友矩阵

NA个自动控：现代控制理论

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现代控制理论知识结构

（研究的顺序符合控制理论的一般步骤：系统建模、模型求解、提出性能指标、系统

设计校正。）

一、系统的状态空间建模

1、从2个角度4种方法建立状态空间表达式。

2、状态空间表达式的线性变换

3、由状态空间表达式反推传递函数

4、建立离散系统的状态空间表达式

5、需要注意的地方

6、公式集锦

二、状态空间表达式的求解

1、无输入的情况下状态变量求解（齐次方程求解）

2、对于有输入的系统的状态变量求解（非齐次方程）

3、、状态转移矩阵的性质及判别

4、对于系统的状态转移矩阵的唯一性研究

5、几点注意

6、公式集锦

三、提出性能指标：能控性和能观性。及其判断方法

1、提出能控性和能观性的原因。

2、判断能控性和能观性的方法：直观分析和四大判据

3、得到能观能控标准型的两种方法

4、几点注意

5、系统的结构分解

6、公式集锦

四、系统设计校正：状态反馈

1、状态反馈改变系统性能的原理

2、状态反馈的特点

3、两种计算K阵的方法

4、公式集锦

一、系统的状态空间建模

1、从2个角度4种方法建立状态空间表达式。

已知一个物理系统，我们给它建立了一个微分方程模型，我们想

用经典理论和现代理论对其进行研究，即建立传递函数模型和状态空

间表达式。经典的传递函数模型太好建了呀，直接变换，一比就出来

了。可是状态空间模型呢，我们有两个角度①我们当然可以根据模型

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的定义，利用系统的性能进行建模，这也是建立状态空间表达式的第

一种方法。②从经典控制模型的角度，首先1、运用将传递函数或结

构图降阶，化成状态空间特有的结构图（不同于传递函数结构图，它

只有积分器、加法器、减法器、系数器）这是第二种方法。2、从经

典控制理论的微分方程来建立。（分成了单入单出、单入单出输入有

导数项、多路多出）微分方程就是一串积分器，再加系数反馈就好了。

这是第三种方法3、传递函数（有三种方法、直接程序法、串联程序

法、并联程序法）。这是第四种方法

这样说来，其实状态空间表达式所对应的结构图是从经典控制理论角

度（三种方法）建立其模型的中介。

其实经典法（微分方程、传递函数）和现代法就对应了两种结构图、

两种物理实现，两种结构图可以相互转换，两种模型也可以转化。（转

化的方式不唯一，很多种，稍微变化一点就可以写成完全不同的形式）

我们要牢记：AnnBnrCmnDmr

建模中的特殊形式：

单入单出微分方程建模：友矩阵

状态空间建模

从系统性能角度，选取

储能元件为状态变量，

从经典控制理

论出发

结构图化简、传递函数

降阶（分离出积分环节）

传递函数微分方程

直接程序法并联程序法串联程序法单入单出输入含导数项多入多出系统

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建模微分方程输入有导数：B法，友矩阵

传递函数直接程序法：友矩阵

并联程序法：对角型（特殊约旦、无重根）、约旦标准型（有重根）

线性变换中的特殊形式（两个情况）：

线性变换中A任意阵：

1、特征根无重根：对角阵

2、有重根：约旦标准型（广义特征向量）

线性变换中A是友矩阵：

1、无重根：T为范德蒙，A为对角阵

2、有重根：T特殊范德蒙，A为约旦标准型

3、复数根：（也能范德蒙按上述但不好分析性质）A模态规范型T由[ab]

4、有复数根也有实数根：模态块、对角阵（重根约旦型）、零阵的组合。

2、状态空间表达式的线性变换

我们知道，状态方程建模的方式不唯一，但它们之间必然有联系，

这就引出了状态方程表达式之间的“线性变换”（线性变换不改变传

递函数）即X=TZ，最后A=T逆AT，B=T逆B，C=CT，我们希望变

换后的A是个对角矩阵或者一般的约旦标准型，这就利用到了线性

代数上的特征值理论，T是可逆矩阵，特征值的不同情况对应不同形

式的A。分成三种情况：1、A是任意矩阵（很多工作在求T）2、A

是友矩阵（T范德孟划对角，特殊范德蒙划约旦，复数特征值对应模

态规范型）3、并联程序法直接建立约旦标准型。

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3、由状态空间表达式反推传递函数。

我们有了建模有了线性变换，我们可以由经典到现代，那可以由现代

到经典吗？这就引出了反推传递函数（矩阵）。拉式变换一比即可。

也可以直接套用公式。系统的连接，就是在三种情况下（串联、并联、

反馈）系统传递函数的组合。有公式的。这里的串并联是直接用传递

函数进行的。（传递函数是有了，那么怎么求串并联之后的系统的状

态空间表达式呢，这就要从原理做起了，比如串联之后，前者的输出

是后者的输入，状态变量扩充，根据输入输出关系写出新的状态空间

表达式。）

4、建立离散系统的状态空间表达式

用差分方程描述的离散系统建模，与连续系统及其类似，x（k+1）

对应于X（k）的二阶导数，u(k),y(k)，对应输入和输出，连续系统我

们用积分器组成最重要的环节：积分环节。而离散系统中我们完全对

应，用延迟器T组成延迟环节，使x(k+1)到x(k)。没讲如何从系统性

能出发建立系统的状态空间表达式，而是直接从经典的角度，即从差

分方程和脉冲传递函数出发，差分方程：单入单出、单入单出输入有

导数项。从脉冲传递函数：直接程序法，并联程序法。完全类似。串

状态空间表达

式的线性变换

A任意型A为友矩阵

特征值无重根

对应对角阵

特征值有重根

对应约旦标准

型

无重根，范

德蒙变对角

有重根，特殊

范德蒙变约旦

标准型

特征根为复

数，变模态规

范

有非重也有复

数，组合。

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联程序法。

5、需要注意的地方

⑴控制系统的传递函数模型是一个真有理分式（即分母（输出）

阶次n要高一些），这是由实际系统决定的，因为物理系统都是有惯

性的，输出的相应要迟于输入，相当于输入乘上了一个惯性环节

1/1+ts。当N=M时，用直接程序法计算时，b3不等于零，有了D。

经典控制理论研究的是线性定常（时不变）连续/离散、非线性。而

现代则可以研究时变系统，我们主要还是研究原来经典控制的范畴。

⑵在利用微分方程和传递函数建立状态空间表达式和进行线性

变换的过程中，得到特殊的A阵的情形（都可以套公式的），在图的

下边已经列出。

⑶约旦标准型是广义的约旦型，当有重根也有单根时，约旦标准

型由重根对应的严格意义的约旦型，单根对应对角阵，和两个零矩阵

组成。友矩阵的优良性质是，他的特征多项式（加等号是特征方程）

是十分好看的形式。

6、重要公式集锦。

1、单入单出建立A友矩阵形式表达式

2、输入含导数项的A友矩阵形式

3、并联程序法的对角、约旦标准型表达式

4、惯性环节分解积分环节，及标准积分反馈环节。

5、线性变换及变换后的ABC表达形式

6、特征方程的写法

7、求广义特征向量

8、A为友矩阵用范德蒙变换出对角阵（无重根）

9、A为友矩阵用特殊范德蒙，变换出约旦标准型

10、A为友矩阵用T变换出模态规范型（A的特征值为复数根）

11、传递函数Wux、Wuy，三种连接形式下的总的传递函数

12、直接程序法

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二、状态空间表达式的求解

1、无输入的情况下状态变量求解（齐次方程求解）

我们有了模型，由控制理论的目的我们也能知道。下一步就是求

它响应（频域解或者是时域解）分析和改进系统的性能了。

我们首先，求了系统X导=AX，就是齐次方程的解，就是看它在零

输入的情况下，系统的状态变量x在时域下的变化情况，即系统时时

刻刻的状态，以期了解系统的性能。我们通过拉式变换，求得了这个

微分方程的解，即x(t)=e^AT*x(0)，即我们知道了初始条件x(0)后，

可以由状态转移矩阵e^AT求得任意时刻的表征系统状态的变量情

况。

对于齐次方程求e^AT，利用基本的反变换的方法可以推导出几

个A为特殊矩阵（如对角阵、约旦阵、模态规范型）时求解转移矩

阵的方法。一般情况下，我们求齐次方程（X状态在无输入）的方法

有四种。1、按定义E^AT展开成I+AT+…（A次方出零的情况下）2、

对于A是任意阵，用拉式反变换的方法L-1(SI-A)-1（每一项求导，

麻烦）。3、将A化成约旦型（包含对角阵）、模态规范型，用性质反

求E^AT。4、哈密顿定理表示e^at，求系数，根据特征值异否分成两

种。

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2、对于有输入的系统的状态变量求解（非齐次方程）

对于非齐次方程（有输入即B！=0），在变换域中求解用到了卷积，

求出了x(t)。

3、状态转移矩阵的性质及判别

其实状态转移矩阵E^AT（转移很传神，对于齐次任意时刻的系统状

态由初始和A决定）是有很多性质的，比较直观的有自身性（转移

嘛）e^A(t-t)=I.路径无关性。导数性质即(e^at)’=A*e^at,当等于0的时

候等于A。我们判断一个式子是不是状态转移矩阵，首先它要是不满

足t=0时为单位矩阵，要马上排除，若满足则要继续验证是不是&

（t）’=A&(t)，即（（0）=A）。

4、对于系统的状态转移矩阵的唯一性研究。

对于这样唯一的系统任意时刻无论怎么建模，x(t)该一样啊….

我们前边说了一个系统由于建模方式不同可以有很多A，很多e^AT…

那不就以为着系统的e^AT不唯一？

这不就意味着一个系统任意时刻的状态不同？这不是与唯一系统相

悖吗？

错！！错在状态变量x在建模的时候或者是选择的不同或者是位置不

齐次方程求解状态转

移矩阵

利用总结的特殊形式

直接写

一般情况，利用多种方

法求解

将e^at展开拉式反变换

将A化成约旦型含对

角、模态、用性质反变

换

用哈密顿定理表示转

移矩阵

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同，那么状态变量的时域解当然不同！这种唯一性的传递关系是唯一

的系统有唯一的微分方程（确定IO）、传递函数，但是由于我们从经

典角度建模时以结构图为中介，用诸如B法、并联程序法、串联程

序法、画出了不同形式的结构图，就算是同一结构图，状态变量取的

位置标号不同，建立的状态空间表达式不同，但它们之间是线性变换

的关系（后者变换关系更简单，行交换）。对于唯一的状态空间表达

式（A），系统有唯一的系统转移矩阵e^AT。

5、离散系统的状态变量求解。

我们求解系统从连续情形到离散情形，每时每刻的对应关系到采样点

处的对应关系，从微分方程到差分方程（递推法、Z变换），在计算

机控制领域，系统的离散化是必须的，如何由AB---GH？我们有两种

近似方法，一种是用保持器，即在采样周期内取同一个数值，利用

x(t)的表达式求出了G、H，第二种用了数学导数的方法，当采样周期

比较大的时候两种方法的近似程度相仿，而当采样周期比较小的时候

前者比较好。

6、公式集锦

1、状态转移矩阵的原是表达式、几种A为特殊形式时的状态转移矩阵

2、四种方法求状态转移矩阵：定义展开、拉式变换、反T变换、哈密顿定理

3、非齐次状态转移矩阵方法

4、判断状态转移矩阵的方法

三、提出性能指标:能控性和能观性

1、提出能控性和能观性的原因。

我们求解了系统之后，即每时每刻的X（t），我们提出了系统的性能

指标即能控性和能观性，能控性就是我们利用唯一一组输入u，可以

让系统的状态由初始转移到任意状态。能观性就是每一个系统的状态

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X(t)都可以经过测量系统输出y，来唯一确定。能控性、能观性（离

散系统和连续系统完全类似）他们有各自的含义和研究的原因和判断

方法，能控性体现的是输入对状态变量（系统的标识）的控制作用，

可以通过特定输入达到任一个X状态。能观性体现的是输出变量Y

对状态变量的反映能力，这样我们可以通过测量有限个输出，确定系

统任意时刻的状态。

2、判断能控性和能观性的方法：直观分析和四大判据（能控能观各有）

这样根据定义，能控性就转化成了非齐次x(t)的求解过程中唯一解的

条件。我们得出了四大判据中的第一个即秩的条件，这是最基本的。

同理，由y=Cx,x=状态转移，能观性也能变成秩的条件。

判定系统的能观性和能控性建立在定义的基础上（由…能不能解

出…）我们拥有直观分析和四种判据。直观分析不太靠谱，只能判断

没有直接和间接关系就不能控不能观，就算是表面上有关系，在传递

函数中也可能被消去，判断的王道是秩！这是从定义来的！分析关系

的时候最好不要从表达式上看，容易出错，看结构图吧，看变量是不

是自成一环与别的变量和出入没有关系（不能控），是不是变量与Y

没有直接的联系，Y都不经过它（不能观）。四种判据都建立在定义

的基础上，求解线性方程得出唯一解的条件（满秩唯一解，保证有效

方程个数，秩为几就有几个能观或者能控，而且写成约旦标准型的话

可以直接找到哪个能哪个不能）。四种方法分别是：秩、约旦对角、

能标准型（能控是直接程序法出来的友矩阵形式，能观是输入函数有

导数项的形式）、传递函数）。

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3、得到能观能控标准型的两种方法：

能控能观的标准型是十分有用的！但是我们如何得到它呢？

能控标准型和能观标准型都有III型，我们只学习能控的II型（由直

接程序法直接得到的友矩阵形式）和能观的I型和II型（II型可以由

出入含导数项求出），但我们用能控II型和能观I型，因为这两者有

转置的关系。

有两种方法：从传递函数！（满足真有理、多项式首项为1）线性变

换找R阵！（前提必须是能控或者能观的）。值得注意的是在化能控

能观标准型的过程中，若函数不是真有理的，则要分离出来，最后将

分离出的常数乘以U加到Y上作为D。（这也验证了只有非真有理才

有D），对于分离出来的真有理，还是正常处理。

4、几点注意：

1、要记住线性变换、状态反馈都不改变系统的能观、能控性。

判断能控、能观性（指

标的来源）

秩的条件（从定义而

来，最基础）

A是约旦、对角传递函数有无零极点

相消法

可以直观分析，但最好

从结构图下手

能控、能观标准型（注

意型号）

得到状态空间表达式的标准

型

传递函数法用Tc线性变换

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要注意的是，Wuy对能控性和能观性都可以判断，即没有零极点相消

既能控又能观（含有ABCD）。而Wux只能判断能控（只含有AB）。

2、传递函数法范围限定：

对于用第四种方法即传递函数的方法判断时，仅适用于单入或单出，

或者单入单出（单变量）系统的能控和能观性判断，为什么要限定呢，

因为当是多入多出系统的时候，传递函数矩阵不再是行矩阵或者列矩

阵，而且矩阵中每个因子的相消不再有对应的关系，而且分析很复杂。

3、标准型范围限定原因：

为什么用标准型的判断对于能控性要限定在单入系统，能观性要限定

在单出系统呢？因为标准型的判断是跟秩的判断规则是一一对应的，

若是系统是多入多出的，B、C、D阵必然要变化，为了求秩，标准

型要对A阵进行调整，系统将变成高阶。

4、若传递函数出现零极点相消（公共相消的因子），则系统或者不能控、或

者不能观，或者不能控也不能观。若写成可控的形式，则一定不可观，

若写成能观的形式，则一定不能控。这与系统的表达形式相关（如用

并联程序法，系数的位置不同，我们得出的表达式也不同，能观性能

控性也不同）。在古典控制理论中我们利用零极点的增减来改善系统

的性能，同时也改变了系统的能控和能观性，所以有利有弊，失无所

失啊！

5、系统的结构分解：

我们能判定系统的能观性和能控性了，但是我们想一眼就能看出

系统的那些变量是能关能控的，它的前提是系统是部分能观部分能控

的，我们可以对系统进行结构分解，就是把能控和能观变量分开写。

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有两种方法：化成约旦标准型和线性变换。我们可以有三种形式

进行分解，即：按能观性分解，按能控性分解，按能控和能观性进行

分解。

第一种方法：约旦型。分成两种形式，即A阵是对角阵还是约旦

型。是对角阵的时候最简单了，直接把B阵全零行的对角元素写在

一起。与B的全零行进行对应（按能控性），把对应D阵0的对角元

素写在一起。当A是约旦阵的时候，我们只需要按照A阵中原来各

变量对应的关系写后来的A，只是顺序的变化而已。

第二种方法：而用线性变换的话，是数学推到出来的呀，找到特

殊的变换阵R（R阵的构造与M阵、N阵有关系），变换之后的ABCD

的含零情况可以保证某些变量的能控和能观性，但是我们要清楚，是

A和C中的零矩阵共同决定那些能观，A阵和B阵中的零矩阵共同

决定能控。不要错误的认为还是约旦时的行列对应能看出谁能不能观

或者控。

6、公式集锦

1、M/N阵的写法

2、当A是约旦标准型时能控性和能观性的判别方法。

3、能观能控标准型

系统的线性分解

将A化成对角或约旦标准型，对应的写在一

起

用变换阵Rc/Ro按能观或能控分解

可以按照能控、能观、能控能观三种方

法

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4、传递函数法（不是双单非真有理时）和线性变换求标准型的Tc1/Tc2。

5、A对角、约旦的分解方法

6、可以使不完全能控的系统的能控性分解的Rc阵

7、可以使不完全能观的系统的能控性分解的Ro阵

四、最好的校正方法：状态反馈。

1、状态反馈改变系统性能的原理

（状态反馈是现代控制理论中对系统进行设计和校正的重要方法，它

的原理是：通过对（相对）开环系统引入系数矩阵A（rn）对状态变

量支路进行反馈，得出的系统状态空间表达式，的A变成了A‘，（等

于A+BK），其余BC都不变，特征值当然也变化了，相当于动了闭

环极点，影响了性能。）线性变换、状态反馈都不改变系统的能观、

能控性。

例：一个标准的二阶系统（积分与惯性系统串联）阻尼比大于1，无

超调量、调节时间长（闭环极点太靠近虚轴），我们要求超调量小于

5%，调节时间变小，我们知道这两个性能指标和系统模型参数有关，

我们计算出了wnkei,由此确定了系统的零极点位置和大小，恰好的

是我们知道状态反馈可已通过改变系统的特征方程（根）来影响系统

的性能（现控中的特征方程Ri-A和经典控制中的闭环特征方程是等

价的），状态反馈控制器正是我们需要的控制器。实验说明了状态反

馈通过极点配置改善系统的性能比PID好多了，状态反馈只是增加了

系统的极点不改变系统零点。

2、状态反馈的特点

状态反馈不改变系统的能控性，但是不能保证系统的能观性。证

明：若是系统原来是能控的，则系统必然可以写成能控标准型，通过

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状态反馈之后闭环的特征方程变了，若是传递函数出现了零极点相消

则系统必然不能观或者不能控，或者两个都不能，我们知道状态反馈

不改变系统的能观和能控性，则必然不能观。

通过状态反馈对极点的影响改善系统的性能就是“极点配置”（使

闭环系统的极点校正到希望的地方，如复平面的左半平面，但是能控

和稳定可是没什么必然联系的），一个重要的定理是，若是系统要实

现任意的极点配置，充要条件是系统完全能控。

3、两种计算K阵的方法。

若不是能控标准型，可以考虑把它变成能控标准型，用Tc1。然后写

出很标准的闭环系统特征方程形式（友矩阵的优良性质），然后由莱

姆那的系数对应关系很容易得到a-a*=k’。我们用K=K’Tc逆求得原

系统应该增加的状态反馈大小。

我也可以不利用友矩阵的优良性质，不方便地写出对应关系，毕竟求

取Tc1也是挺麻烦的，我们直接用f(r)=f*(r)》》=K,这种方法仅适用于

低阶系统。

重要公式集锦

1、状态反馈的原理图，及反馈后的式子

2、标准型反馈前后的闭环特征方程

3、K阵计算的两种方法一次变换。

4、设计状态反馈阵的实例。