累次极限

关于累次极限换序问题的条件及应用

马宗立;岳素芳

【摘要】极限换序问题是数学分析中的一个重要问题，贯穿于数学分析的始终，

本文结合函数列极限换序问题给出二元函数累次极限换序的相关条件，并给出一些

应用。%Exchangingorderoflimitisanimportantproblemthroughout

paper,theconditionandapplicationof

repeatedlimitaregivenbythelimitofbinaryfunctionquence.

【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2014(000)001

【总页数】3页(P87-89)

【关键词】极限;换序;累次极限

【作者】马宗立;岳素芳

【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133;安庆师范学

院数学与计算科学学院，安徽安庆246133

【正文语种】中文

【中图分类】O171

极限理论是微积分的基本工具，是刻画函数性质的重要手段，处理好极限问题，特

别是多元函数极限问题，是正确认知客观世界的关键。重极限与累次极限都是对多

元函数性质刻画的重要方法，本文结合函数列极限的换序问题着重讨论二元函数累

次极限换序的条件及一些应用。函数列极限的换序问题可以看成累次极限换序问题

的特例，由此可以相应得出累次极限换序的另一充分条件。

定理1（函数列极限的换序）设函数列｛fn｝在x0的某个空心邻域U0（x0）上

一致收敛于f（x），且对每个固定的n

关于函数极限次序交换的问题，有下述两个充分条件，其中定理3可以看作是定

理1的推广。

定理2设

y′，y″由（2）知，对固定的

在不等式

两端令x→x0，得到

同理，由（1）和（3），我们可得到

根据定理1，当判别极限换序问题时，先判定重极限存在会给问题带来很大方便。

当然，重极限存在不是累次极限可交换的必要条件，当重极限不存在时，要判别极

限换序问题就要另辟蹊径。

定理3设x0是数集A的聚点，y0是数集B的聚点，f定义在A×B上，若

（3）y→y0时，f（x，y）在A上一致收敛于F（x）。

则

证明不妨设x0，y0是有限数。

由条件（3）知，∃δ2＞0，∀y∈B，0＜｜y-y0｜＜δ2，∀x∈A，有

取定y′∈B，使0＜｜y′-y0｜＜min｛δ1，δ2｝。由条件（2）知，∃δ＞0，

∀x∈A，0＜｜x-x0｜＜δ时3

注当y0=+∞时，此定理为函数列情形的推广。

下面，利用累次极限次序交换的条件来证明数学分析中一些重要的结论。首先来看

关于混合偏导数之间的关系，我们减弱教材中的条件，下面以二元函数为例。

例1设fx，fy，fyx在点P0（x0，y0）的邻域U（P0；δ）存在，且fyx在点P0

连续，则fxy在P0存在且fxy（P0）=fyx（P0）。

由条件知φ在区间［y0，y0+Δy］（或［y0-Δy，y0］）上可导，且

则由微分中值定理可得

又由条件可知fy（x0，y0+θ1Δy）在区间［x0，x0+Δx］（或［x0+Δx，

x0］）上可导，由微分中值定理知

因为fyx在点P0连续，所以

又因为对固定的Δy≠0，有

存在，由定理2知

存在，即fxy（x0，y0）存在，且

含参量反常积分积分号与极限号交换的问题，可以归结为累次极限换序问题。

例2设y0是数集Y的聚点，f定义在［a，+∞）×Y上，且满足：

（1）∀A＞a，∀y∈Y，f关于x在［a，A］上可积；

（2）∀A＞a，f（x，y）在［a，A］上一致收敛于φ（x）（y→y0），其中φ

在［a，+∞）上有定义；

由条件（1）（2）知∀A＞a，有：

由条件（3）知，F（A，y）一致收敛到

因此，由定理3知，

即

数学分析教材中出现了多处极限次序交换问题，如累次极限换序、函数列极限换序、

含参量无穷积分的换序问题，这是一个重点，也是难点问题，学生学起来比较吃力，

容易记混他们的条件，其实这三处的极限换序问题都可以归为累次极限的换序问题。

本文从函数列极限的换序问题出发，推导出相应的累次极限换序的条件，并应用到

含参量无穷积分换序问题之中。这样不仅有助于学生增加对多元函数重极限的理解，

同时还有助于加深对一致收敛的认识。

【相关文献】

［1］华东师范大学数学系.数学分析（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［3］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.