两条直线的夹角

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平面上两直线的夹角求法解析

一、容概述

在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及

到．但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：

，平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方

向向量夹角的余弦的应用来进展考察．

二、根本概念

①平面上直线方程的两种常用表示：

直线的点斜式方程：；

直线的一般式方程：不全为．

②平面上两条相交直线夹角的概念：

平面上两条相交直线，所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角．

③平面上两条直线所成角的围：

如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为；

如果两条直线垂直，规定它们的夹角为；

如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角围为．

④平面上直线的方向向量：

基线与平面上一条直线平行或重合的向量，叫做直线的方向向量；

直线点斜式方程的一个方向向量为．

⑤平面上直线的法向量：

基线与平面上一直线垂直的向量，叫做直线的法向量；

直线的一般式方程不全为的一个法向量为．

三、理论推导

1.倾斜角，根据两角差的正切公式求两直线夹角.

证明：如以下图所示，在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，直线的倾

斜角为．

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假设为直线，所成的一角，显然，则，由公式得：

又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：

即，平面上直线与直线的夹角．

2.直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.

证明：如以下图所示，在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为

，一法向量；直线的一般式方程为，一法

向量．

假设为直线，所成的一角，显然〔左图〕或〔右图〕

由法向量夹角的余弦得：

又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：

即，平面上直线与直线的夹角．

3.直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角.

证明：如以下图所示，在平面直角坐标系中，直线的点斜式方程为，

一方向向量；直线的点斜式方程为，一方向向量．

假设为直线，所成的角，显然〔左图〕或〔右图〕，

由方向向量夹角的余弦得：

又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：

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即，平面上直线与直线的夹角．

注意：可以求出直线一般式方程的*个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的*个法向

量．但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别：两

直线夹角的围是，即的三角函数值一定是非负的．

四、例题解析

对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该局部难点是如何根

据题意选取恰当的理论和方法来解决问题．下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的．

例1直线，的斜率是二次方程的根，试求直线与的夹角．

解析：设直线，的斜率分别为，，解二次方程得，

，

将代入公式得，．

所以直线与的夹角．

点评：此题结合二次方程求解问题考察第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理

解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法．

例2求直线与直线的夹角．

解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法．

直线一法向量；直线一法向量．

将代入公式得，

．

所以直线与的夹角．

点评：此题主要考察对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量求解，鼓励一

题多解．

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例3光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线线所在

直线的方程．

解析：联立得反射点的坐标为，由题意知直线过该点，则

设的方程为〔其中为直线的法向量，不同时为零〕．

由物理学中的反射原理可知：直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即：

，解得或(舍去，否则与重合)．

所以，直线的方程为．

点评：此题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角的直线方程；其次，

在求直线方程时,往往采用待定系数法——先设出所求直线的方程，再利用直线的夹角求解

方法列式求解．

五、沉思提高

直线过点，且与直线的夹角为，求直线方

程．