρ

11．如图6—6所示，质量分别为m

1

和m

2

的两个物体，m

1

〈m

2

，在大小相等的两个力F

1

和F

2

的作用下沿水平方向

移动了相同的距离，若F

l

做的功为W

1

，F

2

做的功为W

2

,则

A．W

1

=W

2

B．W

1

〈W

2

C．W

1

>W

2

D．条件不足，无法确定

12．物体在平衡力作用下运动，则(）

A．它的机械能一定不变

B．它的动能不变，势能一定变化

C．当物体的势能发生变化时，它的机械能一定有变化

D．当物体的势能发生变化时，它的机械能不一定有变化

13．质量为m的物体以竖直向下以3g的加速度加速运动，在它向下运动h米的过程中

A．物体的动能增加mghB．物体的机械能增加2mgh

C．合外力物对物体做功2mghD．物体的重力势能减少3mgh

14．汽车在平路上以额定功率从静止开始运动，如图所示速度和时间的关系图线最接近实际运动的是

15．在下列几种运动中,遵守机械能守恒定律的运动是

A．平抛运动B．雨点匀速下落

C．物体沿斜面匀速下滑D．汽车刹车的运动

16．上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摆动，摆动的幅度越来越小。对此现象下列说法正确的是

A。摆球机械能守恒

B．总能量守恒，摆球的机械能正在减小，减小的机械能化为内能

C．能量正在消失

D．只有动能和重力势能的相互转化

17．如图6—8所示小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的过程中，

下列关于能量的叙述中正确的是

A。重力势能和动能之和保持不变

B．重力势能和弹性势能之和总保持不变

C．动能和弹性势能之和总保持不变

D．重力势能、弹性势能和动能之和．总保持不变

18．跳水运动员从10m高的跳台上跳下(不计阻力)，在下落的过程中

A．运动员克服重力做功

B．运动员的机械能在减少

C．运动员的动能减少，重力势能增加

D．运动员的动能增加，重力势能减少

19．竖直向上抛出一个物体，由于受到空气阻力作用，物体落回抛出点的速率小于抛出时的速率，则在这个过程中

Ａ．物体的机械能守恒

B．物体的机械能不守恒

Ｃ．物体上升时机械能减小，下降时机械能增大

D．物体上升时机械能增大,下降时机械能减小

二、填空题20.一个物体

能够做功，我们就说这个物体具有______。一个物体能够做的功越多，表示这个物体的_____。

21.运动物体的速度____，质量____，它的动能就越大；物体的质量____，被举得___，它的重力势能就越大;物体的____

越大，它的弹性势能就越大.

22。完全相同的两块红砖，分别举到1。5米和2米高处，举到____米处的红砖具有的重力势能少，这是因为

________________。

23.运动员向斜上方投出的铅球，具有___能和____能。在铅球上升过程中，___能转化成___能;在

下落过程中，___能转化为____能.

24。如图1-2中，金属小球用细线悬挂起来,把小球拉到A点松手后,小球从A向B运动的过程中，

___能转化为____。从B向C运动的过程中,_____能转化为____能。

25。将一小球竖直向上抛出,当它达到最高点时具有的重力势能是20焦耳,若不计空气阻力，当它落回抛出点时的动能

是焦耳,机械能是焦耳。

26、如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2栓接,劲度系数为k2的轻弹簧与物块2

栓接，下端压在桌面上（不拴接)，整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓缓地竖直上提，直到下面那个弹簧的下

端刚脱离桌面,在此过程中，物块2的重力势能增加了多少？

27．如图6所示,桌面距地面0.8m，一物体质量为2kg，放在距桌面0.4m的支架上．

（1）以地面为零势能位置，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中，

势能减少多少？

（2)以桌面为零势能位置,计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中

势能减少多少？

28．如图7所示，重物A质量为m,置于水平地面上，其上表面竖直固定着一根轻弹簧，弹簧长为L0劲度系数为k,下

端与物体相连结，现将上端P缓缓地竖直提起一段距离L，使重物离开地面，这时重物具有的重力势能为多少？(以地

面为零势面）．

题

号

171819

答

案

AABABDBCCAACBBABDDB