实数集

《数学分析》第一章实数集与函

数

2

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1

数学分析（mathematicalanalysis）课程简介

(计划课时:2时）

一、背景：从切线、面积等问题引入。

1极限(limit)——变量数学的基本运算.

2数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数

范围内进行讨论）。主要研究微分（differential）和积分(integration)两种特殊的极限

运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些

非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论。

3数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期：在我国很早就有极限思想.纪元前三世

纪,Archimedes就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发

展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期：十九时

纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期。

二、数学分析课的特点:

逻辑性很强,很细致，很深刻;先难后易,是说开头四章有一定的难度，若能努力学

懂前四章（或前四章的80%)，后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲，一般是

可以听得懂的,但即便能听懂，习题还是难以顺利完成。这是因为数学分析技巧性很强，只

了解基本的理论和方法,不辅以相应的技巧，是很难顺利应用理论和方法的。论证训练是数

学分析课基本的，也是重要的内容之一,也是最难的内容之一。一般懂得了证明后，能把证

明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来,似乎是更难的一件事.因此,理解证

明的思维方式，学习基本的证明方法，掌握叙述和书写证明的一般语言和格式，是数学

分析教学贯穿始终的一项任务.

有鉴于此，建议的学习方法是：课前要复习，做好必要的听课准备;课堂上认真听讲，

必须记笔记，但要注意以听为主，力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业,

先认真整理笔记,补充课堂讲授中太简或跳过的推导，阅读教科书，学习证明或推导叙述

和书写的格式与方法。基本掌握了课堂教学内容后,再去做作业。在学习中，要养成多想

问题的习惯，善于论证进行肯定,尤其要善于举反例进行否定；对概念不能有一点含糊，那

是一个数学名词的固定含义,那是推理论证的根据。

数学分析是数学系最重要的一门专业基础课，因为它不仅是大学数学系学生进校后首

先面临的一门重要课程,而且大学本科乃至研究生阶段的很多后继课程在本质上都可以看

作是它的延伸、深化或应用,至于它的基本概念、思想和方法,更可以说是无处不在。本课

程的主要任务是：使学生获得极限论、单多元微积分、级数论等方面的系统知识；为后继

数学专业课程（如微分方程、实变函数和复变函数、概率论、统计及有关的泛函分析、微

分几何等选修课程)及普通物理课程等提供所需的基础理论和知识；提高学生思维能力，开

发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）训练及培养学生独立工作

能力.

数学分析是数学专业各个方向上考研必考的专业基础课（另一门是高等代数）.

三、课堂讲授方法：

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2

1.关于教材与参考书目:没有严格意义上的教科书。这是大学与中学教学不同的地

方,本课程主要从以下教科书中取材:

［1]华东师范大学数学系编，数学分析（上下册）（第三版），高等教育出版社，2001.6.

[2］数学分析讲义(上下册）(第三版）。刘玉琏傅沛仁编。高等教育出版社,2001.

[3］数学分析新讲（一、二、三册)。张筑生编。北京大学出版社，1991。

［4]微积分学教程(共八册）.Γ.Μ.菲赫金哥尔茨著。人民教育出版社，1978.

［5］数学分析中的反例。王俊青编.电子科技大学出版社，1996.

［6］数学分析中的典型问题与方法.裴礼文编.高等教育出版社,2002。

[7]数学分析习题集题解(共六册)。Б。Л。吉米多维奇编。费定辉等译,山东科技出版社，

1983。

本课程基本按[1］的逻辑顺序，主要在［1]、［2］、[3］中取材。在讲授中，有时会

指出所讲内容的出处。本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内

容。因此删去了［1］中第十九和二十三等两章，相应的内容作为选修课将在学完数学分

析课之后开设.

2.内容多，课时紧：大学课堂教学与中学不同的是,这里每次课介绍的内容很多，因

此,内容重复的次数少，讲课只注重思想性与基本思路，具体内容或推导,特别是同类型或

较简的推理论证及推导计算,可能讲得很简,留给课后的学习任务一般很重.

：概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分

析与思路，具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧。某些精细概念之间的本质差别.在

第一、二章教学中，可能会写出某些定理证明，以后一般不会做特别具体的证明叙述.

四、要求、辅导及考试：

1。学习方法：

1

：3(国外这个比例通常是1：4）

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说,课堂听讲的内容应该更为丰富:要认

真评价教师的课堂教学，把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工

作是很有用的。

2.作业:作业以［1］的练习题中划线以上的部分习题为主要内容,同时可参考［7］与

［1]中划线以下部分的习题。大体上每个练习收一次作业，每次收作业总数的三分之一。

作业的收交和完成情况有一个较详细的登记，缺交作业将直接影响学期总评成绩.

作业要按数学排版格式书写恭整.

要求活页作业,要有作业封面,尺寸为

cm5.275.19

。

3.辅导:大体每周一次，第一学期要求辅导时不缺席.

4。考试：按学分制的要求,只以最基本的内容进行考试,大体上考课堂教学和所布置

作业的内容，包括[1]中的典型例题。开设三学期考三次.考试题为标准化试题。

五。内容安排

1.课时分配:第一学期16×6=96；第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.

2。内容分配：第一学期一元函数微分学;第二学期一元函数积分学与级数论；第

三学期二元函数微积分学.

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3

第一章实数集与函数（计划课时:6时）P1—22

§1实数（1时）

一．实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义。

1。实数用无限小数表示的方法:

为了把有限小数（包括整数）表示为无限小数,规定:对于正有限小数(包括正整数）

x，

n

aaaax

210

.时，其中,90

i

a,0,,,2,1

n

ani

0

a为非负整数，记

9999)1(.

210



n

aaaax；而当

0

ax为正整数时，则记9999).1(

0

ax；对

于负有限小数(包括负整数)

y

,则先将

y

表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号；

又规定数0表示为

000.0

.例如

010999.2011.2

，

999.78

。

2.实数的大小:

定义1：(实数大小的概念)见[1］P1。

定义2:（不足近似与过剩近似的概念）见［1］P2。

命题：设

210

.aaax与

210

.bbby为两个实数，则

yxn

,使得

nn

yx.

例1设x、

y

为实数，

yx

。证明:存在有理数r满足

yrx

。[1］P17E1。

3.实数的性质:

⑴。四则运算封闭性：

⑵。三歧性（即有序性）:

⑶.Rrchimedes性:bnaNnabRba,,0,,.

⑷。稠密性：有理数和无理数的稠密性，给出稠密性的定义.

⑸。实数集的几何表示───数轴:

⑺。两实数相等的充要条件：.,0baba

二。区间和邻域的概念：见［1]P5

三。几个重要不等式:

1.绝对值不等式:定义.,maxaaa［1]P2的六个不等式。

2。其它不等式:

⑴,222abba.1sin

⑵均值不等式:对,,,,

21

R

n

aaa记

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4

,

1

)(

1

21









n

i

i

n

i

a

nn

aaa

aM



（算术平均值)

,)(

1

1

21

n

n

i

i

n

ni

aaaaaG





















（几何平均值）

.

111

1

111

)(

11

21











n

i

i

n

i

i

n

i

a

n

an

aaa

n

aH



(调和平均值)

有平均值不等式:

),()()(

iii

aMaGaH等号当且仅当

n

aaa

21

时成立.

⑶Bernoulli不等式：,1x有不等式.,1)1(Nnnxxn

当

1x

且

0x

,

Nn

且

2n

时,有严格不等式.1)1(nxxn

证由

01x

且111)1(1)1(,01nnxnxx

).1()1(xnxnn

n.1)1(nxxn

⑷利用二项展开式得到的不等式:对,0h由二项展开式

,

!3

)2)(1(

!2

)1(

1)1(32nnhh

nnn

h

nn

nhh









有nh)1(上式右端任何一项。

Ex[1］P4:3，4，5，6；

§2确界原理（2时)

一、有界数集：定义(上、下有界,有界），闭区间、baba,(),(为有限数)、邻域等

都是有界数集,如集合),(,sinxxyyE也是有界数集。

二、无界数集：定义，),0(,)0,(,),(等都是无界数集，

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5

如集合













)1,0(,

1

x

x

yyE也是无界数集。

三、确界：给出直观和刻画两种定义.

例1⑴,

)1(

1

















n

S

n

则._______inf______,supSS

⑵.),0(,sinxxyyE则._________inf________,supEE

例2非空有界数集的上(或下）确界是唯一的。

例3设

S

和

A

是非空数集,且有

.AS

则有.infinf,supsupASAS。

例4设

A

和

B

是非空数集.若对

Ax

和,By都有,yx则有.infsupBA

证,Byy

是

A

的上界,.supyAAsup是

B

的下界,.infsupBA

例5

A

和

B

为非空数集,

.BAS

试证明：.inf,infmininfBAS

证,Sx有

Ax

或,Bx由

Ainf

和

Binf

分别是

A

和

B

的下界,有

Axinf

或

.inf,Bx即inf,infminBA是数集

S

的下界，

.inf,infmininfBAS又SAS,的下界就是

A

的下界，

Sinf

是

S

的

下界，

Sinf

是

A

的下界,;infinfAS同理有

.infinfBS

于是有

inf,infmininfBAS。综上,有inf,infmininfBAS。

四、数集与确界的关系：确界不一定属于原集合。以例1⑵为例做解释。

五、确界与最值的关系:设

E

为数集。

⑴

E

的最值必属于

E

,但确界未必,确界是一种临界点。

⑵非空有界数集必有确界（见下面的确界原理）,但未必有最值。

⑶若

Emax

存在，必有.supmaxEE对下确界有类似的结论。

六、确界原理：Th（确界原理）.

Ex[1］P9:2,4，5.

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§3函数概念（2时）

一。函数的定义:

1。函数:［1]P10-11的四点说明.

2.定义域：定义域和存在域.

3.函数的表示法：

4.反函数:一一对应，反函数存在定理。

5.函数的代数运算：

二.分段函数：以函数



















1,

,1,2

,1,1

)(

2xx

x

xx

xf和

















1,

,1,2

)(

2xx

xx

xg为例介绍

概念。

,123)(xxf去掉绝对值符号.

例2













.1,1

,1,

)(

xx

xx

xf求).2(),1(),0(fff

例3设













.10,)5(

,10,3

)(

xxff

xx

xf求).5(f（答案为8）

三.复合函数：

例4.1)(,)(2xxguuufy求).()(xgfxgf并求定义域。

例5⑴._______________)(,1)1(2xfxxxf

⑵.

11

2

2

x

x

x

xf













则)()(xf

A.,2xB.,12xC。,22xD..22x

四.初等函数：

1。基本初等函数:

2.初等函数：

3。初等函数的几个特例:设函数)(xf和)(xg都是初等函数，则

⑴)(xf是初等函数，因为.)()(2xfxf

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⑵)(,)(max)(xgxfx和)(,)(min)(xgxfx都是初等函数,

因为)(,)(max)(xgxfx)()()()(

2

1

xgxfxgxf,

)(,)(min)(xgxfx)()()()(

2

1

xgxfxgxf。

⑶幂指函数0)()()(xfxfxg

是初等函数，因为

.)()(ln)()(ln

)()(xfxgxf

xgeexfxg

五.介绍一些特殊函数:

1.符号函数

let函数

n函数

4.取整函数

5.非负小数部分函数

Ex［1]P151(4)（5)，2,3，4，5，6,7，8;

§4具有某些特性的函数（1时)

一、有界函数:有界与无界函数的概念.

例1验证函数

32

5

)(

2



x

x

xf在

R

内有界。

解法一由,62322)3()2(32222xxxx当

0x

时，有

.3

62

5

62

5

32

5

32

5

)(

22











x

x

x

x

x

x

xf

30)0(f，



对,Rx总有,3)(xf即)(xf在

R

内有界.

解法二令

32

5

2







x

x

y关于x的二次方程03522yxyx有实数根。

22245y.2,4

24

25

,02yy

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解法三令













2

,

2

,

2

3

ttgtx对应).,(x于是































t

t

t

ttg

tgt

tgt

tgt

x

x

xf

2222c

1

cos

sin

6

5

1

2

3

3

5

3

2

3

2

2

3

5

32

5

)(

.

62

5

2sin

62

5

)(,2sin

62

5

txft

例2见[1］P17。

例3见［1]P17.

二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数（略），参阅［1］P17—19，

Ex[1]P201，2，3，4，5，6，7；