弧度计算公式

C

B

A

A1

A2

A3

A4

A5

(A6)

弧长公式（二）

清华附中李娜

教学目标：

1．使学生灵活应用弧长公式解决相关问题．

2．进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高学生综合运用

所学知识分析问题和解决问题的能力，培养学生逻辑思维能力．

3．创设情境激发学生对数学的“好奇心、求知欲”；营造“民主、和谐”的

课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验．培养学生以严谨求实的

态度思考数学．

教学重点：应用弧长公式进行计算．

教学难点：弧长公式的灵活应用．

教学方式：体验式．

教学手段：常规教学用具，计算机及课件．

教学过程：

一、复习提问

复习弧长公式：

180

nR

l





，并请学生说出对公式的理解．

二、创设情境，解决问题

例1：同学们看到的这个由九个小正三角形、一个大正三角形和一些曲线组成

的优美的图案，它不仅是旋转对称图形，也是轴对称图

形．已知小正ABC与大正三角形的边长比为1：3，

1AB，求美丽的外围曲线的长度．

计算机演示曲线的形成过程，闪动外围曲线．学生思

考并回答问题：

①你看到了什么ABC在做什么运动？

②外围曲线是怎样形成的？

③ABC在大三角形每条边上滚动的情况一样吗？

学生回答，补充完善后，教师说明：我们观察到，正ABC在绕着大正三角形

滚动．在滚动的过程中，外围的曲线就是三角形的一个顶点A所走过的路径．我

们可以简化研究ABC在一条直线上滚动时，点A所经过的路径的长度．

(B1)

A1

C1

(C2)

B2

A2

C

B

A

设计意图：由一个美丽的图形引出问题，激发学生探询新知的欲望．

步骤1：如图，在正

ABC

中，1AB，正

ABC

在一条直线顺时针滚动一周，

求点A所经过的路径的长度．

教师几何画板演示图形的运动过程，同时启发学生思考并回答下面几个问题：

①A点所经过的路径是什么图形，为什么？

②每一段圆弧所在圆的圆心和半径如何？圆心角如何？

教师板书：

圆心半径圆心角弧长

(1)点B1AB

1

120ABA

1

12012

1803

l





．

(2)点

1

C

11

1CA

12

120ACA

2

12012

1803

l





．

(3)点

2

A00

所以，点A所经过的路径的长度为

12

4

3

lll





．

教师总结：三角形在滚动的过程中，点A经过的路径是两段圆弧．对于每一

段圆弧，考虑到应用弧长公式，解决此类问题的关键是确定每一段圆弧的圆心、

半径和圆心角．

步骤2：

ABC

在大正三角形的边缘顺时针滚动后回到原来的位置，求点A所

经过的路径的长度．

教师引发学生思考并回答下面的问题：

①我们在步骤1中解决了什么问题？

③求出外围曲线的长度．

外围曲线的长度为

412

3

33





．

设计意图：在这个过程中，学生体验研究类似问题的过程和方法．体验到研

究复杂问题可以从简单问题入手，同时体验到解决这个问题的关键是确定每一段

圆弧的圆心、半径和圆心角，这样突出重点，突破难点．

B2

A2

(C2)

(B1)

C1

A1

C

B

A

O

B

A

例2：有一历史遗留的圆弧形桥拱，由于时间久远，桥拱面已经损坏，市政府

要对桥拱面重新修复．已知桥拱的跨度为103米，拱高为5米，拱面宽为10米，

求所要修复的桥拱面的面积．（结果用



表示）

教师引发学生思考下面的问题：

①如何将实际问题转化为数学问题？

②“有一圆弧形桥拱”这句话给我们解题提供什么信息？

③画出解决此实际问题的几何图形？

④要求拱桥面的面积，缺少什么条件？

学生画图，写出计算过程，然后交流、反思、总结．此问题的答案是2

200

3

m



．

设计意图：这是一个实际问题，首先应该把实际问题转化为数学问题，这是

数学建模的过程．然后挖掘条件，解决此问题的关键是求桥拱的截面图的弧长．

三、巩固练习

1．练习：如图，在

ABC

中，1,90,30ABBC,

ABC

在直线上滚动

一周后，求点A所经过的路径的长度．

设计意图：学生类比联想，总结反思解决这个问题的过程和方法．

2．思考题：如图，

ABC

为正三角形，曲线

CDEF

叫“正三角

形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF的圆心依次按A、B、C

循环，它们依次相连接，如果1AB，求曲线CDEF的长．（依时

间而定，也可课后思考．）

四、课堂小结

1．学生自己总结，并在班上交流

2．结合学生所述，教师给予指导

①解决问题要抓住事物的本质．这节课解决问题的关键是先确定曲线为圆弧，

D

E

F

C

B

A

然后应用弧长公式，要找准所在圆的半径和对应的圆心角．

②将生活中的实际问题自觉的转化为数学问题，体会到“数学源于生活，又

服务于生活”．

③研究问题，一般遵循着从简单到复杂的原则．

五、布置作业

必做题：三新练习册P61．

思考题：秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，

秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），求该秋千所荡过的圆弧长．

教学反思：

一、设计思想：本节课是华东师大版教材九年级（上）第24章23.3圆中的

计算问题――弧长公式的第二节课．从知识结构来看，它是旋转问题和圆中的计

算问题――弧长公式的延续；从解决问题的思想方法来看，体现了从简单到复杂

的研究问题的方法．在教学的过程中，培养学生自主探索、合作交流，在观察与

反思中体验解决问题的方法．同时教师借助于图形运动、多媒体教学手段，促进

学生不断体验、不断反思，引发学生的学习积极性，培养他们合作、交流解决问

题，充分发挥学生在学习过程中的主体作用．在教学中同时完成三项基本任务：

掌握知识和技能，发展学生的智力和能力，渗透数学教育的德育观点．

二、学生情况：11班是普通班，学生基础比较扎实，上课气氛一直不错．虽

然初三年级的学生在课堂中已不象初一、初二年级时那样活跃，他们的学习行为

趋于理性化，即使有想法也不会贸然举手发言．但是思维的成熟度、求知欲望要

比以往强．因此营造的课堂气氛要能充分激活学生的创造欲望，让学生在教师创

O

C

B

A

设的情境中充满好奇心的学，留给学生足够的自主活动、相互交往活动的空间，

让学生在实践与观察中不断体验与反思，发现数学问题，在实践中日益领悟数学

思想．

三、教学内容特点：第一个例题是一个纯数学问题，从一个漂亮的图案提出

问题，学生分析曲线的形成过程后，可以简化研究正三角形在一条直线上滚动时，

某一顶点所经过的路径的长度．解决这类问题关键是先明确曲线为几段圆弧，然

后引导学生弄清每一个分段过程的旋转中心、旋转半径和旋转角度．根据扇形的

弧长公式求出某顶点经过的路径有多长．在这一过程中，学生体验解决问题的过

程和方法．第二个例题是一个实际问题，学生应该自觉的将实际问题转化为数学

问题，这是数学建模的过程．解决这个问题的关键是求出圆弧所在圆的半径和圆

心角的度数，然后代入弧长公式求弧长．随后两道练习题是检验学生对前面所学

知识的掌握情况．学生在解决问题的过程中，应不断体验、不断反思，学会解决

问题的思想方法．学生的思维和体验达到高点．

四、流程框图：

数学问题化简研究解决问题

实际问题数学问题解决问题

五、教学方式及其实用性：根据本节课的教学内容特点及学生的实际水平，

我采用体验式的教学方式．让学生体验解决类似问题的过程和方法，并在对经验

与体验进行反思中获得成长性发展．注重循序渐进的原则，采取观察、类比、讨

论等方法，注重创设问题情景，充分暴露思维过程，发展学生的思维能力．

六、课后反思：本节课是弧长公式的第二节课，这节课是应用弧长公式解决

更复杂的求弧长的问题．一个例题是求运动过程中形成的几段弧长，第二个例题

是在实际问题中求弧长．在教学的过程中，培养学生自主探索、合作交流，在观

察与反思中体验解决问题的方法．同时教师借助于图形运动、多媒体教学手段，

促进学生不断体验、不断反思，引发学生的学习积极性，培养他们合作、交流解

决问题，充分发挥学生在学习过程中的主体作用．在研究问题的过程中，体现了

从简单到复杂的解决问题的方法．

这节课体现了新课程标准的理念，充分发挥了学生在学习活动中的主体作

用．当然也有不足之处，比如：当学生回答到

ABC

在大三角形的三边上翻滚时，

我应该继续追问，让学生解释对于这个问题，翻滚就是我们以前学过的旋转变换，

并且具体指明旋转变换中的旋转中心、旋转半径和旋转角度，这样新旧知识联系

的更加紧密了．