tan5度

锐角三角函数及特殊角的三角函数值

【教学建议】

本节内容较简单，把定义讲透，加强对复杂图形中的三角函数问题的解题示范。

1．正切、正弦、余弦：

如下图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，

①正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=

Aa

c

∠的对边

斜边

．

②余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即

cosA=

Ab

c

∠的邻边

斜边

．

③正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

tanA=

Aa

Ab

∠的对边

∠的邻边

．

2．坡度：

如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的ABC称为坡角.

教学过程

一、导入

二、知识讲解

知识点1正切、正弦、余弦

一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的

铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作=h:l,坡度通常写成1：m的

形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作

。

于是tan

h

i

l

==，显然，坡度越

大，越大，坡面就越陡.

三角函数304560记忆方法

asin

2

1

2

2

2

3

一二三

acos

2

3

2

2

2

1

三二一

atan

3

3

1

3三九二十七

示意图

正弦与余弦的分

母都是2,正切的

分母是3,,分子

是根号对应的

数.

注意：1.对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为1，2与3．对于余弦值，分母都是2，分子

按角度增加分别为3，2与1．对于正切，60度的正切值为3，当角度递减时，分别将上一个正切值

除以3，即是下一个角的正切值．

2.运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右依次进行.

3.强调：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．

【题干】若△ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）

知识点230°、45°、60°角的三角函数值及其运算

三、例题精析

例题1

A．

2

2

B．

1

2

C．

3

2

D．1

【答案】D

【解析】根据图形可知∠α的对边及邻边的值，再根据锐角三角函数的定义求解即可．

解：根据图形可知：△ABC是直角三角形，且AC=3，BC=3．

根据勾股定理得到AB=32，

则tanα=

AC

BC

=1．

故选D．

【题干】如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，

若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）

A．

4

3

B．

3

5

C．

3

4

D．

4

5

【答案】C

【解析】由四边形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：

∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得

答案．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，

由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，

∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，

例题2

∴∠DCF=∠AFE，

∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，

∴DF=3，

∴tan∠AFE=tan∠DCF=

DF

DC

=

3

4

．

故选C．

【题干】如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（）

A．sinα=

4

5

B．cosα=

3

5

C．tanα=

4

3

D．tanα=

3

4

【答案】D

【解析】根据菱形的性质及勾股定理可求得AB的长，从而可表示出不同的三角函数从而验证得到正确的那

个选项．

解：菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，

则AC⊥BD，且OA=3，OB=4．

在直角△ABO中，根据勾股定理得到：AB=5，

则sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，tanα=

3

4

，

故选D．

【题干】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山

坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）

A．5mB．6mC．7mD．8m

例题3

例题4

【答案】A

【解析】解：由题知：tanA=0.75，此时坡上株距是4m，设相邻两树间的坡面距离为xm

所以满足sinA=0.8=

4

x

解得x=5

故选A．

【题干】如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1：3的斜坡铺设水管，若测得水管A处铅垂高度为6m，则

所铺设水管AC的长度为（）

A．8mB．10mC．12mD．18m

【答案】C

【解析】∵该斜坡的坡度为i=1：3，

∴AB：BC=1：3，

∵AB=6m，

∴BC=63m，

则AC=22ABBC+3610128+==（m）．

故选C．

【题干】1.下列各式正确的是（）

600＜sin450＜450＜cos600＜tan450

600＜tan450＜450＜cos600＜sin450

【答案】A

【解析】根据特殊角的锐角三角函数值依次分析各选项即可作出判断.

例题5

例题6

∵

2

1

60cos=，

2

2

45sin=，145tan=

∴60cos45sin45tan

故选A.

【题干】2.已知α为锐角，sin（α﹣20°）=

3

2

，则α=（）

A．20°B．40°C．60°D．80°

【答案】D

【解析】∵α为锐角，sin（α﹣20°）=

3

2

，

∴α﹣20°=60°，

∴α=80°，

故选D．

【题干】3.计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是()

A.2B.

1

2

C.-

1

2

D.1

【答案】B

【解析】根据特殊角的锐角三角函数值计算即可得到结果.

5sin30°+2cos245°-tan260°

2

1

3

2

1

2

2

5

)3()

2

2

(2

2

1

522=−+=−+=

故选B.

【题干】4.在△ABC中，若

13

|sin||cos|0

22

AB−+−=，则C=_______.

【答案】120°

【解析】因为||0a，且

13

|sin||cos|0

22

AB−+−=，所以

11

sin0sin

22

33

cos0cos

22

AA

BB



−==











−==





，又因为

13

sin30,cos3030120

22

ABC=====