帕斯卡分布

常用分布函数/1

1

、常用离散型分布

单点分布（退化分布）Ixc



1,

0,

xc

PXx

xc













，

c

为常数，数学期望

c

，方差

0

，特征函数icte

伯努利分布（两点分布）



,0

,1

pk

PXk

qk













，

01,1ppq

数学期望

p

，方差

pq

，特征函数itpeq

二项分布,Bnp

-kknk

n

PXkCpq

，

0,1,,kn

，

01,1ppq

数学期望

np

，方差

npq

，特征函数n

itpeq

泊松分布P

e

!

k

PXk

k





，

0,1,2,k

，0

数学期望，方差，特征函数

1itee

几何分布

1kPXkqp

，

1,2,k

，

01,1ppq

数学期望

1

p

，方差

2

q

p

，特征函数

1

it

it

pe

qe

超几何分布

knk

MNM

n

N

CC

PXk

C





，1,2,,min,,kMNMN

数学期望

nM

N

，方差

1

1

nMMNn

NNN













，特征函数

0

knk

n

itk

MNM

n

k

N

CC

e

C









帕斯卡分布

1

1

rrkr

k

PXkCpq





，

,1,krr

，

01,1ppq

数学期望

r

p

，方差

2

rq

p

，特征函数

1

r

it

it

pe

qe









常用分布函数/2

负二项分布：记

r



为等待第

r

次成功所经历的失败次数，则

1

11

k

rrkkrkkr

krkrr

PkPkrCpqCpqCpq





，

0,1,2,k

，

0,01,1rppq

数学期望

rq

p

，方差

2

rq

p

，特征函数

1

r

it

p

qe









2

、常用连续型分布

均匀分布,Uab







1

,,

0,,

xab

ba

fx

xab



















，数学期望

2

ab

，方差

2

12

ba

，特征函数

itbitaee

itba





指数分布Exp



,0

0,0

xex

fx

x













，数学期望1，方差2，特征函数

1

1

it











正态分布（高斯分布）2,N



2

22

1

2

x

fxe











，

x

，数学期望



，方差2，特征函数22/2itte

对数正态分布



2

2

ln

2

1

,0

2

0,0

x

ex

fx

x

x



























，数学期望2/2e，方差2221ee

威布尔分布

1,0

0,0

xxex

fx

x

















，数学期望1/1/1

，方差2

2/2/11/1





伽马（

Gamma

）分布,

，形状参数



，尺度参数





1,0

0,0

xxex

fx

x





























，数学期望





，方差

2





常用分布函数/3

特征函数1

it











，k阶原点距

12

k

k

kk

EX









贝塔（

Beta

）分布,Bab







1

11,01

0,

b

ab

xxx

ab

fx























其他

，数学期望

a

ab

，方差21

ab

abab

特征函数







0

1

j

j

abajit

aabjj









，k阶原点距





11

11

k

aaak

EX

abababk







卡方分布2n

，即

1

,

22

n











/21/2

/2

1

,0

2/2

0,0

nx

n

xex

n

fx

x





















，数学期望

n

，方差2n，特征函数/212nit

t

分布



1

2

2

1

2

1

2

n

n

x

fx

n

n

n































，数学期望

0

，1n，方差

,3

2

n

n

n





特点：

t

分布为对称的单峰分布，与标准正态分布的密度函数很接近，但

t

分布的峰态系数小于零，即它的

峰形比标准正态分布略微扁平，相应的它的两侧尾部比标准正态分布的尾部略微肥厚一些，这意味着

t

分布

的离散性比标准正态分布大，即

t

分布的方差比标准正态分布的方差略大，当

n

趋于无穷大时，

t

分布收敛

到标准正态分布。

F分布



/2/2/21

2

2

,0

22

0,0

nm

nmn

nm

nmxnxmx

nm

fx

x











































数学期望

,2

2

m

m

m





，方差





2

2

22

,4

24

mnm

m

nmm







柯西（

Cauchy

）分布：自由度为

1

的

t

分布为柯西分布



2

2

1

fx

x











，

x

，数学期望和方差不存在，特征函数itte

二维正态分布

常用分布函数/4





22

1122

22

2

2

1122

12

11

,exp2

21

21

xxyy

fxy





































数学期望



，方差

2

112

2

122











n

维正态分布

1

1

2

2

1

1

,,2exp

2

n

T

n

fxxCxCx













，均值向量



，协方差矩阵C

帕累托（

Pareto

）分布

1

,

0,

k

k

k

x

fx

x

x

























，0，数学期望

,1

1

k

k

k







，方差

2

2

,2

12

k

k

kk







3

、欧拉积分：两类重要的含参量积分

（

Gamma

）函数，1

0

xxedx

，0

B（

Beta

）函数，1

1

1

0

,1q

pBpqxxdx

，

0,0pq

性质：101

，

1

2











，1!nnnn

，,,BpqBqp

，



1

,,1

1

q

BpqBpq

pq







，





,

pq

Bpq

pq







（补充：欧拉公式









1

221

000

11

cossin

!2!21!

kkk

kk

i

kkk

i

eii

kkk





















）

4

、常用分布之间的联系

若

12

,,,

n

XXX

相互独立，且~

i

XExp

，即~1,

i

X

，则

1

~,

n

i

i

Xn



。

若~,1X

，则~,

X

Y





。

若

12

,,,

n

XXX

相互独立，且~0,1

i

XN

，则22

1

1

~,

22

n

i

i

n

Xn











。

常用分布函数/5

若~,Xa

，~,Yb

，且相互独立，则~,

X

ZBab

XY





。

若2

1

~Xn

，2

2

~Yn

，且相互独立，则12~,

22

nn

X

ZB

XY











。

若~0,1XN

，2~Yn

，且相互独立，则~

/

X

Ttn

Yn



。

若2

1

~Xn

，2

2

~Yn

，且相互独立，则

1

12

2

/

~,

/

Xn

UFnn

Yn



。

若~Ttn

，则2~1,TFn

。