双曲线焦点

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浙江省余姚中学高二数学试卷(命题人：王达先)

一、选择题：(本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．)

1．过点(0，1)，且与直线2x＋y－3＝0垂直的直线方程是()

(A)2x－y－1＝0(B)x－2y＋2＝0

(C)2x－y＋1＝0(D)x－2y－2＝0

2．椭圆

22

1

94

xy



的右焦点到左准线的距离是()

(A)

4

5

5

(B)

14

5

5

(C)

18

5

5

(D)2

5

3．如果双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于实半轴长，则其离心率是()

(A)2(B)

2

(C)

5

(D)

3

4．方程22axayb(ab＜0)的曲线是()

(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在y轴上的椭圆

(C)焦点在x轴上的双曲线(D)焦点在y轴上的双曲线

5．参数方程

sincos

sincos

x

y















(



为参数)表示曲线是()

6．过双曲线

2

21

2

y

x

的右焦点，作直线l交双曲线于A，B两点，若│AB│＝4，则

这样的直线l存在()

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

7．异面直线a，b均在平面α外，则a，b在平面α内的射影一定不是（）

A．两条平行直线B．两条相交直线

C．两个点D．一个点和一条直线

8．对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线②与a所

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成的角为30°③与a的距离为定值。那么这样的直线b有（）

A．1条B．2条

C．3条D．无数条

9．已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，且a与b成角为30°，在直线a上取

AP=4，则点P到直线b的距离为（）

A．22B．4

C．142D．22或142

10．圆222430xyxy上到直线x+y+1=0的距离等于2的点共有（）

A．一个B．两个C．三个D．四个

11.下列说法中，正确的是（）

（A）平行四边形是一个平面（B）直线AB不能全在平面内

（C）平面α和平面只有一个公共点(D)圆可以确定一个平面

12.若a与b是异面直线，且a//平面α,那么b与平面α的位置关系是（）

(A)b//平面α(B)b与平面α相交(C)b在平面α内(D)不能确定

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上．)

13．抛物线y＝

1

2

x2的焦点坐标是_______．

14．若异面直线a、b所成的角为60°，P是空间一点，则过点P且与a、b所成的角都

是40°的直线的条数是___________________

15.设F

1

是椭圆225945xy的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，

则

1

PAPF的最大值是____________________。

16．对于椭圆

22

1

169

xy



和双曲线

22

1

79

xy



有下列命题：

⑴椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；

⑵双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点；

⑶双曲线与椭圆共焦点；

⑷椭圆与双曲线有两个顶点相同．

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其中正确命题的序号_______(把你认为正确的序号都填上)

三、解答题：(本大题共5小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤)

17.(本小题满分6分)

求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此

平面内。(用数学符号语言写出已知、求证，作出证题说明示意图，给出证明)

18．(本小题满分7分)

如下图3，在空间四边形中，，，于，

于．求证：平面．

19．(本小题满分7分)

过椭圆

22

1

164

xy



内一点M(2，－1)引弦AB，若AB恰好被点M平分，求AB所在的直

线的方程．

20．(本小题满分7分)

已知圆A的圆心为(

2

，0)，半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A

相切，双曲线C的一个顶点A'与点A关于直线y＝x对称．

⑴求双曲线C的方程；

⑵设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直

线l的距离为

2

，试求k的值及此时点B的坐标．

21．(本小题满分9分)

小明家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯(如图1)，

另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4cm，杯深为8cm(如图2)，称之为抛物线酒

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杯．

⑴请选择适当的坐标系，求出抛物线酒杯的方程．

⑵一次，小明在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒

杯中，则任何玻璃球不能触及酒杯杯底．但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻

璃球能触及酒杯杯底．小明想用所学过的数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，

玻璃球一定会触及酒杯杯底部．你能帮助小明解决这个问题吗？

⑶在抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀，长度为2cm的细棒，假设细棒的端点与酒杯

壁之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中位置如何？

图1图2

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学

校

班

级

考

号

姓

名_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

试

场

号_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

装

订

线

内

不

要

答

题





































装











































订





































线



































浙江省余姚中学高二数学答案

一、选择题（每小题4分，共48分）

题号1112

答案BBBDDCCDACDD

二、填空题（每空4分，共16分）

13.(0,1/2)14.2

15.6+216.⑴，⑵

三．解答题

17.(本小题满分6分)

见课本P17

18．(本小题满分7分)

证明：取的中点，连结

∵，

∴，

故平面

又平面，则

又，

∴平面

又平面，则

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又，

∴平面．

19．(本小题满分7分)

解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意设，有x1+x2＝4，

y1＋y2＝－2．…………………………………………2分

22

11

22

22

1

164

1

164

xy

xy



















，两式相减得

2222

12120

164

xxyy



．……………2分

所以直线AB的斜率2112

2121

1

4()2

yyxx

k

xxyy







．……………2分

因此直线AB的方程为y＋1＝

1

2

(x－2)，即x－2y－4＝0．…1分

20．(本小题7分)(第一问3分，第二问4分)

解：⑴设双曲线的渐近线为y＝kx，则

2

2

1

1

k

k





，解得k＝±1．

即渐近线为y＝±x．

又点A关于y＝x的对称点A'的坐标为(0，

2

)，

所以，a＝b＝

2

，双曲线的方程为

22

1

22

yx



．

⑵直线l：y＝k(x－

2

)，(0＜k＜1)．

依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为

2

，

设直线l'：y＝kx＋m，则

2

2

2

1

km

k







，即m2＋22

km＝2①

把l'代入双曲线方程得：

(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0

∵0＜k＜1，∴k2－1≠0．

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∴△＝4(m2＋2k2－2)＝0，即m2＋2k2＝2②

解①②，得

10

5

m，

25

5

k．

此时，x＝22，

10y

，所以B(22，

10

)．

21．(本小题满分9分)(第一问3分，第二问3分，第三问3分)

解：⑴如图1，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p＞

0)．

将x＝2，y＝8代入抛物线方程，得

1

4

p，

∴抛物线方程为2

1

2

xy．

⑵设圆心在y轴正半轴上，且过原点的圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，将之代入抛物线

方程，

消去x，得y2＋(

1

2

－2r)y＝0．

∴

1

y＝0，

2

y＝2r－

1

2

．

若要使玻璃球在杯中能触及杯底，则要

2

y＝2r－

1

2

≤0．

即当0＜r≤

1

4

时，玻璃球一定会触及杯底．

⑶如图1，由于细棒的粗细均匀，所以细棒的平衡状态就是细棒的中点M(即细棒的重心)

处于最低位置状态．因此问题就转化为长度为2cm的线段AB的两个端点在抛物线x2＝

1

2

y

上移动，当线段AB的中点M到x轴的距离最短时，求点M的坐标．最后求得M的坐标为

37

(,)

48

．

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余姚中学高二期中试卷

第一学期

一、选择题（每题3分，共36分）

1、如果直线022yax与直线023yx平行，那么系数a为

A)

2

3

B)–6C)-3D)

3

2

2、不等式062yx表示的平面区域在直线062yx的

A)右上方B)右下方C)左上方D)左下方

3、圆064422yyxx截直线04yx所得的弦长等于

A)2B)2C)22D)24

4、下面命题正确的是

A)空间三个点可确定一个平面

B)空间的一条直线和一个点可确定一个平面

C)四边形一定是平面图形

D)梯形与三角形一定是平面图形

5、已知ba,是异面直线，直线c∥a，那么bc与的位置关系是

A)一定是平行直线B)一定是相交直线

C)不可能是平行直线D)不可能是相交直线

6、直线l、

m

和平面，l∥，m

，则l与

m

的位置关系必定是

A)l∥

m

B)l与

m

异面C)l与m相交D)l与

m

无公共点

7、曲线1

925

22



yx

与曲线2591

925

22









k

k

y

k

x

〈具有相同的

A)长、短轴B)焦距C)离心率D)准线

8、过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于

1,1

yxA

22

,yxB两点，若

6

21

xx，那么AB等于

A)4B)10C)6D)8

9、已知椭圆1

36100

22



yx

上一点P到它的右准线的距离是10，则P点到它的左焦点

的距离是

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A)14B)12C)10D)8

10、圆0222xyx与抛物线xy42公共点的个数

A)0B)1C)2D)3

11、圆心在抛物线yx22上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程可为

A)0

4

1

222yxyx

B)01222yxyx

C)0

4

1

222yxyx

D)01222yxyx

12、我们把离心率等于黄金比

2

15

的椭圆称为“优美椭圆”。设

01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

为优美椭圆，F、A、B分别是它的左焦点、右顶点和短轴

的一个端点，则ABF等于

A)060B)075C)090D)0120

二、填空题（每题3分，共12分）

13、抛物线24xy的准线方程是

14、若yxP,在椭圆1

2516

22



yx

上，则xy3的最大值为

15、椭圆1

2

2

2

y

x

和斜率为2的直线相交，则截得弦AB的中点轨迹方程为

16、如图，F

1

，F

2

分别为椭圆

1

2

2

2

2



b

y

a

x

的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF

2

是面

积为

3

的正三角形，则b2的值是.

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三、解答题（共52分）

17、求和直线0423yx垂直且与圆03222yxx相切的直线方程。

18、以坐标轴为对称轴的双曲线焦距是8，一条渐进线的方程是023yx，求双曲

线的方程。

19、已知：08，B、08，C是ABC的两个顶点，AB、AC边上的中线长之和为30，

（1）求此三角形的重心G的轨迹方程。

（2）求此三角形的顶点A的轨迹方程。

20、已知空间四边形ABCD的对角线10AC，6BD，M、N分别是CDAB、中

点，7MN，求异面直线BDAC与所成的角。

21、已知直线2xy与抛物线022ppxy

相交与点BA、，且满足OBOA，求实数p的值。

22、已知椭圆的两个焦点为22,0

1

F，220

2

，F

，离心率

3

22

e

（1）求椭圆的方程

（2）是否存在直线l，使l与此椭圆交于不同的两点NM,，且线段MN恰好被

直线

2

1

x平分？若存在，求出直线l的倾斜角的范围；若不存在，说

明理由。

B

D

C

A

M

N