过阻尼

阻尼、阻尼系数、阻尼比

阻尼（英语：damping）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用和/或系统本

身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。

概述

在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比，与振

动速度方向相反的力，该模型称为粘性（或粘性）阻尼模型，是工程中应用最广

泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能较好地模拟空气、水等流体对振动的阻碍作用。

本条目以下也主要讨论粘性阻尼模型。然而必须指出的是，自然界中还存在很多

完全不满足上述模型的阻尼机制，譬如在具有恒定摩擦系数的桌面上振动的弹簧

振子，其受到的阻尼力就仅与自身重量和摩擦系数有关，而与速度无关。

除简单的力学振动阻尼外，阻尼的具体形式还包括电磁阻尼、介质阻尼、结构阻

尼，等等。尽管科学界目前已经提出了许多种阻尼的数学模型，但实际系统中阻

尼的物理本质仍极难确定。下面仅以力学上的粘性阻尼模型为例，作一简单的说

明。

粘性阻尼可表示为以下式子：

其中F表示阻尼力，v表示振子的运动速度（矢量），c是表征阻尼大小

的常数，称为阻尼系数，国际单位制单位为牛顿·秒/米。

上述关系类比于电学中定义电阻的欧姆定律。

在日常生活中阻尼的例子随处可见，一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下，用手拨

一下吉他的弦后声音会越来越小，等等。阻尼现象是自然界中最为普遍的现象之

一。

理想的弹簧阻尼器振子系统如右图所示。分析其受力分别有：

弹性力（k为弹簧的劲度系数，x为振子偏离平衡位置的位移）：

F

s

=−kx

阻尼力（c为阻尼系数，v为振子速度）：

假设振子不再受到其他外力的作用，于是可利用牛顿第二定律写出系统的振动

方程：

其中a为加速度。

[编辑]运动微分方程

上面得到的系统振动方程可写成如下形式，问题归结为求解位移x关于时间t

函数的二阶常微分方程：

将方程改写成下面的形式：

然后为求解以上的方程，定义两个新参量：

上面定义的第一个参量，ω

n

，称为系统的（无阻尼状态下的）固有频率。第二

个参量，ζ，称为阻尼比。根据定义，固有频率具有角速度的量纲，而阻尼比

为无量纲参量。阻尼比也定义为实际的粘性阻尼系数C与临界阻尼系数Cr之比。

ζ=1时，此时的阴尼系数称为临界阻尼系数Cr。

微分方程化为：

根据经验，假设方程解的形式为

其中参数一般为复数。

将假设解的形式代入振动微分方程，得到关于γ的特征方程：

解得γ为：

[编辑]系统行为

欠阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的典型位移-时间曲线

系统的行为由上小结定义的两个参量——固有频率ω

n

和阻尼比ζ——所决定。

特别地，上小节最后关于γ的二次方程是具有一对互异实数根、一对重实数根还

是一对共轭虚数根，决定了系统的定性行为。

[编辑]临界阻尼

当ζ=1时，的解为一对重实根，此时系统的阻尼形式称为临界阻尼。现实生

活中，许多大楼内房间或卫生间的门上在装备自动关门的扭转弹簧的同时，都

相应地装有阻尼铰链，使得门的阻尼接近临界阻尼，这样人们关门或门被风吹

动时就不会造成太大的声响。

[编辑]过阻尼

当ζ>1时，的解为一对互异实根，此时系统的阻尼形式称为过阻尼。当自动

门上安装的阻尼铰链使门的阻尼达到过阻尼时，自动关门需要更长的时间。

[编辑]欠阻尼

当0<ζ<1时，的解为一对共轭虚根，此时系统的阻尼形式称为欠阻尼。在欠

阻尼的情况下，系统将以圆频率相对平衡位置作往复振动。

[编辑]方程的解

•对于欠阻尼体系，运动方程的解可写成：

其中

是有阻尼作用下系统的固有频率，A和φ由系统的初始条件（包括振子的初始

位置和初始速度）所决定。该振动解表征的是一种振幅按指数规律衰减的简谐

振动，称为衰减振动（见上图中的位移-时间曲线所示）。

•对于临界阻尼体系，运动方程的解具有形式

其中A和B由初始条件所决定。该振动解表征的是一种按指数规律衰减的非周

期运动。

•对于过阻尼体系，定义

则运动微分方程的通解可以写为：

其中A和B同样取决于初始条件，cosh和sinh为双曲函数。该振动解表征

的是一种同样按指数规律衰减的非周期蠕动。从上面的位移-时间曲线图中可以

看出，过阻尼状态比临界阻尼状态蠕动衰减得更慢。