模2运算

/jojoke/archive/2007/12/17/

模运算2009-7-16

很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。

1.模运算是取余运算(记做%或者mod)，具有周期性的特点。m%n的意思是n除m后的余数，当m递增时m%n呈现周期性特点，并

且n越大，周期越长，周期等于n。

例如

0%20=0，1%20=1，2%20=2，3%20=3，...，19%20=19

20%20=0，21%20=1，22%20=2，23%20=3，...，39%20=19

2.如果m%n=r，那么可以推出如下等式

m=k*n+r(k为大于等于0的整数，r<=m）

3.同余式，表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做a≡bmodn或者a=b(modn)。

根据2的等式可以推出a=kn+b或者a-b=kn

证明：∵a=k1*n+r1

b=k2*n+r2

∴a-b=(k1-k2)*n+(r1-r2)

a=k*n+(r1-r2)+b

∵a,b对n取模同余，r1=r2

∴a=k*n+b(k=k1-k2)

4.模运算规则，模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下

(a+b)%n=(a%n+b%n)%n（1）

(a-b)%n=(a%n-b%n)%n（2）

(a*b)%n=(a%n)*(b%n)%n（3）

ab%n=((a%n)b)%n（4）

（《ACM》P237规则有错，已改之）

（1）式证明

∵a=k1*n+r1

b=k2*n+r2

a%n=r1

b%n=r2

∴(a+b)%n=((k1+k2)*n+(r1+r2))%n=(r1+r2)%n=(a%n+b%n)%n

得证

（2）式证明同上

（3）式证明

a=k1*n+r1

b=k2*n+r2

(a*b)%n=(k1k2n2+(k1r2+k2r1)n+r1r2)%n=r1r2%n=(a%n)*（b%n)%n{此处已作改正，原为：(a%n*b%n)%n，

但，(a%n)*（b%n)%n不等于(a%n*b%n)%n。另需注意：“*、/、div、mod”为同等级运算}

(4)式证明

设a%n=r

ab%n=(a*a*a*a…*a)%n=(a%n*a%n*a%n*…*a%n)%n=rb%n=((a%n)b)%n

模运算看起来不是很直观，但是可以用来推导出一些有用的东西。例如（4）式可以用来降幂运算，例如计算6265%133,直接计算的话需要

算出6265利用（4）式可以进行降幂运算。

6265%133

=62*6264%133

=62*(622)32%133

=62*384432%133

=62*(3844%133)32%133

=62*12032%133

=62*3616%133

=62*998%133

=62*924%133

=62*852%133

=62*43%133

=2666%133

=6

/juliet2366/blog/item/

关于负号取余：

『错：这是异号求余的规则：A%B=C，则C的值为：|A|%|B|的结果，让这个结果与A同号，然后在和B相加。比如：

|-15|%|4|=3,然后-3+4=1

如果是15%（-4），则结果为3+（-4）=-1

注意一定是两数异号时才是这种规则，同号时跟一般的算法相同』

正确的见：IB_12《Pascal语言小学版（北京理工大学）》

/chackerempire/

模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问

题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用

涉及不多。本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。

一基本理论：

基本概念：

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式n=kp+r；

其中k、r是整数，且0≤r

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：

取模运算：a%p（或amodp），表示a除以p的余数。

模p加法：(a+b)%p，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b)=kp+r，则(a+b)%p=r。

模p减法：(a-b)%p，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a*b)%p，其结果是a*b算术乘法除以p的余数。

说明：

1.同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a≡b%p或者a≡b(modp)。

2.n%p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4=3，-7%4=-3，7%-4=3，-7%-4=-3。

基本性质：

（1）若p|(a-b)，则a≡b(%p)。例如11≡4(%7)，18≡4(%7)

（2）(a%p)=(b%p)意味a≡b(%p)

（3）对称性：a≡b(%p)等价于b≡a(%p)

（4）传递性：若a≡b(%p)且b≡c(%p)，则a≡c(%p)

运算规则：

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

(a+b)%p=(a%p+b%p)%p（1）

(a-b)%p=(a%p-b%p)%p（2）

(a*b)%p=(a%p*b%p)%p（3）

ab%p=((a%p)b)%p（4）

结合率：((a+b)%p+c)%p=(a+(b+c)%p)%p（5）

((a*b)%p*c)%p=(a*(b*c)%p)%p（6）

交换率：(a+b)%p=(b+a)%p（7）

(a*b)%p=(b*a)%p（8）

分配率：((a+b)%p*c)%p=((a*c)%p+(b*c)%p)%p（9）

重要定理：若a≡b(%p)，则对于任意的c，都有(a+c)≡(b+c)(%p)；（10）

若a≡b(%p)，则对于任意的c，都有(a*c)≡(b*c)(%p)；（11）

若a≡b(%p)，c≡d(%p)，则(a+c)≡(b+d)(%p)，(a-c)≡(b-d)(%p)，

(a*c)≡(b*d)(%p)，(a/c)≡(b/d)(%p)；（12）

若a≡b(%p)，则对于任意的c，都有ac≡bc(%p)；（13）

二基本应用：

1.判别奇偶数

奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。易知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。

C++实现功能函数：

/*

函数名：IsEven

函数功能：判别整数n的奇偶性。能被2整除为偶数，否则为奇数

输入值：intn，整数n

返回值：bool，若整数n是偶数，返回true，否则返回fal

*/

boolIsEven(intn)

{

return(n%2==0);

}

2.判别素数

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如2，3，5，7是质数，而4，6，8，9则不是，后者

称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说

明其非素数。

C++实现功能函数：

/*

函数名：IsPrime

函数功能：判别自然数n是否为素数。

输入值：intn，自然数n

返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回fal

*/

boolIsPrime(unsignedintn)

{

unsignedmaxFactor=sqrt(n);//n的最大因子

for(unsignedinti=2;i<=maxFactor;i++)

{

if(n%i==0)//n能被i整除，则说明n非素数

{

returnfal;

}

}

returntrue;

}

3.最大公约数

求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b)=gcd(b,amodb)

证明：a可以表示成a=kb+r，则r=amodb

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a,d|b，而r=a-kb，因此d|r

因此d是(b,amodb)的公约数

假设d是(b,amodb)的公约数，则d|b,d|r，但是a=kb+r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,amodb)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++实现功能函数：

/*

函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数

函数名：Gcd

输入值：unsignedinta，自然数a

unsignedintb，自然数b

返回值：unsignedint，两个自然数的最大公约数

*/

unsignedintGcd(unsignedinta,unsignedintb)

{

if(b==0)

returna;

returnGcd(b,a%b);

}

/*

函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数函数名：Gcd

输入值：unsignedinta，自然数a

unsignedintb，自然数b

返回值：unsignedint，两个自然数的最大公约数

*/

unsignedintGcd(unsignedinta,unsignedintb)

{

unsignedinttemp;

while(b!=0)

{

temp=a%b;

a=b;

b=temp;

}

returna;

}

4．模幂运算

利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555

的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。

根据运算规则（4）ab%p=((a%p)b)%p，我们知道3333^5555（%10）=3^5555（%10）。由于3^4=81，所以3^4（%10）=

1。

根据运算规则（3）(a*b)%p=(a%p*b%p)%p，由于5555=4*1388+3，我们得到3^5555（%10）=（3^(4*1388)*3^3）

（%10）=（（3^(4*1388)（%10）*3^3（%10））（%10）

=（1*7）（%10）=7。

计算完毕。

利用这些规则我们可以有效地计算X^N(%P)。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%

运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。

这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更

好的算法。

如果N是偶数，那么X^N=（X*X）^[N/2]；

如果N是奇数，那么X^N=X*X^(N-1)=X*（X*X）^[N/2]；

其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

C++实现功能函数：

/*

函数功能：利用模运算规则，采用递归方式，计算X^N(%P)

函数名：PowerMod

输入值：unsignedintx，底数x

unsignedintn，指数n

unsignedintp，模p

返回值：unsignedint，X^N(%P)的结果

*/

unsignedintPowerMod(unsignedintx,unsignedintn,unsignedintp)

{

if(n==0)

{

return1;

}

unsignedinttemp=PowerMod((x*x)%p,n/2,p);//递归计算（X*X）^[N/2]

if((n&1)!=0)//判断n的奇偶性

{

temp=(temp*x)%p;

}

returntemp;

}

5.《孙子问题(中国剩余定理)》

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7

余2.求适合这个条件的最小数。”

这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”.

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题

的解法：

三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出

余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，

然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理，我把此种解法推广到有n(n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。输入n个除数（除数不能互相整除）

和对应的余数，计算机将输出最小被除数。

C++实现功能函数：

/*

函数名：ResidueTheorem

函数功能：运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，返回最小被除

数

输入值：unsignedintdevisor[]，存储了n个除数的数组

unsignedintremainder[]，存储了n个余数的数组

intlength，数组的长度

返回值：unsignedint，最小被除数

*/

unsignedintResidueTheorem(constunsignedintdevisor[],constunsignedintremainder[],intlength)

{

unsignedintproduct=1;//所有除数之乘积

for(inti=0;i

{

product*=devisor[i];

}

//公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数

unsignedint*commonMultiple=newunsignedint(length);

for(inti=0;i

{

commonMultiple[i]=product/devisor[i];

}

unsignedintdividend=0;//被除数，就是函数要返回的值

for(inti=0;i

{

unsignedinttempMul=commonMultiple[i];

//按照剩余理论计算合适的公倍数，使得tempMul%devisor[i]==1

while(tempMul%devisor[i]!=1)

{

tempMul+=commonMultiple[i];

}

dividend+=tempMul*remainder[i];//用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数

}

delete[]commonMultiple;

return(dividend%product);//返回最小被除数

}

6.凯撒密码

凯撒密码（caer）是罗马扩张时期朱利斯o凯撒（JuliusCaesar）创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用，z的后面可以堪称是a。

例如，当密匙为k=3，即向后移动3位时，若明文为”Howareyou!”，则密文为”Krzduhbtx!”。

凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下：

在这里，我们做此约定：明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)（其中key1为密钥），

解密变换记为D(key2,m)（key2为解密密钥）（在这里key1=key2,不妨记为key）。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换：c≡m+key(modn）（其中n为基本字符个数）

同样，解密过程可表示为：m≡c+key(modn）（其中n为基本字符个数）

C++实现功能函数：

/*

函数功能：使用凯撒密码原理，对明文进行加密，返回密文函数名：Encrypt

输入值：constcharproclaimedInWriting[]，存储了明文的字符串

charcryptograph[]，用来存储密文的字符串

intkeyey，加密密匙，正数表示后移，负数表示前移

返回值：无返回值，但是要将新的密文字符串返回

*/

voidEncrypt(constcharproclaimedInWriting[],charcryptograph[],intkey)

{

constintNUM=26;//字母个数

intlen=strlen(proclaimedInWriting);

for(inti=0;i

{

if(proclaimedInWriting[i]>='a'&&proclaimedInWriting[i]<='z')

{//明码是大写字母，则密码也为大写字母

cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-'a'+key)%NUM+'a';

}

elif(proclaimedInWriting[i]>='A'&&proclaimedInWriting[i]<='Z')

{//明码是小写字母，则密码也为小写字母

cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-'A'+key)%NUM+'A';

}

el

{//明码不是字母，则密码与明码相同

cryptograph[i]=proclaimedInWriting[i];

}

}

cryptograph[len]='0';

}

/*

函数功能：使用凯撒密码原理，对密文进行解密，返回明文函数名：Decode

输入值：charproclaimedInWriting[]，用来存储明文的字符串

constcharcryptograph[]，存储了密文的字符串

intkeyey，解密密匙，正数表示前移，负数表示后移（与加密相反）

返回值：无返回值，但是要将新的明文字符串返回

*/

voidDecode(constcharcryptograph[],charproclaimedInWriting[],intkey)

{

constintNUM=26;//字母个数

intlen=strlen(cryptograph);

for(inti=0;i

{

if(cryptograph[i]>='a'&&cryptograph[i]<='z')

{//密码是大写字母，则明码也为大写字母，为防止出现负数，转换时要加个NUM

proclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-'a'-key+NUM)%NUM+'a';

}

elif(cryptograph[i]>='A'&&cryptograph[i]<='Z')

{//密码是小写字母，则明码也为小写字母

proclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-'A'-key+NUM)%NUM+'A';

}

el

{//密码不是字母，则明码与明密相同

proclaimedInWriting[i]=cryptograph[i];

}

}

proclaimedInWriting[len]='0';

}

模运算及其简单应用就先讲到这了，其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛，我这这里搜集整理了一些最最基本的情形，

希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广阔的领域中。