向量乘法公式

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向量数量积的坐标运算与度量公式

1.向量数量积及向量垂直的坐标表示

设a=(ai,a2),b=(bi,b?)

(1)数量积ab=a也i+32^2.

(2)若a,b为非零向量，a丄b?ab土ab=0・

［点睛］记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计

算

和”.

2.三个重要公式

(1)向量的长度公式：已知a=(ai,

(2)两点间的距离公式：A(XI,

A/(X2—X1)2

+(y

2

—y

if.

(3)向量的夹角公式：a=(ai,a2),

a

2),则|a|=寸a1+a

2.

yi),B(X2,y2),则|AB|=

b=(bl,b

2

),贝Jcos〈a,b>

aibi+

a2b2Qa2+a2Jb2+b2

［小试身

手］

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“"”，错误的打“X”

(i)向量的模等于向量坐标的平方和.()

(2)若a=(ai,a2),b=(bi,切，贝Ja丄b?aibi+azte=0.(

(3)若两个非零向量的夹角0满足cos

0<0,则两向量的夹角

一定是钝角.()

答案：(i)x(2)x(3)x

2.已知a=(—3,4),b=(5,2),贝Jab的值是()

A.23B.7C.-23D.-7

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答案：D

3.已知向量a=(X—5,3),b=(2,

成的集合是()

A.{2,3}B.{—1,6}C.{2}

答案：C

4.已知a=(1，衍)，b=(—2,0),

答案：2

平面向量数量积的坐

标运算

［典例］(1)(全国卷n)向量a=(1,—1),b=(—1,2),则(2a+

b)a

B.0

(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是

平行四边形，AB=(1,—2),AD=(2,1),贝JAD-AC=()

B.4

［解析］(1)a=(1,—1),b=(—1,2),

•••(2a+b)a=(1,0)(1,—1)=1.

⑵由AC=AB+AD=(1,—2)+(2,1)=(3,—1),得AD-AC=

X)，且a丄b,则由x的值构

则|a+b|=

课堂讲练设让.举一能迪冀题

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(2,1)(•,-1)=5.

［答案］(1)C(2)A

数量积坐标运算的两条途径

进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性

'质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行'数

量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计

算.

［活学活用］

已知向量a与b同向，b=(1,2),ab=10.

(1)求向量a的坐标;

⑵若c=(2,-1),求(bc)a.

解：⑴因为a与b同向，又b=(1,2),

所以a=入b(入20.

又ab=10,所以1-H22A10,解得r2>0.

因为后2符合a与b同向的条件，所以a=(2,4).

(2)因为bc=1X2+2X(-1)=0,所以(bc)a=0a=0.

向量的模的

问题

［典例］⑴设x,y€R，向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),

且a丄c,b//c,则|a+b|=()

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AA/5

C.2躬

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------1—(2)已知点A(1,—2)，若向量AB与a=(2,3)同向，|AB|=2/13,

则点B的坐标是_________.

［解析］(1)由F丄c，?!2x—4=0，?片2,

L」'丿lb//c［2y+4=0ly=—2.

•••a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1).

•••|a+b|=/i0.

(2)由题意可设AB=入aA0),

•••AB=(2入3?).又|AB|=^13,

•••(2?)2+(3沪=(^/13)2，解得后2或—2(舍去).

求向量的模的两种基本策略

(1)字母表示下的运算：

利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.

(2)坐标表示下的运算：

若a=(x,y)，贝Jaa=a2=|a|2=x'+y2,于是有|a|=A/x2+y2.

［活学活用］

1.已知向量a=(cos0,sinB),向量b=(«3,0),则|2a-b|的最

二AB=

(4,6).

又A(1,—2),二B(5,4).

(2)(5,4)

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大值为

解析：2a-b=(2cos0-^3,2sin0),

|2a-b|=p(2cos0—羽)2+(2sin0)2

=寸4coS0—4V3cos0+3+4sin20

=>/7—^/Scos0,

当且仅当cos0=-1时，|2a—b|取最大值2+^/3.

答案：2+V3

2.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(ab)b,则|c|

解析：•/a=(2,4),b=(-1,2),二ab=2X(-1)+4X2=6,二c

=a-(ab)b=(2,4)-6(-1,2)=(2,4)-(-6,12)=(8,-8),二

|c|=782+(—=8^2.

答案：8返

(1)va=(3,2),b=(-1,2),

■a三

向量的夹角和垂直

问题

［典例］

(1)已知a=(3,2),b=(-1,2),(a+入b丄b,则实数入=

(2)已知a=(2,1),b=(—1,-1),c=a+kb,d=a+b,c与d

的夹角为n

则实数k的值为

［解析］

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••a+入b(3—入2+2?).

又T(a+入b丄b,

即(3—?X(—1)+2X(2+2?)=0,

1

解得=—g.

(2)c=a+kb=(2—k,1—k),d=a+b=(1,0),

由cosn爭寸；2—2常:—岸02誇,

•-(2—k)2=(k—1)2,二k=2.

［答案］⑴—5(2)|

解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积

ab_,

及|a||b|，再由cos0=厂蔺求出cos0,也可由坐标表示

lallbl

硏al应b2直接求出cos0由三角函数值cos0求角

'意角0的取值范围是0W0Wn

ab_

(2)由于0w0

有两种情况：一是0是钝角，二是0=ncos0>0也有两种情况：一

是0为锐角，二是0=0.

cos0=

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［活学活用］

已知平面向量a=(3,4),b=(9,X),c=(4,y)，且aIIb,a丄

c.

(1)求b与c;

⑵若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.

解：(1)TaIb,.3x=4X9,.x=12.

-a丄c,.•3X4+4y=0,.•y=—3,

•••b=(9,12),c=(4,-3).

(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),

n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).

设m,n的夹角为0,

□［mn—3X7+(—4)X1

则cos0=丽=&-3)2+(-4布+12

-25V2

=丽=-2.

•••0€［0,兀］•••0=3n，

即m,n的夹角为¥・

、求解平面向量的数

量积

［典例］已知点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,求

ABBC+BCCA+CA-AB的值.

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［解］［法一定义法］

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盯3

如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B=-,cosA=3,

4

cosC=5,

二ABBC+BCCA+CA-AB

=BCCA+CA-AB

=4X5cos(C)+5X3cos(A)

=—20cosC—15cosA

=—20X5—15X5

=—25.

［法二坐标法］

如图，建立平面直角坐标系,

则A(3,0)，B(0,0),C(0,4).

二AB=(—3,0),BC=(0,4),CA=(3,

二ABBC=—3X0+0X4=0,

BCCA=0X3+4X(—4)=—16,

CA-AB=3X(—3)+(—4)X0=—9.

二ABBC+BCCA+CAAB=0—16—9=—25.

［法三转化法］

T|AB|=3,|BC|=4,|AC|=5,

AB丄BC，—ABBC=0,

二ABBC+BCCA+CA-AB=CA(AB+BC)

c

—

3

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---------------2

=CAAC=—|AC|=—25.

求平面向量数量积常用的三个方法

(1)定义法：利用定义式ab=|a||b|cos0求解;

(2)坐标法：利用坐标式ab=aibi+azbz解题;

(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量

积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算.

［活学活用］

如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中

点，那么cosZDOE的值为

11

—―1X-+-X1,

卄0D0E224

故cos/DOE==—㈡=c.

|0D||0E|Y5x/55

2X2

法二：•••OD=OA+AD=OA+-OC,

■■■■ELL—.■•■■■■■-■1—

OE=OC+CE=OC+20A,

—Vs—vs

|

0D

|=2，|

0E

|=2，

解析：法一：以0为坐标原点，0A,OC所在的

直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示,

2,1〕

则由已知条件，可得0D=

f1、

1,2

0E=

J

_E_________甘

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nI-----nIIL亠

I2I2■

ODOE=2OA2+2OC2=1,

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•cosZDOE=rOD•咅

5

.

|OD||OE|5

答案：4

课后层级训练，涉步提升能力

层级一学业水平达标

1已知向量a=（0,-2/3）,b=（1,凤贝y向量a在b方向上

的投影为（）

B.3

C.—

[3

ab—6

解析：选D向量a在b方向上的投影为血=2—3•选D.

2.设x€R,向量a=(x,1),b=(1,—2),且a丄b,则|a+

b|=(A・诵

C.2质

BA/IO

D.10

解析：选B由a丄b得ab=0,

•••XX1+1X(—2)=0,即卩

x=2,

••a+b=(3,—

1),

•••|a+b|=p32+(—1)2

=V1O・

3.已知向量a=(2,1),b=(—

1,

k),a(2a—b)=0,贝J

k=(

A.—12B.—6

D.12

解析：选D2a—b=(4,2)—(—1,k)=(5,2—k)，由a(2a—

b)=

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0,得(2,1)(5,2—k)=0,二10+2-k=0,

D.—65

解析：选C设b=(x,y)，贝J2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所

I_3_^5

以〔6+y=18,解得〔y_12/故b_(—所以CO〈亠&〉_

ab_16

丽_65-

5.已知A(—2,1),B(6,—3),C(0,5),则^ABC的形状是()

解析：选A由题设知AB=(8,—4),AC=(2,4),BC=(—

6,8),

•••AB-AC=2X8+(—4)X4=0,即卩AB丄AC.

:丄BAC_90°

故^ABC是直角三角形.

6.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)丄b,则

|a=____________.

解析：a+c=(3,3m),由(a+c)丄b,可得(a+c)b=0,即卩3(m+

答案•.迄

解得k=12.

4.a,b为平面向量，已知a=

（4,3）,角的余弦值等于（）

8

A.65

2a+b=(3,18),贝Ja,b夹

B.

8

65

C-H

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

1)+3m=0,解得m

2,则a=(1,—1),故|a|=^

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7.已知向量a—(1,、/3),2a+b—(—1,A/3),a与2a+b的

夹角为e,贝Je—_____.

解析：Va—(1,V3),2a+b—(—1,^3),

2,|2a+b|=2,a(2a+b)=2,

•••co=a^2a+b)=1,

|a||2a+b|2〉

答案：n

8.已知向量a=(3,1),b是不平行于X轴的单位向量，且ab

=Q3,则向量b的坐标为___________.

y)(yM0),则依题意有｛—1解得

W3x+y—/3,

答案:

9.已知平面向量a=(1,X),b=(2X+3,—X),x€R.

(1)若a丄b,求X的值；

⑵若a//b,求|a—b|.

解：⑴若a丄b,

则ab=(1,X)(•2x+3,—X)

=1X(2x+3)+x(—X)=0,即X2—2x—3=0,解得x=-1或x=

3.

解析:

设b=(X,

「x=2

Iy—

2,

(1

故b—

1

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(2)若a//b,贝J1X(—X)—x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,

解得x=0或x=—2.当x=0时，a=(1,0),b=(3,0),

a—b=(—2,0),|a—b|=2.

当x=—2时，a=(1,—2),b=(—1,2),

a—b=(2,—4),|a—b|=/4+16=^/s.综上，|a—b|=2或2

品

10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(—2,3)，C(2,

—1)・

(1)求AB-AC及|AB+AC|;

⑵设实数t满足(AB—tOC)丄OC,求t的值.解：(1)TAB=(—

3,—1),AC=(1,—5),

…AB•AC=—3X1+(—1)X(—5)=2.

-AB+AC=(—2,—6),••|

AB+AC|=/4+36=^/10.

(2)VAB—toe=(—3—2t,—1+t),0C=(2,—1)，且(AB—

tOC)

丄OC,

•••(AB—tOC)OC=0,

•••(—3—2t)X2+(—1+1)(—1)=0,

…t=—1.

层级二应试能力达标

1.设向量a=(1,0),b=(2,g),则下列结论中正确的是()

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A.|a|=|b|

證

C.a—b与b垂直

解析：选C由题意知|a=Vl2+02=1,|皆寸+(P=普,

11111ab=1X2+0x2=2,(a—b)b=a

b-|b|2=㊁一£0,

故a—b与b垂直.

2.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P,使APBP

有最小值，则点P的坐标是()

A.(—

3,0)

B.(2,0)

C.(3,0)D.(4,0)

解析：选C设P(x,0)，则AP=(x—2,—2),BP=(x—4,—

1),

•••APEP=(x—2)(x—4)+2=x2—6x+10=

(x—3)2+1,

故当x=3时，APBP最小，此时点P的坐标为(3,0).

3.若a=(x,2),b=(—3,5),且a与b的夹角是钝角，则实数x

的取值范围是()

f10、

I，3丿

A.

,+"

B.

解析：选Cx应满足(x,2)(-—3,5)v0且a,b不共线，解得x

10口610

＞亍，且xM—5,二x＞亍

4.已知OA=(—3,1),OB=(0,5),且ACllOB,BC丄AB(O为

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坐标原点），则点C的坐标是（）

又0A=(-3,1),

--AC=0C—0A=(x+3,y—1).

•/AC//OB,

--5(x+3)—0(y—1)=0,

…x=—3.

TOB=(0,5),

BC=0C—0B=(x,y—5),AB=OB—OA=(3,4).

——29

•••BC丄AB，二3x+4(y—5)=0,.y=4，

f29、

c点的坐标是一3,29.

V4/

5.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m€R)，且c与a

的夹角等于c与b的夹角，贝Jm=______.

解析：因为向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m

+2),所以ac=m+4+2(2m+2)=5m+8,bc=4(m+4)+2(2m+

2)=8m+20.

因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以肃=肃，即菁

b^ncif5m+88m+20

29)

A.—3,—

4

29、

c.®石

B・「3,

/

D.g,-

29、

29、

解析：选B设C（x,y）,则0C=（X,

y)・

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而所以育="WT,

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解得m=2.

答案：2

6.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则

解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如

设E(1,a)(0

所以DECB=(1,a)(1,0)=1,

DEDC=(1,a)(0,1)=a<1,故DEDC的最大值为1.

答案：11

7.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中

(1)若|c|=2^/5,且c//a,求c的坐标；

J5

⑵若初=专，且a+2b与2a—b垂直，求a与b的夹角a

解：(1)设c=(x,y),v|c|=2^/5,「.^Jx2+y2=^/s,•••X2+y2=

20.

由c/a和|c|=2^5,

[1y—2x=0,

可得k+y2=20,

lx=2,lx=—2,

解得ly=4,或y=—4.

故c=(2,4)或c=(-2,—4).

DECB的值为

；DEDC的最大值为

图所示.

则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),

a=(1,2).

C

E

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(2)T(a+2b)丄(2a—b),：(a+2b)(2a-b)=0,

即2a2+3ab—2b2=0,

55

•2X5+3ab—2X4=0,整理得ab=—Q,

ab

•cos0=厂蔺=—1.

|a||b|

又0€[0,n,•-0=n.

8.已知OA=(4,0),OB=(2,^/3),OC=(1—?)OA+?OB

(^2^；).

(1)求OAOB及OA在OB上的射影的数量；

（2）证明A,B,C三点共线，且当AB=BC时，求入的值;

⑶求|OC|的最小值.

解：（1）OAOB=8,设OA与0B的夹角为0,

则cos0=qA单=丄=1,

则|OA||OB|4X4；,

•••0A在0B上的射影的数量为|OA|COS0=4X1=2.

■■■HHH(2)AB=OB—OA=(—2,^/3),BC=OC—OB=(1—片OA—

(1

—"OB=(入—1)AB，所以A,B,C三点共线.

当AB=BC时，—1=1,所以=2.

(3)|OC|2=(1—护OA'+2/(1—"OAOB+J^OB；

=16"—16+16=16(「z)+12,

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X2/

•••当=1时，|OC|取到最小值，为2屈

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