已知两点求斜率

教案——直线方程的概念与直

线的斜率

2

题目§2．2．1直线方程的概念与直线的斜率

年级高一上课地点理化楼A210

课型新授课教具多媒体

教学方

法

讲解法

教

学

目

标

知识技能：

（1）理解直线的方程和方程的直线的概念，以及方程的解与其图像

上的点存在一一对应的关系。

（2）理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念，会根据两点坐标求直线

的斜率。。

（3）掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系。

过程与方法：

学生通过学习直线方程的概念，提高观察、分析、比较、总结、概括的

数学能力,在学习求直线的斜率的过程中，体会数形结合的思想，培养抽

象思维能力。

情感，态度与价值观：

通过学习用直线方程求直线斜率的方法，将几何问题用代数方法解决，

运用数形结合的思想，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识

和勇于探索的良好品质。

重点直线方程的概念、直线斜率和直线倾斜角的概念，求直线斜率的方法。

难点理解直线方程的概念，掌握斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角

的相互关系。

3

教学过程

教学环节教学内容设计意图

复

习

引

入

(6min)

师：我们已经学习过一元一次函数y=kx+b（k≠0），知道

所有一元一次函数的图像是一条直线。

例如函数y=2x+1的图像是通过点（0,1）和点（1,3）的一

条直线l。

直线l是函数y=2x+1的图像，所表达的意义是：

如果点P在l上，则它的坐标x，y满足关系y=2x+1，（*）

反之，如果点P的坐标（x，y）满足关系式（*）式，则点

P一定在l上。

于是，函数式y=2x+1，可作为描述直线l的特征性质，因

此l=xy|y2x1（，）。

我们再看看k=0的特殊情况。

例如方程y=2，无论x取何值，y始终等于2，虽然它已不

是一次函数，但方程y=2（常值函数）的图像是一条通过

点（0,2）且平行于x轴的直线

师：一元函数的解析式，仅是方程的特例，在函数关系中，

我们已经指出，哪一个字母是自变量，哪一个字母是因变

量。但方程表达的是，两个变量之间的某种关系。他们之

间并不一定存在函数关系。例如方程22x+y=1所表达的变

量x与y之间的关系，在实数范围内，就不是函数关系。

由于函数y=kx+b（k≠0）或y=b都是二元一次方程，且图

像都为一条直线。因此，我们可以说，方程y=kx+b的解与

其图像上的点存在一一对应关系。

下面我们就来具体描述这种方程的解和图像上的点一一对

应的关系，并给出像这种直线方程的概念。

通过复习一

元一次函数

的图像，举

具体的一次

函数的例

子，描述图

像的意义，

引出图像上

的点和满足

该函数关系

的方程的解

存在一一对

应的关系，

讲

授

新

课

师:那么我们如何来刻画这种一一对应的关系呢？

1.直线方程的概念

师：如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且

这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程

叫做这条直线的方程，这条直线叫做方程的直线。

由于方程y=kx+b的图像是一条直线，因此以后常说直线

y=kx+b。

师：那么怎样求直线的k值呢？

生：取两个点。

4

教学过程

教学环节教学内容设计意图

讲

授

新

课

2.直线的斜率

师：我们知道直线y=kx+b被其上的任意两个不同的点所唯

一确定（如图）。

如果点A,点B是这条直线上任意两点，其

中

12

xx，则由这两点的坐标可以计算出k的值。

由于

1

x、

1

y和

2

x、

2

y是直线方程的两组

解，方程

两式相减，得：

因此21

12

21

yy

kxx

xx







（）（*）

由直线上两点的坐标，求这条直线的斜率k与这两点在直

线上的顺序无关，于是12

12

yy

k

xx







。

如果令

2121

,,xxxyyy则x表示变量

通过直线上

任意两点，

求出直线的

斜率，进而

讨论斜率存

在的条件。

11

ykxb

22

ykxb

122121

()yykxkxkxx

11

(,)xy

22

(,)xy

5

x的改变量，

y

表示相应的y的改变量。于是

(0)

y

kx

x







。

通常，我们把直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率。

教学过程

教学环节教学内容设计意图

6

讲

授

新

课

师：请同学思考一下，斜率在任何情况下都存在么？

生：不是。

师：那在什么情况下不存在斜率呢？

生：垂直于x轴的直线不存在斜率。

师：同学们想一想为什么垂直于x轴的直线不存在斜率

呢？

生：垂直于x轴的直线x为定值，x=0，又因为

(0)

y

kx

x







，所以斜率不存在。

师：那么我们根据以上的求解过程，总结一下根据两点求

直线斜率的方法：

3.根据两点求直线斜率的方法：

（1）已知两点的坐标：

（2）计算

2121

,,xxxyyy

（3）如果

x

=0，则斜率不存在；

（4）如果

0x，计算y

k

x







。

4.直线的倾斜角

师：我们知道方程y=kx+b（k≠0）的图像是通过点（0，b）

且斜率为k的直线。对一次函数所确定的直线，它的斜率

等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值。直观上

可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的

倾斜程度。

师：那么我们可以用什么来描述直线的倾斜程度呢？

生：倾斜角。

师：对，我们可以用倾斜角来描述直线相对于x轴的倾斜

程度，下面给出倾斜角的概念。

x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜

角。我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度

角。

5.斜率和倾斜角的关系：

由斜率k的定义可知：

k=0时，直线平行于x轴或与x轴重合；

k>0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也

随着增大；

k<0时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也

随着增大。

垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°。

关于直线的斜率与倾斜角之间的具体关系，我们将在数学4

中再进行讨论。

通过求解过

程，总结出

根据两点求

直线斜率的

方法。

11

(,)xy

22

(,)xy

7

教学过程

教学环节教学内容设计意图

讲

授

新

课

例1：(20)(53)kAB求经过，、，两点的直线斜率。

解：我们知道求直线的斜率需要用

(0)

y

kx

x







题中已知两点，

:

例2：3680xy画出方程的图像.

解：

,

14

23

41

=0;2.

33

41

(0),(2).

33

,

y

yx

xyxy

AB

AB





已知方程解出得

这是一次函数的表达式，它的图像是一条直线。

当时，当时，

在坐标平面内作点，，

作直线即为所求方程的图像。

通过例题，

使同学理解

并掌握根据

两点求直线

斜率的方

法。

1212

2,5,0,3;

5(2)3,

303;

3

1.

3

xxyy

x

y

y

k

x













8

9

巩

固

练

习

(5min)

练习：（10min）

1、把满足下列条件的直线方程写成一次函数的形式：

（1）斜率k=5，且过点（0，-3）；

（2）斜率k=-3，且过点（3，-1）。（提示用待定系数法）

解:

(1)解：

师：设一次函数解析式y=kx+b，k=5，过点（0，-3），代

入

得-3=b，所以一次函数的解析式为y=5x-3

（3）解：

师：设一次函数解析式y=kx+b，k=-3，过点（3，-1），代

入得-1=-3*3+b，b=8，所以一次函数的解析式为y=-3x+8

2、经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在，求其斜

率：

（1）（1，-1），（-3,2）；（2）（1，-2），（5，-2）；

（3）（3,4），（-2，-5）；（4）（3,0），（3，3）

解：

师：如何判断直线在斜率存不存在啊？

生：0x，斜率存在。

师:

（1）3140x，所以斜率存在。根据

(0)

y

kx

x







求直线斜率。

（2）5140x，所以斜率存在。根据

(0)

y

kx

x







求直线斜率。

通过练习，

强化学生对

直线斜率概

念的理解，

和求斜率方

法的应用，

做到理论联

系实际。

1212

1,3,1,2;

314,

2(1)3;

33

.

44

xxyy

x

y

y

k

x













1212

1,5,2,2;

514,

2(2)0;

0

0.

4

xxyy

x

y

y

k

x













10

（3）

2350x

所以斜率存在。根据

(0)

y

kx

x







求直线斜率。

(4)

330x

,所以斜率不存在。

本

课

总

结

(2min)

引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法。

1.本节课所学的主要内容

（1）直线方程的概念

（2）直线的斜率

（3）根据两点求直线斜率的方法：

（4）直线的倾斜角

（5）斜率和倾斜角的关系：

2.本节课所用的数学思想方法

数形结合

布

置

作

业

(1min)

82页练习B1、2、3

注意体会求直线斜率的方法。

教

学

后

记

1212

3,2,4,5;

235,

549;

99

.

55

xxyy

x

y

y

k

x













11

板书设计

一．黑板布局

版左版中版右

二．板书内容

版左

1.直线方程的概念

如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的店的坐标都是这

个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做方程的直线。

2.直线的斜率——k（垂直于x轴的直线不存在斜率）

A,B是直线y=kx+b上任意两点，其中

12

xx，

两式相减，得：

21

21

12

yy

k

xx

xx







（）

(0)

y

x

x









。

11

(,)xy

22

(,)xy

11

ykxb

22

ykxb

122121

()yykxkxkxx

12

版中

3.根据两点求直线斜率的方法：

（1）已知两点的坐标：（2）计算

2121

,,xxxyyy

（3）如果

x

=0，则斜率不存在；（4）如果

0x，计算y

k

x







。

4.直线的倾斜角：x轴正向与直线向上的方向所成的角。

零度角：与x轴平行或重合的直线的倾斜角。

5.斜率和倾斜角的关系：

k=0时，零度角；

k>0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大；

k<0时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大。

垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°，k不存在。

版右：

一、例题：

例1：(20)(53)kAB求经过，、，两点的直线斜率。

解：

:

例2：3680xy画出方程的图像.

解：

14

,

23

41

=0;2.

33

41

(0),(2).,

33

yyx

xyxy

ABAB





已知方程解出得

这是一次函数的表达式，它的图像是一条直线。

当时，当时，

在坐标平面内作点，，作直线即为所求方程的图像。

1212

2,5,0,3;

5(2)3,

303;

3

1.

3

xxyy

x

y

y

k

x













11

(,)xy

22

(,)xy

13