复数的运算

1

复数的概念和运算

内容：

1．复数的有关概念

虚数单位I；复数的定义；复数的表示法；共轭复数；复数的模；复数相等.

2．复数的运算：

复数代数形式的加、减、乘、除运算及加、减法运算的几何解释

要求：

对数的发展有初步认识；对复数有关概念有理性的认识，能够解释，举例或变形、推断，

并能利用这些知识解决简单问题.

对复数运算及其加、减法的几何解释有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所学知识

解决有关问题.

例1．

i2n-3+

i2n-1+

i2n+1+

i2n+3的值为（）.

A、-2B、0C、2D、4

分析与解答：

法一：原式

0)()1()

11

(3

3

2iiiiii

i

i

inn

法二：原式

0)1111()1(3264232nniiiii

法三：视为等比数列，

原式0

11

)11(

1

)1(32

2

832















nni

i

ii

.选B.

几种方法（法一，法二是同一种方法）均用到了

i

的运算的周期性：

14ni，.,1,342414iiiiinnn

例2．设z

1

,z

2

为复数，那么02

2

2

1

zz是z

1

,z

2

同时为零的（）.

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

分析与解答：

若z

1

,z

2

同时为零，则02

2

2

1

zz成立；而当02

2

2

1

zz时，就不一定z

1

,z

2

同时为零.

如：当z

1

=i,z

2

=1时0112

2

2

1

zz，故选B.

注意在复数集中不能套用实数集中的性质.

例3．下面命题中正确的是（）.

A、互为共轭复数的两数之差必是纯虚数B、复数a+b

i

=c+d

i

的充要条件是a=c,b=d.

C、如果让实数a与纯虚数a

i

对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应.

D、复平面虚轴上各点与纯虚数一一对应.

分析与解答：

A、否定：因为复数≠虚数，如z=3,3z,∴0zz不是纯虚数.

B、a,b,c,d应为R，否则不成立，因此否定.

C、否定：a=0时，a

i

=0不是纯虚数.D、正确，虚轴不包括原点.

例4．已知：izz97||3，求复数z.

分析与解答：

设z=a+b

i

(a,b∈R)，由已知有

ibabia97)(322，

2

整理为ibibaa973322，根据复数相等，有















)2.....(.....93

)1........(7322

b

baa

由(2)得b=-3代入(1)得a=4或

4

5

a.

经检验

4

5

a舍去，∴z=4-3

i

.

注意：利用复数相等将复数问题转化为实数问题后，在解方程组时，因有一个是无理方程，因

此必须验根.

例5．设z∈c，且|z|=2,求|31|zi的最小值和最大值.

分析与解答：

法一：|||31||31|||||31||zizizi，

又∵|z|=2,2|31|i,∴4|31|0zi，

因此|31|zi的最小值为0，最大值为4.

此法利用的是复数模的性质：||z

1

|-|z

2

||≤|z

1

+z

2

|≤|z

1

|+|z

2

|.请问，你知道等号成立的条件吗？

法二：利用复数减法的几何意义：|z|=2是以原点为圆心，2为半径的圆.

)31(||31|izzi|表示此圆上的点到点)3,1(M的距离，

由图知：∵M就在圆上，所以最小距离为0，而最远距离在过M点的直径的另一端M'处，

|MM'|=2R=4，得最远距离为4.

此题还有其它解法，但这两种解法最快捷.

例6．当

2

1i

z



时，求z100+z50+1的值.

分析与解答：

由

2

1i

z



得i

i

z





2

2

2，∴

i4=-1.

则z100+z50+1=(-1)25+(-1)12(-

i

)+1=-

i

.

例7．求同时满足下列两个条件的所有复数z.

(1)

z

z

10

是实数，且6

10

1

z

z.

(2)z的实部和虚部都是整数.

分析与解答：

由题,设z=x+yi(x,y∈Z且x2+y2≠0),

则

22

10101010

yx

yix

yix

yix

yix

z

z











i

yx

y

yx

x)

10

1()

10

1(

2222







∵

z

z

10

是实数，∴虚部0)

10

1(

22







yx

y，

∴y=0或0

10

1

22







yx

，

3

又∵6

10

1

z

z，∴6)

10

1(1

22







yx

x……①

(1)当y=0时①式化为

6

10

1

x

x,

x<0时，0

10



x

x，6

10

1

x

x无解.

x>0时，,6102

10



x

x6

10

1

x

x无解.

(2)当x2+y2=10时，①式可化为1<2x≤6,

∴3

2

1

x,又∵x,y∈Z,∴x=1,x=2,x=3.

∴











3

1

y

x































1

3

1

3

3

1

y

x

y

x

y

x

因此，同时满足条件(1)和(2)的所有复数是：

iiii3,3,31,31.