e的负无穷次方

常数e到底是个什么鬼

1

e是一个重要的常数，但是我一直不知道，它的真正含义是

什么。

它不像π。大家都知道，π代表了圆的周长与直径之比

3.14159，可是如果我问你，e代表了什么。你能回答吗？

维基百科说：

'e是自然对数的底数。'

但是，你去看'自然对数'，得到的解释却是：

'自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于

2.718281828。'

这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这

样一个无理数作为底数，还号称这种对数很'自然'，这难道不

是很奇怪的事情吗？

2

有一篇好文章，它把这个问题解释得非常清楚，而且一看就

懂。

它说，什么是e？简单说，e就是增长的极限。

下面就是它的解释。

3

假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。

那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1

个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长

数量的公式：

上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的

x次方。这个式子可以被改成下面这样：

其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。

4

我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的

时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。

因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在

前一个阶段的基础上增长50%。

当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，

1个是原有的，个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂

到一半的。

如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分

裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。

那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。

很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行

的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最

多可以得到多少个细胞呢？

当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。

因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最

多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的

含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自

然对数。

5

有了这个值以后，计算银行的复利就非常容易。

假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，

一年后可以拿多少钱？

回答就是271.828元，等于100个e。

但是，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利息率只

有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢？

为了便于思考，我们取n等于50：

我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000所得到的值非

常接近e：

因此，5%利息率就相当于e的20分之一次方：

20分之一正好等于5%的利率率，所以我们可以把公式改写

成：

上式的rate就代表增长率。这说明e可以用于任何增长率的

计算，前提是它必须是持续不断的复合式增长。

6

再考虑时间因素，如果把钱在银行里存2年，可以得到多少

钱？

在时间t的情况下，通用公式就是：

上式就是计算增长量的万能公式，可以适用于任何时间、任

何增长率。

7

回到上面的例子，如果银行的利息率是5%的复利，请问100

元存款翻倍需要多少时间？

计算结果是13.86年：

上式最后一个等号，表明用72除以增长率，可以得到翻倍

的大致时间，这就是72法则的来源。

【科普】e是石头里蹦出来的吗？

e是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler

number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳

皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它

就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。

它的数值约是：e≈2.71828

第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著

作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计

算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德

(WilliamOughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯

努利(JacobBernoulli)。知的第一次用到常数e，是莱布尼茨

于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧

拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736

年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母

c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)

一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，

而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不

太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个

很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

当x趋于正无穷大或负无穷大时，“1加x分之一的x次方”

这个函数表达式（1+1/x）^x的极限就等于e，用公式表示，

即：

lim（1+1/x）^x＝e（x趋于±∞）

实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的，它是个无限不循

环小数，其值等于2.71828„„。以e为底的对数叫做自然对

数，用符号“ln”表示。

至于欧拉选择e的理由，较为多数人所接受的说法有二：一

为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被

经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，

代表自然对数的底数；另一说法为e是“指数”一词英文的

第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英

文，可事实上法文、德文的“指数”都是它。究竟e的来历

是什么？至今仍然是个谜。

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