角度的单位

.

1/24

练习三弧度制<一>

要点

1.角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以"度"为单位;弧度制是以"

弧度"为单位.

2.度与弧度的相互换算:

10≈0.01745弧度,1弧度≈57018/.

3.在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k

π+600,k∈Z},正确的表示方法是x|x=2kπ+

3



,k∈Z}或{x|x=k·3600+600,k∈Z}

同步练习

1.若α=－3.2,则角α的终边在<>

第一象限第二象限第三象限第四象限

2.①

4



,②－

4

5

,③

4

19

,④－

4

3

,其中终边相同的角是<>

①和②②和③③和④①和④

3.若4π<α<6π,且与－

3

2

角的终边相同,则α=_________.

4.正三角形,正四边形,正五边形,正六边形,正八边形,正十边形,正n边形的一个内角

的大小分别_____,____,_____,_____,_____,_____,______.<用弧度表示>

5.把下列各角用另一种度量制表示.

⑴1350⑵－67030/⑶2⑷－

6

7

1.将下列各数按从小到大的顺序排列.

Sin40,sin

2

1

,sin300,sin1

2.把下列各角化成2kπ+α〔0≤α＜2π,的形式,并求出在<－2π,4π>内和它终边相同

的角.

<1>－

3

16

π;<2>－6750.

3.若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与

3



角的终边相同的角.

练习四弧度制<二>

要点

1.弧长公式和扇形面积公式:

弧长公式L=|α|r扇形面积公式S=

2

1

Lr=

2

1

|α|r2

其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.

2.无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但

用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.

同步练习

1.半径为5cm的圆中,弧长为

4

15

cm的圆弧所对的圆心角等于<>

14501350



0135



0145

.

2/24

2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是<>

3



－

3



6



－

6



3.半径为4的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是

_________.

4.已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于

___________.

5.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形圆心角的弧度数.

6.2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.

7.一条弦的长度等于其所在圆的半径r.

(1)求这条弦所在的劣弧长;

(2)求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.

[数学2]

二、弧度制

第一课时

教学要求：

1．理解弧度制的意义,熟练掌握弧度制与角度制的互换．

教学过程：

1．为什么要引入新的角的单位弧度制.

〔1为了计算的方便,角度制单位、度、分、秒是60进制,计算不方便；

〔2为了让角的度量结果与实数一一对应.

2．弧度制的定义

先复习角度制,即1度的角的大小是怎样定义的.

1弧度角的规定.

把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

弧度的单位符号是rad,读作弧度.

如上图,AB的长等于半径r,∠AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的长度等于2r,则∠

AOC=2rad.

问半圆所对的圆心角是多少弧度,圆周所对的圆心角是多少弧度？

答：半圆弧长是,,





r

r

r半圆所对的圆心角是弧度.

同样道理,圆周所对的圆心角〔称谓周角的大小是2



弧度.

角的概念推广后,弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数,负角的弧度数

是负数,零角的弧度数是零.

3．弧度制与角度制的互化

因为周角的弧度数是2



,角度是360°,所以有

radrad

radrad

01745.0

180

1

1802360













把上面的关系反过来写

.

3/24

1803602radrad

815730.57)

180

(1



radrad



例1：把.0367化成弧度



解：.

8

3

5.67

180

5.670367radrad







例2：把rad

5

3

化成角度.108180

5

3

5

3

rad



今后用弧度制表示角时,把"弧度"二字或"rad"通常省略不写,比如

66



就表示rad,角

.2,2rad等于就是角rad

33

sin



表示角的正弦.

360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧度0

6



4



3



2





3

2



4

3



6

5





2

3

2



例3：用弧度制表示

〔1与

3

2

终边相同的角；

〔2第四象限的角的集合.

解：〔1与.,

3

2

2

3

2

Zkk



终边也相同的角是

〔2第四象限的角的集合是

也可能写成},2

2

2|{Zkkk





注意两种角度制不准混合用,如写成

布置作业,课本P12,1~5题.

第二课时

教学要求：

1．熟练弧度制与角度制的互化,理解角的集合与实数集R的一一对应.

2．会用弧长公式,扇形面积公式,解决一些实际问题.

教学过程：

复习角的弧度制与角度制的转化公式

1．学生先练习,老师再总结.

〔110rad角是第几象限的角？〔2求sin1.5的值.

解：〔1有两种方法.第一种方法21336057310rad,是第三象限的角

.

4/24

第二种方法

2

3

210),210(210而

∴10rad的角是第三象限的角.

〔29975.07585sin5.1sin75855.1









也可以直接在计算器上求得,先把角的单位转至RAD,再求sin1.5即可得.

2．总结角的集合与实数集R之间的一一对应关系.

正角的弧度数是一个正数,负的弧度数是一个负数,

零角的弧度是零.反过来,每个实数都对应唯一的角〔角

的弧度数等于这个实数

这样就在角的集合〔元素是角与实数集R〔元素是数

之间建立了一一对应的关系.

3．弧长公式,扇形面积公式的应用

由弧度制的定义||rl

r

l

d得弧长

例1：利用弧度制证明扇形面积公式llRS其中,

2

1

是扇形弧长,R是圆的半径.

证明：因为圆心角为1rad的扇形的面积是





2

2R

,

而弧长为l的扇形的圆心角为rad

R

l

,所以它的面积

lR

R

R

l

S

2

1

2

2







.

若已知扇形的半径和圆心角,则它的面积又可以写成

例2：半径R的扇形的周长是4R,求面积和圆心角.

解：扇形弧长为4R-2R=2R,圆心角)(2

2

rad

R

R



面积22

2

1

RRS.

例3：在扇形AOB中,∠AOB=90°,弧长为l,

求它的内切圆的面积.

解：先求得扇形的半径





ll

r

2

2



设圆的半径为x,圆心为C,

xOC2||

由



l

xx

2

2解得





ll

x

)12(2

)12(

2







S⊙C



2

2

)223(4l

x





l

.

5/24

4．学生课堂阅读课本P10~11例5、例6

并作P11练习7、8两题.

布置作业,课本P12—13,习题4.26、8、9、10、11

§4.2弧度制

[教学目标]

〔1通过本小节的学习,要使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特

殊角的弧度数；

〔2了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；

〔3掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度解决某些简单的实际问题。

[教学重点]

使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系,

是本小节的乃至本章的难点；其中,讲清1弧度的角的意义,是建立弧度概念的关键。

[教学难点]

使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系,

是本小节的乃至本章的难点；

[教学过程]

一．引入

我们在初中几何里学习过角的度量,规定周角的

360

1

为1度的角,这种用度作为单位来度量

角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位制

——弧度制,它的单位符号是rad,读作弧度。

二．新课

定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,即用弧度制度量时,这样的

圆心角等于1rad。

[说明]学生阅读课本,教师作要点说明,并进行归纳。

一般地,可以得到：

正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0；角



的弧度数的绝

对值

其中

l

是以角



作为圆心角时所对弧的长,

r

是圆的半径。

概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制。

1．把角度换成弧度

2．把弧度换成角度

[例1]把'3067化成弧度。

[例2]把

5

3

rad化成度。

[约定]今后我们用弧度制表示角的时候,"弧度"二字或"rad"通常略去不写,而只写这个角

对应的弧度数。

特殊角的度数与弧度数的对应表：

度030456090120135150180270360

.

6/24

弧度0

6



4



3



2



3

2

4

3

6

5



2

3

2

角的集合与实数集R之间的对应关系：

[复习]角度制下的弧长公式和扇形面积公式

弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

〔1弧长公式：rl||,〔



弧度数

〔2扇形面积：lRS

2

1

〔该结论在例讲解后给出

[例3]利用弧度制证明扇形面积公式lRS

2

1

,其中l是扇形的弧长,R是圆的半径。

[例4]计算：

〔1

4

sin



；〔25.1tan。

[例5]将下列各角化成0到2的角加上)(2Zkk的形式：

〔1

3

19

；〔2315。

[例6]求图4—9中公路弯道处弧AB的长l〔精确到1m。图中长度单位：m.

例１把下列各角的度数化为弧度数：

⑴150⑵'3037⑶'3022⑷315

解因为

180

1



rad,所以

⑴radrad

6

5

180

150150





⑵radrad

24

5

1802

1

37

2

1

373037'























⑶radrad

81802

1

22

2

1

223022'























⑷radrad

4

7

180

315315





例２把下列各角的弧度数化为度数：

⑴rad

4

3

⑵rad5.3⑶rad

3

5

⑷rad

4

9



解因为



rad＝180,所以

⑴rad

4

3

＝

4

3

×180＝135；

⑵rad5.3＝55.20030.575.315.3rad；

.

7/24

⑶rad

3

5

＝

3

5

×180＝300；

⑷rad

4

9

＝

4

9

×180＝405．

度与弧度的换算可以利用计算器进行,具体操作方法可见本书的附录．

今后我们用弧度制表示角的时候,"弧度"二字或"rad"通常略去不写,而只写这个角所

对应的弧度数．例如,角＝１表示是１rad的角,

4

sin



表示rad

4



的正弦,即

4

sin



＝

2

2

45sin．

根据常用特殊角间的倍数关系,可以列出下列特殊角的度数与弧度数对应值．

度

弧

度

例３用弧度制表示终边在y轴上的角的集合．

解因为在角度制下,终边在y轴上的角的集合为

S｛∣,18090n

Zn｝

所以,在弧度制下,终边在y轴上的角的集合为

S｛∣



n

2

,Zn｝

例４计算：

4

tan

6

cos

3

sin





解原式＝45tan30cos60sin

＝

1

2

3

2

3



＝

3

课题：4.2弧度制〔一

教学目的：

1.理解1弧度的角、弧度制的定义.

2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.

3.熟记特殊角的弧度数

教学重点：使学生理解弧度的意义,正确地进行角度与弧度的换算.

教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：讲清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点

之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行

.

8/24

性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧

度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证

统一思想的理解.

教学过程：

一、复习引入：

1．角的概念的推广

⑴"旋转"形成角

一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角

α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点

O叫做角α的顶点．

⑵．"正角"与"负角""0角"

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负

角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°,

2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义

初中几何中研究过角的度量,当时是用度做单位来度量角,1°的角是如何定义的？

规定周角的

360

1

作为1°的角,我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,有了它,

可以计算弧长,公式为

180

rn

l





3．探究

30°、60°的圆心角,半径r为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l,再计算弧长与半径的比

结论：圆心角不变,则比值不变,

因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是另一种度

量角的制度——弧度制

二、讲解新课：

1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧度,

这种用"弧度"做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图,依次是1rad,2rad,3rad,αrad

探究：

⑴平角、周角的弧度数,〔平角=rad、周角=2rad

⑵正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0

⑶角的弧度数的绝对值

r

l

〔l为弧长,r为半径

⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法,单位、进制不同,就像度量长度一样有不同的方

法,千米、米、厘米与丈、尺、寸,反映了事物本身不变,改变的是不同的观察、处理方法,

因此结果就有所不同

.

9/24

⑸用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同〔都是0

用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同

2.角度制与弧度制的换算：

∵360=2rad∴180=rad

∴1=

radrad01745.0

180





三、讲解范例：

例1把'3067化成弧度

解：

















2

1

67'3067

∴radrad



8

3

2

1

67

180

'3067

例2把rad

5

3

化成度

解：108180

5

3

5

3

rad

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助"计算器"进行；

2．今后在具体运算时,"弧度"二字和单位符号"rad"可以省略如：3表示3rad,

sin表示rad角的正弦；

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π

角度210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/4

11π

/6

2π

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集

合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

例3用弧度制表示：

1终边在

x

轴上的角的集合

2终边在

y

轴上的角的集合

3终边在坐标轴上的角的集合

解：1终边在

x

轴上的角的集合ZkkS,|

1



正角

零角

负角

正实数

零

负实数

.

10/24

2终边在y轴上的角的集合













ZkkS,

2

|

2





3终边在坐标轴上的角的集合













Zk

k

S,

2

|

3





四、课堂练习：

1.下列各对角中终边相同的角是<>

A.



k2

22

和〔ｋ∈ＺB.－

3



和

3

22

π

C.－

9

7

和

9

11

D.

9

122

3

20

和

2.若α＝－3,则角α的终边在<>

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若α是第四象限角,则π－α一定在<>

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.<用弧度制表示>第一象限角的集合为,第一或第三象限角的集合为.

5.7弧度的角在第象限,与7弧度角终边相同的最小正角为.

6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为.

7.求值：

2

cos

4

tan

6

cos

6

tan

3

tan

3

sin



.

8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ,ｋ∈Ｚ｝,B＝｛α｜－4≤α≤4｝,求A

∩B.

9.现在时针和分针都指向12点,试用弧度制表示15分钟后,时针和分针的夹角.

参考答案：

1.C2.C3.C

4.｛α｜2kπ＜α＜

2



＋2kπ,k∈Z}

｛α｜kπ＜α＜

2



＋kπ,k∈Z｝

5.一7－2π6.

3

7.2

8.A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝

9.

24

11

五、小结1．弧度制定义2．与弧度制的互化2.特殊角的弧度数

六、课后作业：

已知



是第二象限角,试求：

<1>

2



角所在的象限；<2>

3



角所在的象限；<3>2



角所在范围.

解：<1>∵α是第二象限角,∴

2



+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,即

4



+kπ<

2



<

2



+kπ,k∈Z.

故当k=2m时,

4



+2mπ<

2



<

2



+2mπ,因此,

2



角是第一象限角；当k=2m+1

.

11/24

时,

4

5

π+2mπ<

2



<

2

3

π+2mπ,因此,

2



角是第三象限角.

综上可知,

2



角是第一或第三象限角.

<2>同理可求得：

6



+

3

2

kπ<

3



<

3



+

3

2

kπ,k∈Z.当k=3m

时,







mm2

33

2

6

,此时,

3



是第一象限角；

当k=3m+1时,







3

2

2

333

2

2

6

mm,即

3

2

6

5

m<π

+2mπ,此时,

3



角是第二象限角；

当k=3m+2时,



mm2

3

5

3

2

2

3

,此时,

3



角是第四象限角.

综上可知,

3



角是第一、第二或第四象限角.

<3>同理可求得2α角所在范围为：π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z.

评注：<1>注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的,例如

0°<α<90°这个区间角,只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.

<2>要会正确运用不等式进行角的表达,同时会以k取不同值,讨论形如θ=α+

3

2

kπ

∈Z>所表示的角所在象限.

<3>对于本例<3>,不能说2α只是第一、二象限的角,因为2α也可为终边在y轴负半轴

上的角

2

3

π+4kπ,而此角不属于任何象限.

七、板书设计〔略

八、课后记：课题：4.2弧度制〔一

教学目的：

1.理解1弧度的角、弧度制的定义.

2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.

3.熟记特殊角的弧度数

教学重点：使学生理解弧度的意义,正确地进行角度与弧度的换算.

教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：讲清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点

之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行

性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧

度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证

统一思想的理解.

教学过程：

一、复习引入：

.

12/24

1．角的概念的推广

⑴"旋转"形成角

一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角

α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点

O叫做角α的顶点．

⑵．"正角"与"负角""0角"

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负

角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°,

2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义

初中几何中研究过角的度量,当时是用度做单位来度量角,1°的角是如何定义的？

规定周角的

360

1

作为1°的角,我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,有了它,

可以计算弧长,公式为

180

rn

l





3．探究

30°、60°的圆心角,半径r为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l,再计算弧长与半径的比

结论：圆心角不变,则比值不变,

因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是另一种度

量角的制度——弧度制

二、讲解新课：

1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧度,

这种用"弧度"做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图,依次是1rad,2rad,3rad,αrad

探究：

⑴平角、周角的弧度数,〔平角=rad、周角=2rad

⑵正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0

⑶角的弧度数的绝对值

r

l

〔l为弧长,r为半径

⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法,单位、进制不同,就像度量长度一样有不同的方

法,千米、米、厘米与丈、尺、寸,反映了事物本身不变,改变的是不同的观察、处理方法,

因此结果就有所不同

⑸用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同〔都是0

用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同

2.角度制与弧度制的换算：

∵360=2rad∴180=rad

.

13/24

∴1=

radrad01745.0

180





三、讲解范例：

例1把'3067化成弧度

解：

















2

1

67'3067

∴radrad



8

3

2

1

67

180

'3067

例2把rad

5

3

化成度

解：108180

5

3

5

3

rad

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助"计算器"进行；

2．今后在具体运算时,"弧度"二字和单位符号"rad"可以省略如：3表示3rad,

sin表示rad角的正弦；

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π

角度210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/4

11π

/6

2π

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集

合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

例3用弧度制表示：

1终边在

x

轴上的角的集合

2终边在

y

轴上的角的集合

3终边在坐标轴上的角的集合

解：1终边在

x

轴上的角的集合ZkkS,|

1



2终边在y轴上的角的集合













ZkkS,

2

|

2





正角

零角

负角

正实数

零

负实数

.

14/24

3终边在坐标轴上的角的集合













Zk

k

S,

2

|

3





四、课堂练习：

1.下列各对角中终边相同的角是<>

A.



k2

22

和〔ｋ∈ＺB.－

3



和

3

22

π

C.－

9

7

和

9

11

D.

9

122

3

20

和

2.若α＝－3,则角α的终边在<>

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若α是第四象限角,则π－α一定在<>

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.<用弧度制表示>第一象限角的集合为,第一或第三象限角的集合为.

5.7弧度的角在第象限,与7弧度角终边相同的最小正角为.

6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为.

7.求值：

2

cos

4

tan

6

cos

6

tan

3

tan

3

sin



.

8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ,ｋ∈Ｚ｝,B＝｛α｜－4≤α≤4｝,求A

∩B.

9.现在时针和分针都指向12点,试用弧度制表示15分钟后,时针和分针的夹角.

参考答案：

1.C2.C3.C

4.｛α｜2kπ＜α＜

2



＋2kπ,k∈Z}

｛α｜kπ＜α＜

2



＋kπ,k∈Z｝

5.一7－2π6.

3

7.2

8.A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝

9.

24

11

五、小结1．弧度制定义2．与弧度制的互化2.特殊角的弧度数

六、课后作业：

已知



是第二象限角,试求：

<1>

2



角所在的象限；<2>

3



角所在的象限；<3>2



角所在范围.

解：<1>∵α是第二象限角,∴

2



+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,即

4



+kπ<

2



<

2



+kπ,k∈Z.

故当k=2m时,

4



+2mπ<

2



<

2



+2mπ,因此,

2



角是第一象限角；当k=2m+1

时,

4

5

π+2mπ<

2



<

2

3

π+2mπ,因此,

2



角是第三象限角.

.

15/24

综上可知,

2



角是第一或第三象限角.

<2>同理可求得：

6



+

3

2

kπ<

3



<

3



+

3

2

kπ,k∈Z.当k=3m

时,







mm2

33

2

6

,此时,

3



是第一象限角；

当k=3m+1时,







3

2

2

333

2

2

6

mm,即

3

2

6

5

m<π

+2mπ,此时,

3



角是第二象限角；

当k=3m+2时,



mm2

3

5

3

2

2

3

,此时,

3



角是第四象限角.

综上可知,

3



角是第一、第二或第四象限角.

<3>同理可求得2α角所在范围为：π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z.

评注：<1>注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的,例如

0°<α<90°这个区间角,只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.

<2>要会正确运用不等式进行角的表达,同时会以k取不同值,讨论形如θ=α+

3

2

kπ

∈Z>所表示的角所在象限.

<3>对于本例<3>,不能说2α只是第一、二象限的角,因为2α也可为终边在y轴负半轴

上的角

2

3

π+4kπ,而此角不属于任何象限.

七、板书设计〔略

八、课后记：

4.2弧度制

教学目标