lg3等于多少

2.2对数函数对数与对数运算

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.〔1〕将以下指数式写成对数式：

①210=1024；②10-3=

1000

1

；③3=0.027；④e0=1.

〔2〕将以下对数式写成指数式：

①log=-2；②lg2=0.3010；③log310=2.0959；④ln23.14=x.

思路解析：指数式与对数式之间的换算，就是利用logaN=bab=N.

解：〔1〕①log21024=10；②lg

1000

1

=-3；③log=3；④ln1=0.

〔2〕①-2=6.25；②100.3010=2；③32.0959=10；④ex=23.14.

2.计算：log248

7

+log212-

2

1

log242.

思路解析：这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，那么可以利用同底数

的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积

或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.

解法一：原式=

2

1

〔log27-log248〕+log23+2log22-

2

1

〔log27+log22+log23〕

=

2

1

log27-

2

1

log23-

2

1

log216+

2

1

log23+2-

2

1

log27-

2

1

=-

2

1

.

解法二：原式=log2［

67

1

12

34

7



］=-

2

1

.

3.求以下各式的值：

〔1〕

3

2

log

3

1

8

；〔2〕7lg20×〔

2

1

〕；〔3〕log2〔1+

32

〕+log2〔1+

32

〕；

〔4〕lg(5353)；〔5〕〔lg2〕3+〔lg5〕3+3lg2×lg5.

思路解析：〔1〕

3

2

log

3

1

8

首先是个指数式，其中底数是8，指数为

3

1

-log23，因为23=8，由幂

的运算法那么把其化成同底，用对数恒等式N

aalog=N化简计算.

〔2〕通过取对数，先算出对数值，再求值.

〔3〕运用对数运算法那么logaM+logaN=logaMN化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊

关系求解.

〔4〕运用对数运算法那么logaNn=n×logaN巧去根号.

〔5〕利用lg2与lg5之间的特殊关系lg2+lg5=lg10=1求解.

解：〔1〕

.

27

2

2

2

22)2(8

27log

27log13log31

)3log

3

1

(

3

3log

3

1

2

22

22



〔2〕设x=7lg20×〔

2

1

〕，那么lgx=lg20××lg

2

1

=〔lg2+1〕×lg7+〔lg7-1〕×〔-lg2〕

=lg7+lg2=lg14，

∴x=14，即7lg20×〔

2

1

〕=14.

〔3〕log2〔1+2+

3

〕+log2〔1+2-

3

〕

=log2［〔1+2〕2-〔

3

〕2］

=log222=log2

2

3

2=

2

3

.

〔4〕lg〔5353〕

=

2

1

lg〔5353〕2

=

2

1

lg〔3+

5

+3-

5

+2

59

〕

=

2

1

lg10=

2

1

.

〔5〕方法一：运用立方公式.

〔lg2〕3+〔lg5〕3+3lg2×lg5=〔lg2+lg5〕〔lg22+lg25-lg2lg5〕

+3lg2lg5=lg22+lg25+3lg2lg5-lg2lg5=〔lg2+lg5〕2=1.

方法二：利用lg2+lg5=1，用lg5的表达式表示lg2.

〔lg2〕3+〔lg5〕3+3lg2×lg5=〔1-lg5〕3+lg35+3〔1-lg5〕

lg5=1-3lg5+3lg25-lg35+lg35+3lg5-3lg25=1.

2=0.3010，lg3=0.4771，求lg

45

.

思路解析：解此题的关键是设法将

45

的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算.

解：lg

45

=

2

1

lg45=

2

1

lg

2

90

=

2

1

(lg9+lg10-lg2)

=

2

1

(2lg3+1-lg2)

=lg3+

2

1

-

2

1

lg2

=0.4771+0.5-0.1505

=0.8266.

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

5log

2

1

1

22

的值为()

A.2+

5

B.2

5

C.2+

2

5

D.1+

2

5

思路解析：考查对数式的运算法那么.原式=

522252log5log1

22.

答案：B

2lg3=lg523=lg9

aM+N=b，那么M+N=ab

2M+log3N=log2N+log3M，那么M=N

思路解析：解答此题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答

案一一与相关的对数运算性质相对照，不难得出应选D.

答案：D

3.设集合A={x|x2-1＞0}，B={x|log2x＞0}，那么A∩B等于()

A.{x|x＞1}B.{x|x＞0}

C.{x|x＜-1}D.{x|x＜-1或x＞1}

思路解析：该题考查集合的表示及解不等式.可以先分别求出集合A、B中所列不等式的解集，

然后再在数轴上求它们的交集.

答案：A

4.函数f〔x〕=











,0,3

,0,log

3

x

xx

x

,那么f［f〔

9

1

〕］的值是()

A.9B.

9

1

9

1

思路解析：f〔

9

1

〕=log39

1

=-2，f〔-2〕=3-2=

9

1

.

答案：B

5.假设函数f〔x〕〔x>0〕满足f〔

y

x

〕=f〔x〕-f〔y〕，f〔9〕=8，那么f〔3〕等于()

A.2B.-2C

思路解析：∵f〔3〕=f〔

3

9

〕=f〔9〕-f〔3〕，

∴f〔3〕=

2

1

f〔9〕=4.

答案：D

6.求以下各式中的x：

〔1〕

5

4

logx=-

2

1

；〔2〕logx5=

2

3

；〔3〕log〔x-1〕〔x2-8x＋7〕=1.

思路解析：根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.

解：〔1〕原式转化为〔2

1

)

5

4

=x，所以x=

2

5

.

〔2〕原式转化为2

3

x=5，所以x=325.

〔3〕由对数性质得

















,078

,11,01

,178

2

2

xx

xx

xxx

解得x=8.

7.求以下各式的值：

(1)设logbx-logby=a，那么logb5x3-logb5y3=_________;

(2)设loga(x＋y)=

3

，logax=1，那么logay=_________;

(3)

|

9

1

log|

33=_________.

思路解析：利用对数的性质.

(1)∵logbx-logby=a,

∴logb(

y

x

)=a.

∴logb5x3-logb5y3=logb(

3

3

5

5

y

x

)

=logb(

y

x

)3=3logb(

y

x

)=3a.

(2)∵loga(x+y)=

3

,∴3a=x+y.

又logax=1,∴x=a.

∴y=3aay=loga(3a-a).

(3)|3log2||3log|

|

9

1

log|

3

2

3

3333=32=9.

答案：3aloga(3a-a)9

8.a=lg〔1＋

7

1

〕，b=lg〔1＋

49

1

〕，试用a、b的式子表示lg1.4.

思路解析：求以a、b表示的lg1.4的式子，实际上是寻找lg

7

8

、lg

49

50

和lg1.4之间的关

系，所以应将三个对数的真数尽量化整并化小〔一般把底化成常用对数〕，便于寻找关系.

解：a=lg〔1+

7

1

〕=lg

7

8

=3lg2-lg7,①

b=lg〔1+

49

1

〕=lg

49

50

=lg

2

100

-lg72=2-lg2-2lg7.②

由①②得lg2=

7

1

〔2a-b+2〕，lg7=

7

1

〔-a-3b+6〕，∴lg1.4=lg

10

14

=lg2+lg7-1=

7

1

〔a-4b+1〕.

快乐时光

刀法

中国、日本、俄罗斯三国武士比赛，只见俄罗斯的武士拔出刀一挥，把裁判放出的苍蝇

拦腰砍为两段，裁判给了他80分.这时日本的武士上来，拔刀后，裁判给了他90分，他把

苍蝇的翅膀砍下来了！轮到中国的武士了，只见他拿了两把菜刀，一挥,裁判给了他100分.

另两个不服就问裁判，裁判把苍蝇捡起来要他们看，说人家中国武士给苍蝇割了个双眼皮！

30分钟训练(稳固类训练，可用于课后)

525+3log264-8log71的值为()

A.14B.8C

思路解析：原式=2×2+3×6-8×0=22.

答案：C

2.以下各式中成立的是()

ax2=2logaa|xy|=loga|x|+loga|y|

3＞logaay

x

=logax-logay

思路解析：用对数的运算法那么解决问题.

A、D的错误在于不能保证真数为正，C的错误在于a值不定.选B.

答案：B

3.设x、y为非零实数，a>0且a≠1，那么以下各式中不一定成立的个数是()

①logax2=2logax②loga3>loga2③loga|x·y|=loga|x|·loga|y|④logax2=2

loga|x|

A.1B.2C

思路解析：①②③不一定成立，④一定成立.

答案：C

a2

A.0

C.a>b>1D.b>a>1

解法一：赋值法.取a=

2

1

，b=

4

1

，那么loga2=-1，logb2=-

2

1

.

解法二：由换底公式可得0

log

1

log

1

22



ba

，

∴log2b

解法三：利用函数图象〔如图〕.

答案：B

a=1000，0.0112b=1000，那么

ba

11

等于()

A.1B.2C

思路解析：此题有两种解题方法.

方法一：用指数解.由题意11.2=a

1

1000，0.0112=b

1

1000，∴两式相除得

ba

11

1000

=

0112.0

2.11

=1000.∴

ba

11

=1.

方法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.0112=3，∴

ba

11

=

3

1

〔lg11.2-lg0.011

2〕=1.

答案：A

6.方程lg〔4x+2〕=lg2x+lg3的解是_________.

思路解析：把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有未知数的方程，解之即可.

把两边化成同底的对数式为lg〔4x+2〕=lg〔2x×3〕，比较真数，得方程4x+2=2x×3，利用换

元法，解得2x=1或2x=2.所以x=0或x=1.

答案：x1=0，x2=1

5lg8000+〔32lg〕2+lg0.06-lg6=_________.

思路解析：此题考查对数的运算性质.

原式=lg5〔3+3lg2〕+3lg22+lg

6

06.0

=3〔1-lg2〕〔1+lg2〕+3lg22-2=3-2=1.

答案：1

a2=m，loga3=n，那么a2m-n=_________.

思路解析：首先把对数式化为指数式，再进行指数运算.∵loga2=m，loga3=n，∴am=2，an=3.

∴a2m-n=

3

4

3

2)(222



n

m

n

m

a

a

a

a

.

答案：

3

4

9.计算2lg5+

3

2

lg8+lg5·lg20+lg22的值.

思路解析：考查对数式的化简运算.

解：原式=2lg5+2lg2+lg5〔2lg2+lg5〕+lg22=lg25+2lg2·lg5+lg22+2〔lg5+lg2〕=〔lg5+lg2〕

2+2〔lg5+lg2〕=lg210+2lg10=1+2=3.

ax=logac+b，求x.

思路解析：由于x是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的

形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式.

解法一：由对数定义可知x=c

aalog+b=c

aalog·ab=c·ab.

解法二：由移项可得logax-logac=b，即logac

x

c

x

=ab，∴x=c·ab.

解法三：∵b=logaab，∴logax=logac+logaab=logac·ab.∴x=c·ab.

11.〔1〕3a=2，用a表示log34-log36；

〔2〕log32=a，3b=5，用a、b表示log330

.

解：〔1〕∵3a=2，∴a=log32.

∴log34-log36=log33

2

=log32-1=a-1.

〔2〕∵3b=5，∴b=log35.

又∵log32=a，∴log330

=

2

1

log3(2×3×5)=

2

1

(log32+log33+log35)=

2

1

(a+b+1).

12.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得

为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.假设设N为地震时所散发出来的相对

能量程度，那么里氏震级m可以定义为m=lgN，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度.

解：1和N2，由题意得











,lg5.8

,lg2.8

2

1

N

N

因此lgN2-lgN1=0.3，即lg

1

2

N

N

=0.3，∴

1

2

N

N

=10≈2.

因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.