泊松分布例题

关于泊松分布及其应用

论文提要：

作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重

要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变

量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。

在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及

自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例

如线性的、指数的、三角函数的等等。同样,在为观察现象构造确定

性模型时,某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有

事件出现的频数的概率分布的数学模型,它具有很多性质。为此本文

讲述了泊松分布的一些性质,并讨论了这些性质在实际生活中的重

要作用。

摘要泊松分布做为概率论中的一种重要分布,在管理科学、运筹

学及自然科学的某些实际问题中都有着广泛的应用。本文对泊松分布

产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,分析了泊松分布在生物学

研究中的应用。

关键词泊松过程泊松分布应用

摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数

学模型,它具有很多性质。研究了泊松分布的一些性质,并讨论了这

些性质在实际生活中的重要作用。

关键词：泊松分布;定义；定理；应用；例题；指数失效律;数学期

望;方差

一、泊松分布的概念：

定义1设随机变量

X

的可能取值为,,2,1,0且

0,,2,1,0,

!

ke

k

x

kXP

k

为常数。

则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X～D(λ)。

定义2设ε是任意一个随机变量,称)t(-et)(it是ε的特

征函数。

主要结论：

定理1如果X是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E(X)=λ且

D(X)=λ。

证明设X是一随机变量,若]X)E(-X[E{2存在,则称它为X的方差,

记作D(X),即]X)E(-X[E{X)D(2。设X服从泊松分布D(X),即有:

0,,,2,10k,

!

k}XP{



e

k

k

则





























ee

k

eke

k

XE

k

k

k

k

1

1

0

!1!

从而



































2

12

2

0

22

!1!2!

e

k

e

k

e

k

kXE

k

k

k

k

k

k

故-X)E(-)XE(X)D(2222

定理2设随机变量),,21n(x

n

服从二项分布,其分布律为

nkppCkxPkn

n

k

n

k

nn

,,2,1,0,)1(。

又设0

n

np是常数,则







e

k

kxP

k

n

n!

lim。

证明由

n

np得:





n

n

kn

k

knk

n

nn

k

nnk

nnk

knnn

kxP















































































































1

1

1

2

1

1

11

!

1

!

11





显然,当k=0时,故-

n

ek}xP{。当k≥1且k→∞时,有





































































e

nn

k

nn

n

n

kn

1,1

1

1

2

1

1

11

从而



e

k

kxP

k

n1

，故







e

k

kxP

k

n

n!

lim。

定理3设p是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:

dtex

p

Px

t























2

2

2

1

lim







证明已知的特征函数为

1iteet



,故的特征函

数为:

1





















it

ettee

t

tg

对任意的t,有

























1

!2

1

2tit

e

it

。

于是







































2

1

2

1

22tt

tie

it

。

从而对任意的点列

n

,有2

2

lim

t

etg

n

n











。

但是2

2t

e是N(0,1)分布的特征函数,由于分布函数列

xF

n

弱收敛于

分布函数F(x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn(t)}收敛于F(x)

的特征函数Φ(t)。所以dtexP

x

t

n

nn

n

































2

2

2

1

lim







成立;又因为

n

是可以任意选取的,这就意味着dtex

p

Px

t























2

2

2

1

lim







成立。

二、计数过程为广义的泊松过程

1.计数过程

设)}0,[Tt,t)({NX

T

为一随机过程,如果t)(N是取非负整数

值的随机变量,且满足s

T



为计数过程。

将增量tt0,t),t(N)t(N-t)(N

000

,它表示时间间隔t),t[

0

内出现

的质点数。“在t),t[

0

内出现k个质点”,即k}t),t({N

0

是一随机事件,

其概率记为20,1,k,k}t),t(P{Nt),t(P

00K

总之,对某种随机事件的

来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到

的就是简单计数过程。

2.泊松过程

计数过程0}t,t)({N称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:

(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;

(2)0(0)N;

(3)对于充分小的,t)(Ot1}t)tt,(P{Nt)tt,(P

1

其中常数

0,称为过程)(tN的强度。

(4)对于充分小的Δt

tjtttNPtttP

jj

j











22

,),(

亦即对于充分小的t,在ttt,或2个以上质点的概率与出现一个质

点的概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分

布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔

内出现质点数目的计数。

三、泊松分布及泊松分布增量

1.泊松分布产生的一般条件

在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某

种事件,我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事

件流。若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊

松事件流(泊松流)。

例如一放射性源放射出的α粒子数;某电话交换台收到的电话呼叫数;

到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断

头数;等这些事件都可以看作泊松流。

2.泊松分布及泊松分布增量的概率

(1)泊松分布的概率:

对泊松流,在任意时间间隔(0,t)内,事件出现的次数服从参数为λ

t的泊松分布,λ称为泊松流的强度。

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,⋯,且概率分布为:

21,0,k,

!

ek)(XP

k

-

k



其中0

是常数,则称X服从参数为λ的泊

松分布,记作X～P(λ)。

(2)泊过分布增量的概率:

21,0,k,tt,e

!

])t-t([

}kt),t({NPt),t(P

0

)t-t(-

k

0

00k

0



k

由上式易知增量)t(N-t)(Nt),t(N

00

的概率分布是参数=)t-t(

0

的

泊松分布,且只与时间

0

tt有关。

3.泊松分布的期望和方差：

由泊松分布知)t-t(])t(N-t)([ND])t(N-t)(E[N

000



特别地,令0

0

t,由于假设N(0)=0,故可推知泊松过程的均值函数和

方差函数分别为：

t,]t)([ND,t]t)(E[N

泊松过程的强度λ(常数)等于单位长时间间隔内出现的质点数目的

期望值。即对泊松分布有:(X)D(X)E

四、泊松分布的特征

(1)泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类

事件,样本含量n必须很大。

(2)是泊松分布所依赖的唯一参数。值愈小,分布愈偏倚,随着的

增大,分布趋于对称。

(3)当=20时分布泊松分布接近于正态分布;当=50时,可以认为泊

松分布呈正态分布。在实际工作中,当



≥20时就可以用正态分布来

近似地处理泊松分布的问题。

五、泊松分布的应用

1)二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件,即每次试验中事

件出现的概率p很小,而贝努里试验的次数n很大时,事件发生的概率。

例1通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p=0.0001,假设在某

路段时间内有1000辆汽车通过此路口,试求在此时间内发生事故次

数X的概率分布和发生2次以上事故的概率。

分析首先在某时间段内发生事故是属于稀有事件,观察通过路口的

1000辆汽车发生事故与否,可视为是n=1000次伯努里试验,出现事故

的概率为p=0.0001,因此X是服从二项分布的,即,0.0001)B(1000~X。

)0.99990.00011000-0.9999-11xp{-0xp{-12x(pQ9991000

由于n=1000很大,且p=0.0001很小,上面的式子计算工作量很大,则可

以用:

n),,,10m(e

m!

np

p)-(1pCm}vp{np-

m

m-nm

n

m

nn



求近似.注意到0.1.000101000np,故有

0.0045e

1!

0.1

-e

!0

1.0

-12xp{0.1-0.1-

0

.

2)泊松分布可以计算大量试验中稀有事件出现频数的概率。这里的

频数指在相同条件下,进行大量试验,在这大量试验中,稀有事件发生

的次数。

例2已知患色盲者占0.25%,试求:①为发现一例色盲者至少要检查

25人的概率;②为使发现色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的

辨色力进行检查?

分析设X表示恰好发现一例患色盲者所需要检查的人数,则

G(0.0025)~X。

解94.09975.01p-1p25xp{2424

25

25k









p

k

设至少对n个人的辨色能力进行检查,于是p{x≤n}≥0.9。从而:

n

k

nk

k

ppp













1111p-1pn}xp{

1

1

1

1k

由0.9p)-(1-1n,得8827.919

9975.0lg

1.0lg

n.因此至少要检查920人。

参考文献

[1]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.

1983.10.

[2]复旦大学编.概率论(第一册).概率论基础[M].人民教育出版

社.1979.

[3]王梓坤.概率论基础及应用[M].科学出版社1976.9.

[4]潘孝瑞,邓集贤1概率引论及数理统计应用[M]1北京:高等教

育出版社,19861