cosx积分

关于课上讨论的补充（其实其他讨论也均有扩展，这里不一一列出）有些技巧

证明需要用到复变函数分析理论所以我这里只介绍解题技巧。

若xxRcos,sin

是

)cos(sinxx或

的奇函数，即

⑴xxRxxRcos,sincos,sin

或xxRxxRcos,sincos,sin

则设

即可有理化或)sin(costxtx

。

⑵对形如的积分xdxxxRcoscos,sin

，作代换

.sintx

例、1.xdxx56cossin

2.

xx

xdx

xx

dx

233cossin

cos

cossin

3.dxxxxdxxxcoscossincoscossin2434

对形如

xdxxxRsinsin,cos2的积分，作代换

txcos

dtttRxdxxxR221,sinsin,cos

例、dx

x

x

4

5

cos

sin

3.若xxRxxRcos,sincos,sin

，则设

ttgx

，即可有理化。

对形如

dxxxR22cos,sin

的积分作代换

ttgx

2

2

2

2

22

2

2

11cossin

sin

sin

t

t

xtg

xtg

xx

x

x













222

2

2

1

1

cossin

cos

cos

txx

x

x









21t

dt

dx





例.











xtgx

dx

xx

dx

xx

dx

22222421cossin2coscossin

对于形如dxtgxR

的积分，作代换

ttgx









21t

dt

tRdxtgxR











21

21

1

21

t

dt

ttgx

dx

ttgx

引用三角恒等式求积

当NmnxxxxRmn,cossincos,sin22时，

，可用三角公式：

xx2cos1

2

1

sin2xx2cos1

2

1

cos2xxx2sin

2

1

cossin

例7．例8

cxxdxxdxxcos

4

1

2sin

2

1

cossin

4．被积函数是形如xxmncossin的三角函数，分两种情况：

（1）如果n与m至少有一个是奇数，那么n是奇数时设xtcos；m是奇数时设xtsin。

例13．求dx

x

x

cos

tan3

解：



xd

x

x

xd

x

x

dx

x

x

dx

x

x

cos

cos

cos1

cos

cos

sin

cos

sin

cos

tan

2

7

2

7

2

7

2233

（2）如果n与m都是偶数，则通过三角公式

2

2cos1

sin2

x

x



，

2

2cos1

cos2

x

x



，xxx2sin

2

1

cossin

将被积函数降幂、化简。

例14．求xdxx42cossin

解：



dxxxxdxxxxdxx2cos2cos2cos1

8

1

2cos12cos1

8

1

cossin32

2

42



















dxx

x

x2cos

2

4cos1

2cos1

8

1

3

5．如果被积函数是形如nxmxsinsin、nxmxcossin、nxmxcoscos的函数，那么就用积

化和差公式将被积函数化简。



1

sinsincos()cos()

2

mxnxmnxmnx



1

sincossin()sin()

2

mxnxmnxmnx



1

coscoscos()cos()

2

mxnxmnxmnx

例15．求dxxx32cos15cos

上面介绍的积分都是能积出来的，但并不是所有的积分都能积出来的。如

dx

x

xsin

，dx

x

ex

，dx

xln

1

，dxex2

这些不定积分按道理应该有结果，但他们都是“积不出来”的。主要原因他们是不能用初等

函数来表示。

（用上面方法计算的不定积分的结果都是初等函数。）