开集和闭集

浅谈实变函数中的开集和闭集

【摘要】开集和闭集是实变函数中的两个重要概念，

本文以开集和闭集的定义为基础，讨论开集和闭集的运算性

质及两者间的对偶关系及性质的证明.

【关键词】开集；闭集；对偶性；证明

[Abstract]Opentsandclodtsarerealvariable

functionoftwoimportantconcepts，thispaperdiscussthe

dualnatureoftherelationshipbetweencomputingandopent

andclodtbetweenthetwo.

[Keyword]Opents；clodts；Duality；Proof

1.开集和闭集的概念

定义1设E?Rn，如果E的每一点都是E的内点，则称

E为开集.

注1开集定义的内涵、基础是邻域、距离的概念，由邻

域精确地刻画了“内点”。注意在不同的空间看待同一个点，

同样的半径，邻域范围不同。如原点O的ε邻域u（O，ε）：

R上，开区间内（-ε，ε）R2上，开圆内x2+y2<ε2R3上，

开球内x2+y2+z2<ε2.

注2由开集的内涵，直观上得开集中不含界点与孤立点.

注3开集的定义与长度的度景直接相关，这是可测集的

测度由开集转换的内在因素之一.

定义2设E?Rn，如果E的每一个聚点都属于E，则称E

为闭集.

注1聚点包含内点与界点（不含孤立点），由定义直

观上得出闭集包含了所有的内点与界点.

注2由此任一集合，包含部分边界又不包含所有的边

界，则它既不是开集，也不是闭集.

定理1对任何E?Rn，是开集，和都是闭集

2.开集和闭集的性质

定理2（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则C是

闭集；设E是闭集，则C是开集.

证明第一部分：设E是开集，而p0是C的任一聚点，

那么，p0的任一邻域都有不属于E的点.这样，p0就不可能

是E的内点，从而不属于R（因R是开集），也就是p0

∈C.

第二部分：设E是闭集，对任一p0∈C，假如p0不

是C的内点，则p0的任一邻域至少有一个属于E的点，而

且这点必异于p0（p0∈C）这样p0就是E的聚点，从而必

属于E（因E是闭集），和假设矛盾.

定理3任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交

仍是开集.

证明第一部分显然，现证第二部分.不妨就两个开集来

证明.

设G1，G2为开集，任取P0∈G1∩G2.因P0∈Gi，i=1，

2，故存在Ui（P0）?Gi，i=1，2.

由邻域性质（2），存在U3（P0）?U1（P0）∩U2（P0）

从而U3（P0）∈G1∩G2，可见P0是G1∩G2的内点，证

毕.

定理4任意多个闭集之交仍是闭集，有限多个闭集之和

仍是闭集.

定理5开集减闭集后的差仍是开集；闭集减开集后的差

仍是闭集.

证明设G是开集，F是闭集，则CG是闭集，C是开集.

所以G-F=G∩C是开集，F-G=F∩C是闭集.

定理6每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可

以表示成可数个闭集的和集.

证明设F是闭集，令，Gn是开集：

任意x0∈Gn，d（x0，F）<，所以存在y0∈F，使

d（x0，y0）=δ<

令ε=-δ>0，任意x∈U（x0，ε），d（x0，x）<ε

d（x，y0）≤d（x0，x）+d（x0，y0）<ε+δ=ε+-

ε=

于是d（x，F）=d（x，y）≤d（x，y0）<，得x∈Gn

这样U（x0，ε）?Gn，故Gn是开集.

设x∈?Gn，对任意n，x∈Gn，d（x，F）<.令n→∞，

得d（x，F）=0.由于F是闭集，必有x∈F，即?Gn?F又Gn?F，

n=1，2，„，所以?Gn?F因而?Gn=F，F是可数个开集的交

集.

若G是开集，则CG是闭集，所以有开集Gn，使

CGn=?Gn，

所以G=C（CG）=C（?Gn）=?CGn，而CGn是闭集，

因而G是可数个闭集的和集.

参考文献：

[1]熊国敏，实变函数中的开集和闭集，安顺学院学报

2004（2）

[2]魏国强，胡善文等，实变函数与泛函分析基础，高等

教育出版社，2003年7月