有界集

d(x,y)

「「(i

20.d(x,y)=d(y,x)；

第二章点集拓扑

§2.1.n维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念

定义2.1.1.x=(

1^

,

n

),y=(1,…，n)・Rn

，定义d:RnRn>R为

d为Rn上的Euclid距离.

易证距离d满足：

10.d(x,y)_0,d(x,y)=0=x=y；

30.d(x,z)"(x,y)d(y,z),(x,y,zRn).

定义2.1.2.(距离空间，MetricalSpace)

X为非空集合，二元函数d:XX>R满足：

10.非负性：d(x,y)—0,d(x,y)=0二x=y；20.对称性：d(x,y)二d(y,x)；

30.三角不等式:d(x,z)乞d(x,y)d(y,z)(x,y,zR).

称d为X上的一个距离，(X,d)为距离空间或度量空间.如AX，称(A,d)为距离子空间.

x^x,，开球：B(x;r)=｛徉Xd(y,x)“｝；闭球：S(x;r)=｛疔Xd(y,X)Er｝.

开集：，球B(x;r)A，称x为A的一个内点.如A中每个点都是内点，则称A为开集.开球是开集；R2中

第一象限区域(不含坐标轴)是开集.

记(A,d)中开集全体为•，则有如下结论.

定理2.1.1.(1),X；⑵G，G2二(GG2)；(3)G.(「上)=G..

例：(1)离散空间.

、，人0,x=y

X式©，定义d(x,y)=」(x,y^X).称X为离散距离空间.

1,x*

(2)C[a,b]空间.

C[a,b]=｛x(t)|x(t)为[a,b]上连续函数｝.x=x(t),y=y(t)c[a,b]，定义d(x,y)=舉於x(t)-y(t)，

d是距离.

⑶有界函数空间B(X).

X叮，B(X)=｛x(t)x(t)为X上有界函数｝.定义d(x,y^supx(t)-y(t)，(X,严B(X)),d是距tuX

离.称B(X)为有界函数空间.

取X=N*，记B(X)=I~｛X=Gn)|Gn)有界｝.X=Gn),^Cn)，d(X,y)=SUPn」n.

n^N

定义2.1.3.设X八，•P(X)满足：

X

⑴©,XET；⑵T对于有限交运算圭寸闭：Gi,…，Gn5=nGi乏£；

「=1丿

/X

⑶飞对于任意并运算封闭：G讣T仏EA)nUEjk?u=A丿

称・为X上的一个拓扑(Topology),X上安装了拓扑•，(X,)是拓扑空间(TopologicalSpace).每个

G忘E称为开集.如A^X,令E

A

={GnAGEE},称(A,7

A)为(拓扑)子空间.

例：(1)度量空间(X,d)是拓扑空间，称为由距离d诱导的拓扑•.

⑵设1,={,X}，称(X,)是平凡拓扑空间.

⑶设X八，•二P(X)，称(X,.)是离散拓扑空间.

⑷X=N={0,1,2「,n,}，令.={AX(XA)为有限集}{}，则(X,)成为拓扑空间.

§.2.拓扑空间中的基本概念

设(X,•)是拓扑空间，AX.

定义：(1)若A是开集，称A为闭集.

—△

⑵A的闭包A二F(包含A的最小闭集).

AC=F,F闭

⑶若X，G，G是开集，称G为x的一个邻域.xA,邻域G,使xGA，称x为A的内点.A的内点全体称为A的核(内

部)，记A0为.(书R

5(3)错)

⑷AX,x•X,-x的邻域G,有GA=,GA=■，称x为A的边界点.A的边界点全体称为A

的边界，记为

：A.

显然，A0,A,(Ac)0互不相交，X=A:A(Ac)°.

⑸x，X,AX,-x的邻域G,有(G{x})A=•，称x为A的聚点.A的聚点全体称为A的导集，

记A.

⑹x(AA)，称x为A的孤立点.

⑺若A=A•，称A为完全集(完备集).

(8)若A。二:称A为疏朗集(无处稠密集).A不在任何开集中稠密.

⑶A,BX，若A二B，称A在B中稠密.它等价于：一；•0,BB(y；；).

产A

-ho

(10)F二-型集A:A二Fn,(Fn闭集)；

n=1

G-型集B:B=Gn,(Gn开集)•

n丄

(11)设B在A中稠密，B乞xo，称A为可分集•若X可分，称X为可分空间.

Hoc

(12)若A二En,(En疏朗)，称A为第一纲集；否则称A为第二纲集•

n丄

(13)设(X,d)为度量空间，AX•若存在球B(xo；r)，使AB(x°;r)，称A为有界集.

设A,B二X,；・0.若AB(X；；)，称B为A的一个；一网.若-；•0，A具有有限的；一网B，X出

称A为完全有界集.

注：可取有限的；-网BA.

如：球B(Xo；r)Rn是完全有界集.

(14)设｛Xn｝X，若xX，使limd(Xn,x)=0.称｛Xn｝收敛于X，记limx^x或

—说n_^-bc

x

n

_x(n_;').

极限是唯一的；收敛点列是有界集.

(15)设(X,d)为度量空间，AX.若A中任一点列都存在收敛于X中点的子列，称A为列紧集.

女口：欧氏空间Rn中的有界集是列紧集.

(16)设A-X，｛G■｝/三I、是开集族.若A--■G,，称｛G，h三食为A的一个开覆盖.若A的任一开覆盖

n

｛GK，存在有限子覆盖：AG

i，称A为紧集.若空间X紧，称X为紧空间.

i=1

(17)设(X,d)为度量空间，｛Xn｝x,-；7,N0,当m,n•N时，有d(xm,x.)「，则称｛人｝为

Cauchy序列(基本列).若X中每个基本列均收敛，称X是完备的度量空间.

如：收敛点列必是基本列.Rn

是完备的度量空间.

以下假设(X,•)是拓扑空间.

定理221.(闭集的性质)

(1),X是闭集；(2)有限个闭集之并是闭集；(3)任意多个闭集之交是闭集.

定理222.(1)A是A的最大开子集；A为开集二A二A°.

⑵A是包含A的最小闭集；A为闭集二A=A.

⑶A为闭集二AA.(4)A=AA.(5)A=A°.

(6)(X,d)为度量空间，则AX为闭集二A中取极限运算封闭.

A

⑺A为度量空间X中闭集=若d(x,A)二ynf

A

d(x,y)=0,则xA.

选证:(1)记{G』"A}为A的全体开子集所成之集族.则X^A°=使X^G产XEUG扎，

I底A)

于是A二G是开集，且是A的最大开子集.故A为开集=A°=A•

⑶若A为闭集，则A为开集，且AA=••由聚点定义，XA=X(A)c

，即A(A)c，AA•反之，设AA，则x・A=

X(A)c，故存在X的某个邻域G,满足(G{X}A)二.而x・Ac

，

GA「，即GAc

，说明x是A的内点，Ac是开集，A是闭集.

⑹设点列{Xn}A，Xn》X，X•若{x

n

}有无穷多项互异，则xA；否则xA•从而总有xA•由

⑵得证.

例1.E=[0,0.5)Z,则E—(0,0.5);ET0,0.5]；E=EE=[0,0.5]Z.

由于EE不成立，E不是闭集.

例2.X=R2，A={(x,y)x^R,y^0}.贝UA、A;A°={(x,y)y>0,XR}.

A二AA^A；{(x,0)xR}.

例3.证明AR的导集A■是闭集.

证：需要证(AJc

是开集.

一X•(A)c,X不是A的聚点，存在X的邻域U(x

r

),U(X「)中不存在异于X的A中的点，故U(x^)中的每个点

均不是A的聚点•于是U(x「)(A)c

，(A)c是开集.

定理2.2.3.A=X=-非空开集GX，有AG-.

证：设A=X.若开集G满足AG=.贝UAGc,(Gc为闭)•由Th2.2.2.(2)得AGc

，于是，

G(A)c=Xc二.

反之，由于(A)cA=•且(A)c

为开集，由条件，(A)c「•，得A=X.

定理2.2.4.(疏朗集的三种等价描述)

(1)(A)°二；⑵-非空开集G二G(A)c=；

(3)-非空开集G,必含有非空开子集GoG，满足AG^.

证：(1)=(2)•若开集G满足G(A)^•，则GA，于是G(A)^,G=.⑵成立.

(2)=(3).-非空开集G,令G°=G(A)c,G0为G的非空开子集，且AG°AA=：

⑶-(1).反证法•假设(A)°八，由⑶，存在非空开集G。(A)o

，满足AG^，即A(G°)c(闭

集)，AGo，G0(A)c(开集)，从而G°=(A)cG。」(G0A).矛盾.(Rs错)

定理2.2.5.在度量空间中，完全有界集是有界的可分集.

固定Xo

A有界.

对于；k

1

k，存在有限多个以A中点x（k）为中心的球Bx（

k）;

1A

k(22")，使A

n

k

UBx(k);j=1I

k

；k=1,2,3「｝，贝UD是A

的至多可数子集.一；•0,

「：；.于是,

k

(k).

1

没有有限的；0

n

证：设AX为完全有界集，存在X中有限多个球｛B（x<；1）｝?，使A二、B（Xk；1）.

k二

n

记r=1'd(Xk,Xo).-xA,k,使xB(Xk；1),即d(x,xQ：：1

k丄

d(x,Xo),(x,Xk)d(Xk,x°)：：r，即AB(x

o；r)

，

1、n

k

；kjQ"XD

B（X

；J，D在A中稠密，A为可分集.

定理2.26在度量空间中，列紧集是完全有界集.

证：反证法.假设AX是列紧集，但A不是完全有界集，0,A

网.一X

d（Xi,X3）一；o,（i=1,2）.继续下去，得到｛Xn｝A，满足：d（Xi,xj—；。，（^j）.显然，点列｛X?｝

无

收敛子列，A非列紧.

定理227.在度量空间中，A为紧集二A为列紧的闭集.

证：只需证明：A为紧集=A中每个点列均有收敛于A中点的子列.

“n”.反证法.假设存在点列｛X?｝UA无收敛于A中点的子列.则Wy^A,mgnO及Ny^o,当n>Ny时，有Xn一B（y；

y）.现｛B（y;、；y）｝y.A为紧集A的一个开覆盖，存在｛B（yk「y

k）｝鷺满足

m

ABSyj.

k勻

m

令N=maxNyk，则当n・N时，BM；、）.从而x^A.矛盾.

1兰k兰m

k

“=”.设A为列紧闭集，则A为完全有界集.要证A是紧集，只要证明，对于A的任一开覆盖｛G.｝.：,,;o,-xk^

A,使B（x;）G..（因为A具有有限的一网）.

采用反证法.假设不然，存在A的一个开覆盖｛G.｝..上，满足一lN,xjA,一…上，有

1

B（x

n

；-）G*.

n

对｛Xn｝A，因A为列紧闭集，存在子列Xnk>X^AG.0Lroo，使

话A

1

B(Xo；r°)G，o(开集).而当k充分大时，有B(Xn；)B(x°;r°).矛盾.

定理228.设(X,d)是度量空间，则以下三条等价：

(1)X是完备的度量空间；

⑵非空闭集列FnUX满足Fn+iuFn,(n=1,2,3「)，呵d(Fn)=limsupd(x,y)=0，则m唯

ni：：n

》•：：x,yEFn

-ho

—的Xo•Fn.

n丄

(3)X中的完全有界集是列紧集.

证：(1)=(2)•取XnFn(n二1,2,3,).当pN时，XnpFnpFn，d(Xnp,Xn)"(Fn)》0，

-bo

(n>：：).｛Xn｝为完备空间X中的基本列.记Xn'Xo,(n'：：)，Fn闭，Xo・的唯一

n=1

性显然.

(2)=(3).设AX为完全有界集，点列｛Xn｝A.由完全有界集的定义，-N,有限个以12k为半径

的闭球所成之集族Fk二｛sm｝m；1覆盖A.于是，存在F1含有｛Xn｝中的无限多项；又存在S(2rF2，使得s(1)S⑵

含有｛Xn｝中的无限多项；.一般地，一匕N,S(k'Fk，使得

也

k

Fk=S(J)

含有｛Xn｝中的无限多项.由此知，存在｛Xn｝的子列｛Xn

k｝满足Xi/Fk，(k=1,2,3，…).

j=1

1妆3

非空集列｛Fk｝满足Fk-1Fk，且d(FJ=->0.由⑵，存在Xo•Fk，且d(xn

k,X。)上d(Fk)

kk=1

1

o，即X

nk

>Xo，A为列紧集.

k

⑶二(1).设｛Xn｝为X中基本列，记A=｛XnN｝.V>o,mN>o,当n^N时，d(Xn,XN)*.从

N

而，AB(Xk；)，A为完全有界集=A为列紧集.故｛xn｝有收敛子列Xnk'Xo(k—：：).显kT

然

x

n'xo(n—).X为完备空间.

定理2.2.9.设(X,d)是完备的度量空间，则子空间MX是完备的uM是闭集.

定理2.2.10.(Baire纲定理)完备的度量空间X必是第二纲集.

-bo

证：采用反证法.假设X是第一纲集，则X二En,En为疏朗集.由Th2.2.4.(3)知：

n=1

对于E1,直径小于1的非空闭球S1,使S1;对于E2,直径小于、的非空闭球S2SoS1，

使S2E2「；……；对于En1,直径小于丄的非空闭球Sn・1S：Sn,使5“En"」.

n+1

得非空闭球套｛Sn｝/.X完备，Xo，Sn.这样，Xo"En(n・N),Xo“x.矛盾.

n=1

定理2.2.11.(完备化定理)对于度量空间(X,d)，必存在一个完备的度量空间&,(~)，使得(X,d)等距于

(X,d)的一个稠密子空间.在等距意义下，空间(丈，d)是唯一的.称空间(丈，~)为(X,d)的完备化空间.

(证明的思想方法与Cantor实数理论中，把无理数加到有理数域中的方法相同).

等距映射：(X,dj，(Y,d2)是距离空间，存在一一映射:X满足d/x,y)=d2(「(x),「(y))

(-x,yX)，称:为等距映射，空间X与丫等距.

例：取X二Rn,d为欧氏距离.A=B(x°;r)(开球，r0).则A为完全有界集；X完备，A也是列紧集.作为距离子空间，

A不完备，其完备化距离空间为A=S(X

0

；r)(闭球).

§.3.连续映射

定义2.3.1.(连续映射)

(A)(X,dj与(Y,d2)是距离空间，映射f:X、丫X.

Vz>0^>>0,当B(x°;6)时，f(x)EB(f(x°);硏，

称f在x0处连续.若f在X的每一点连续，称f是X到Y的连续映射.XY

(B)(X,,)与(Y,边)是拓扑空间，映射f:X》Y,X.-f(x))的邻域V，・2,X。的邻域

U1，使f(U)V,(即UfJ(V))，称f为在xo处连续.若f在X的每一点连续，称f是X到Y的连续映射.

例1.(1)距离空间X-(0,1),Y=R,di,d2为欧氏距离.贝Uy=sinx是(X,dJ》(Y,d?)的连续映射(函

数).

⑵取X=(0,1),^{,X}为X中离散拓扑；丫-R,2为丫中欧氏拓扑.则y=sinx不是X>Y

的连续映射.

因为，PX0EX，对于丫中f(X。)的邻域V=(1f(乞)，+°°)匸丫，不存在X。的邻域UUX，使f(u)uv.

定理2.3.1.设X，Y是拓扑空间，f：X>Y.

(A)f连续=f反射开集：一开集VY=f_1(V)X是开集；

(B)f连续二f反射闭集：一闭集FY-f_1(F)X是闭集.

证：(A)仝”.*f~(V),即f(x)€V.由f在x处连续，存在x的邻域UuX，使

f(U)V.即Uf_1(V).X是内点，f'(V)是开集.

A

“=”.若f反射开集，-x•X及f(x)的邻域VY，贝UU二f'(V)X为x的邻域，且f(U)=f[fX(V)]V，故f(x)在X

处连续.

-1c-1c

(B)注意到f(F)=[f(F)]，证(B).

定理2.3.2.设X，Y是度量空间，映射f:X、”.则f在X0处连续=-{X

n}X,X^X0

(1)f(x)二g(x),xE；

乞訂d(Xi,X。).

推论.设(X,d)是完备的距离空间，映射T:X-

X•若Tn0是X上的压缩映射，则

T有唯一的不动点.

证：Tn0有唯一的不动点X:Tn

0X

由Tn

°(TX)=T(Tn

°X)=TX,的不动

点，故T的不动点唯一.

压缩映射原理的应用

例1.常微分方程解的存在唯一性.

故TX也是Tn0的不动点.=TX二X.由于T的不动点也是Tn0

考虑初值问题:

齐f(x，t)

X(t°)=Xo,其中f(x,t)连续，关于x满足Lipschite条件:

定理2.3.3.(连续函数的延拓)

设E是度量空间X中的闭集，9:E>R是连续函数，则存在连续函数f:X>R满足:

⑵inff(x)=infg(x),supf(x)二supg(x).

xuXx^ExEXX^E

(证略)

定理2.3.4.(压缩映射原理，Banach不动点定理)

设(X,d)是完备的距离空间，映射T:X—X是压缩映射，即0—：：：1,使d(Tx,Ty)空二d(x,y)，

-x,y•X.贝UT有唯一的不动点XX:TX二X.

证：取初值X。•X,迭代格式：X1二Tx°,X2二TX1,…，Xn^TXn,

下证｛Xn｝是Cauchy序列:

2

d(Xn1,Xn)=d(TXn,TXnJ"d(Xn,X.」)「d(TX“jTX.』乞二d(Xn_1,Xn^)-

d(xnp,xn)空d(xnp,Xnp_1)d(xnp-1,Xnp_2)d(xn1,Xn)

乞—WTd(Xi,X0)=q^d(Xi,X0r—d(Xi,X0)，

1一H1-u

limd(Xnp,Xn^0.而X完备，X,使Xn>X.T连续，故

n—.

唯一性：若y二Ty.由于d(x,y)二d(Tx,Ty)“d(x,y)二d(x,y)=o

_0n

误差估计：d(Xn,x)d(Tx°,x°).

1一廿

f(Xi,t)-f(X2,t)-k

-x

2

,(k>0).则方程存在唯一解x=x(t).

证：方程等价于x(t)=X。•〔x(J•d.

to

取0,使k：1.定义T:C[t°-，t°]—C[t°--,t°]为(Tx)(t)二x°J'x(),5

d(TXi,Tx2)兰maxjf[Xi⑴八]-f[x2(T,叮

|t-to二to

maxhokxefgdt

max

%(i)

_

t

o

乞kd(x

1,x2)

（k

T在C[t。to，]内具有唯一的不动点例2.线性

方程组解的存在唯一性.

x二

x(t)

重复利用定理将解延拓到实数域R上.

线性方程组:

X2_£a2jXj=b2,

j-满足

=ot<

则它具有唯一解x=（Xi厂，Xn）.

证：在Rn

中定义距离：di（x,y）=maxx^y、

,X二(Xi,,Xn),

y=(yi,,yn)Rn，则(Rn,di)完

备.作映射T:Rn—Rn为乂=（知…，Xn）—

di(Tx,Ty)二

n

，迟anjXj+bn.

j=i

nn一n

max瓦a、j(Xj--yj)兰maxZa、iXj-y

兰ImaxZa、

i0

jT

i.

__j=i

1JJJJ丁兰©j=i1J

1

di(x,y)

二：di(x,y).

T是压缩的，有唯一不动点X二（Xi「，

t[to-J,to、]

验证T是压缩映射:

n

XiaijXj=a,

jd

n

n

Xn-aanjXj二bn,

j4

§.4.R中的开集及完全集的构造

开区间（a,b）是R中开集（-：：乞a：：：b乞，：）.任意多个开区间之并是开集.另一方面，设开集GR.则

vx^Gm「=o,使（x—r,x+r）uG.

记a=inf{a|ax,且（x,P）UG}.

开区间（a,b）具有性质：（a,b）G,a^G,b^G.称（a,b）为开集G的一个构成区间.于是，G中每一点必在G的一

个构成区间.此外，G的任何两个不同的构成区间必不相交.而R中两两不交的开区间至多可列个.

-bo

定理2.4.1.（开集构造定理）每个非空开集GR可表示为至多可列个两两不交的开区间之并：G二（an,bn）.

根据完全集的定义（Pi5）及Th2.2.3（3）可知，完全集（A）即为无孤立点的闭集.故有如下定理.

定理2.4.2.（R中完全集的构造）集AR是完全集二A是两两不交并且无公共端点的开区间之并.

迟aijXj+bi,…

j“

Cantor集P.[-

构造过程：0

1

-

3

r

L

2

2

r

r2-3

第一步：将[0,1]三等分，挖去J

(1

3，留下闭区间1

0

1

2

第二步：对I。，12分别三等分，挖去中间的开区间J01记G

2

=J

01

J

21，留下4

个闭区间

0，l，

_l,3，l,

9，_9,1.

第三步：对留下的

4个闭区间施行同样过程.将挖去的

4个开区间之并记为G

3.

如此继续下去.记

UGnU(",0)U(1,:),P二Gc

.(书P25错)

In-丿

据Th2.2.4及Th2.4.2,Cantor集P是疏朗集、完全集.若采用三进制无穷小数表示[0,

4^0

1]中数，则UGnUx

n-：

1

中至少有一位是1，亦即：P=x可表示为由0或2作为位数过构成的无穷小数.由Th1.3.4,

,2}

P

二

第二章习题P.6.

16.设｛Kn｝是度量空间X中非空单调减紧集序列，证明：心1•.特别地，若d(Kn)>0，则

Kn为

n

二

1

单点集.

4^0

证：反证法•假设Kn—，即QX

1-he

仃K

lvn

-Ho

K：.K1=K2二K3

二!

…

，Kc

K

；

K1紧=K1K；

二KC

n

k

K

n

n

k

K

n

n

k

K1

匸K

n

n

k

K：

n

k

矛盾.

若n^md(Kn)=0,

x,yKn

nm

d(x,y)"(Kn)>0

(n>-).

33.证明：l

=‘X={Xn}supxn

•n

是不可分的距离空间.

证明：距离：x二｛X：｝，y=｛yn｝，d(x,y)=sypXn-yn.假设

列的稠密子集.对于；-1，存在可列多个球｛B(Xn；)｝

1，使

4

Q0l

Q0l

可分,

据P5(11),(9)，它有至多可

B(Xn；).

n=1

■bo=如

记A={x={Xn}Xn€{0,1}},则A〜口{0,1},~A仝.但AuUB(Xn3),存在球B(Xn0；叮,

n-1n=1

1至少包含A中不同的两点x,yA.这样，d(x,y)二仁dB(Xn0;；)空2—㊁,矛盾.空间丨

‘

不可分.