体积力

第十一章流体力学

从运动的形式上来讲,我们已经研究了平动、转动和波动，本章我们将在力学普遍规律的

基础上进一步研究机械运动运动的另一种形式——流体的流动。所谓流体它是液体和气体的

总称，它们最鲜明的特点是流动，流动性赋予流体生命气息，无论是涓涓细流还是洋洋江河，

都使人感到富有生气，相形之下，固体就显得呆滞了。所以流动性使流体区别于固体的主要

特征。

本章我们的主要目的使研究流体流动的规律，为此我们将主要做以下几方面的工作：

1、学习流体力学的一些基本概念

2、从质点组的动能定理出发，推到出理想流体流动的基本动力学方程——伯努力方程

（重点内容）

3、研究粘性流体的运动规律。

今天学习§11.1理想流体

§11.2静止流体内的压强

§11.3流体运动学基本概念

所做工作：1.讨论流体的压缩性和粘性，由此建立理想液体的概念

2.学习流体运动学的几个基本概念

3.建立流体流动的基本规律—连续性原理（连续性方程）

§11.1理想流体

我们都知道，对一个具体的或实际的物理问题往往是相当复杂的，可能于多种因素有关，

然而，并不是在所有的场合下，都需要把全部复杂因素都通通考虑，我们可以针对不同的情

况做适当的简化，以突出事物或问题的主要因素，例如，质点、刚体、简谐振动等都是对实

际问题简化的结果。

在对流体力学问题的研究中，我们经常用的简化有两个：（1）假设流体的密度

常数，即认为流体不可压缩。

说明：（I）此处不可压缩并不是说流体内部压强不随时间和空间改变，而是说压强的变

化如此“微小”和“缓慢”以至于相对密度的变化完全可以忽略。

（II）无论气体和液体都是可压缩的，不过相对之下液体比其他难压缩得多，但并非液

体总能看作是不可压缩的，而气体总不能看作是不可压缩的。

（III）把流体密度看作常量的条件是相对的。可以引入一个叫马赫数的量，来描述

流体的压缩性

定义：

声速

流速

M

若

12M既流体的流速总小于媒质中的声速，即为不可压缩流体

流体

液体

气体

特征：流动性（相对于固体而言）

原因：流体各部分之间很容易发生相对运动，因

而流体没有固定形状，其形状随容器的形状而

定，故表现位流动性

反之，12M或12M即为可压缩流体

（2）假设流体是如此之“稀”，以至于粘性完全可以不考虑，而认为流体无粘性。

说明：改简化的使用一定要非常的小心，因为在有些情况下，粘性在流体运动中起着非

常重要的主导地位。

概括以上两条假设，人们把完全不可压缩的无粘性流体叫做理想流体。

§11.2静止流体内的压强

对于流体来讲，压强这一概念非常重要，它所表征的是流体内各部分之间的相互作用。研究

流体内各部分之间相互作用的方法和研究弹性体内部的方法相似。具体的讲就是说“应力”

的概念同样也适用于流体，只不过在静止流体中切应力恒为零，剩下的只有正压力，实际上

静止流体内的压强就是正压力在静止流体内的具体表现形式。下面我们就来讨论静止流体内

一点的压强。

（一）静止流体内一点的压强

如图所示，设想在静止流体内某一位置沿某一方向取一微小的假想截面，这个假想截面将附

近流体分成两部分。不难想象，当我们把s一侧的流体移去，则另一侧的流体必将流过来

填补，而不能保持平衡，具体地讲就是说当s一侧的流体存在时，另一侧的流体可以维持

其平衡而处于静止状态。当s某一侧的流体被移去，则另一侧的流体就过来补充，而不能

维持其平衡。由此可见，在静止的情况下，在s的某一侧的流体必有作用力F



作用于另

一侧的流体。总之在静止的流体内部各部分之间存在着作用力。先假设这两部分之间相互作

用力分成与假想截面为垂直和平衡的二分力。

下面先讨论与假象截面相切的力

//

F



，大量关系表明：静止流体内任意假象截面两侧的流

体之间不会产生沿截面切线方向的作用力，即

0

//

F



也就是说，静止流体不具备弹性体那样抵抗剪切形变的能力，（即没有剪切弹性）这也

正是流体具有流动性的原因。例如

（1）在重力场中静止流体表面总是保持水平

（2）静止在液面上的木板，无论在多小的推力下都能移动

所以在静止流体内任意假想截面两侧的流体间只有与截面垂直的相互作用力



F



，又

因为相互作用是“顶位”另一侧流体，使其平衡，所以



F



往往是压力，故用

S

F

P







//

FFF







正压力剪切应力(或称内摩擦力)

表示作用在S上平均单位面积上的压力——叫做平均压强

因为平均压强度量值一般情况下不仅与假想截面的位置有关，而且与S的大小有关。

所以，平均压强只能对流体中压力的分布做一种近似的描述。要精确的描述流体内各点处压

力大分布，与我们描述运动快慢及运动状态变化快慢相似，需要求平均压强的极限值

S

F

P

s





0

lim

称之为与无穷小假想界面dS相对应的压强

讨论P与dS的方位的关系

如图所示，在静止流体中某一点的周围，用假想截面画出一微小的三棱直角柱体作为隔离体

三棱直角柱体

该隔离体在oxy平面内受力情况如图所示，

nxym

2

1



分析

x

P、

y

P、

n

P

由平衡方程有

0coslnPlyP

nx

0

2

1

sinngxylnPlxP

ny



∵xnsin

yncos

0lyPlyP

nxnx

PP

0

2

1

ngxylxPlxP

ny



ygPP

ny



2

1

令0nlyx、、、（相当于在某点处取三个方位不同的无穷小假想截面）得

沿

x

轴边长为x

沿y轴边长为y

沿z轴边长为z

x

P截面上的压强

n

P

y

P

ynx

PPP

由此可见：对静止流体内一点各不同方位无穷小面元上的压强大小相等。因此可以认为

静止流体内的压强说与一定的空间点相对应而不必强调是哪一个假想面元。

于是给出静止流体内一点压强度概念：静止流体内一点的压强等于过此点任意一假想面

元上正压力大小与面元面积之比当面元面积趋于零时的极限。

S

F

P

s





0

lim

在工程技术上，压强也叫压力

（二）静止流体内不同空间点压强的分布

通过上述分析，我们看到流体微团—隔离体受到两种力的作用：

压力（作用包围微团的假想截面上）—面积力

重力（作用在微团的全部体积上）—体积力

静止流体内任一点的压强分布与体积力分布有关，如图所示，

设给曲线BBBB



、上各点切线与该点处体积力重合

设给曲线AAAA



、上切平面与该点处体积力垂直

取微团——小正方体

长——l（

x

轴）

宽——n（取向如图）

高——y（y轴）

左端面积：yn，压强:P

右端面积：yn，压强:PP

上底面面积：xn，压强:PP







下底面面积：xn，压强:P



纸面内该力的平衡，沿x方向

0-ynPPynP

有0dPP

表明在与体积力垂直的曲线上，相邻两点压强相等，或压强差为零，同理很容易推证与体积

力垂直的曲面上各点点压强相等。通常把压强相等的诸点组成的面称为等压面。因此，等压

面与体积力互相正交。

沿oy方向有平衡方程：

0-lnylnPlnPPynP

其中——体积力密度（单位体积流体受到的体积力）

化简齐之ldl

ndnPdP有dydP-

ydy

或

dy

dP

给出该体积力方向压强的变化率

是描述静止流体内压强分布的场强量——压强梯度（变化最大的方向）

讨论：液体处在均匀重力场中平衡

重力体积力沿铅直方向向下

等压面——水平面

g

则有：dydPg-当0dy0dP

即在重力作用下，静止流体内的压强随流体高度的增加而减小

设

1

P——

1

y高度处压强

2

P——

2

y高度处压强

有2

1

2

1

y

y

p

p

gdydP2

1

12

y

y

gdyPP

若const即不可压缩流体（如液体），则有



1212

yygPP

给出不同高度压强差（如图）

ghPP

12

ghPP

21

ghPP

01

深度为h处的压强（中学）

（三）相对非惯性静止的流体

惯性力——体积力

等压面与体积力相互正交

§11.3流体运动学基本概念

（一）流速、流线和流管

研究流体运动的方法有两个：

（1）Lagrange方法：将流体分成许多无穷小

微团，求出它们各向的运动轨道。称做流迹。这实际上是沿用质点组动力学的方法来处理流

体的运动。

tvrrr,,

00





（2）Euler方法：把注意力集中在各空间点，观察流体微团流过每个空间点的流速v



，寻

求它的空间分布和随时间的变化规律。

一般情况下：tzyxvv,,,





实际上流体微团是很难区分的，跟踪每一个流体微团的轨迹也没有多大意义，所以Euler

方法比Lagrange方法更为有效，在流体力学中得到广泛的应用，下面我们注重学习欧勒方

法。

流速场:任一时刻每一点均有一定的流速矢量与

之相对应的空间

流线：流速场中每一点的切线方向和位于该点处

流体微团的速度方向一致的曲线

流管：通过封闭曲线上各点的流线所围成的细管

显然流管内的流体，不能穿越管外，管外的流体

也不能穿越到管内。一般说来，流速与流线并不

重合，如图所示

实线——

t

时刻的流线

设A处微团

BA

dt



但当到达B处时即dtt：虚线——流线，微团将沿B处虚线的切线运动。

原因：流线在空间（速度场）的分布随时间改变，即tzyxvv,,,





（二）定常流动

当tzyxvv,,,



称此种流动为定常流动

此时：流线、流管均保持固定的形状和位置，且流速与流线相重合。

（三）不可压缩流体的连续性方程

1、流量

sv

t

sl

t

V

tt

















limlim

00



t时间内通过流管某横截面s的流体体积V与t之比且当0t时的极限。

细流管：①各流线平行

②同一截面上各点流速相同

2、连续性方程

根据流量的性质，流体不能通过管壁，流入或流出流管。再考虑到流体不可压缩性，根据质

量守恒由

332211

svsvsv即

恒量sv

即对不可压缩流体，通过流管各横截面的流量都相等，叫作不可压缩流体的连续性方程，并

1

v



2

v



2

s

1

s

称之为不可压缩流体的连续性方程。

第十一章流体力学（2）

学习内容：§11.4伯努力方程

§11.5流体的动量和角动量（自习）

所做的工作：1、从质点动能定理出发，借助连续性方程，推导出理想流体在重力场作定常

流动时一流线上的压强，流速及高度的关系——伯努力方程。并讨论方程的应用。

2、流体的动量和角动量

§11.4伯努力方程

现在我们在惯性系中，研究理想流体在重力作用下定常流动时一流线上的压强，流速及高度

的关系。

前提：参照系——惯性系

研究对象——流动理想流体

定常流动——zyxvv,,





上节课我们已经研究了静止流体内压强的分布规律。

1、与体积

x

垂直的曲面叫等压面

静止流体的压强

2、沿体积

x

方向压强的变化率为

dy

dP

（压强梯度）

当流体流动时，其内部压强的分布与静止时固然不同，下面我们先来研究无粘性液体流动时

一定向点的压强。

如图所示，微小三棱直角柱体为隔离体。

设隔离体以加速度a



运动，受力情况如图

（平面oxy）

zyx

aaaa





由amF





有

x

：

xnx

layxlnPlyP

2

1

cos

y：

yny

layxlyxglnPlxP

2

1

2

1

sin

yncos

xnsin

const

0

内

f

（无粘性）

xnx

xaPP

2

1

yny

yaygPP

2

1

2

1

令0,yx可得

ynx

PPP

由此可见：对无粘性流体与静止时的压强一样。其内部任一点处各不同方位无穷小有向面元

上的压强相同。

现在讨论理想流体在在压力作用下作定常流动的情况。如图所示，在流体内某一细流管中任

取一微团ab。

微团（微小圆柱体）：位置1长度

1

l底面积

1

s高度

1

h流速

1

v

11

slm压强

1

P

位置2处：长度

2

l底面积

2

s高度

2

h流速

2

v

21

压强

2

P

微团从位置1



2相应

21

vv应用质点系动能原理。



00pkpk

EEEEAA

内外

外

其中动能增量：2

111

2

222

2

2

2

102

1

2

1

2

1

2

1

vslvslmvmvEE

kk



势能增量：

111222120

hslghslgmghmghEE

pp



而由无粘性，即无内摩擦力

x

，只考虑周围流体对微团压力所做的功。

另外，作用于柱体压力不做功，只有作用于微团前后两底面上的压力做功。其中，

后底面上的压力做正功aa





前底面上的压力做负功bb





显然前后两底面在从1



2过程中有一段路程是相同的，即ab



，在此相同路程中，对任一

截面，前后压强相同，不同的只是一个做正功，一个做负功，其和恰好为零。所以当微团从

1



2

内

外

AA

中只包括压力推后底由

a

至b做的正功，及压力阻止前底面由ba







所

做的负功，即

222111

lsPlsPAA

内

外

代入功能原理，得

11111

2

122222

2

22

1

2

1

slghslvslghslv

222111

lsPlsP

∵

const

21

（

21

mm）

∴Vlsls

2211

得：

22

2

211

2

12

1

2

1

PghVPghV

∵位置1和2是任取的，所以对同一组流管内各不同截面有

恒量PghV2

2

1

称以上两式为伯努力方程

讨论：①在推导过程中，取的是一细管

v

所以h均为平均值

P

令截面0s细管



流线

v

此时，方程形式不变，但h则表示同一流线上各元的值

P

结论：在惯性系中，若理想流体在功作用下做定常流动时，一定流线上（或细管内）各点的

量PghV2

2

1

为以恒量。

②对不同的流线其恒量的量值一般来说是不同的。

特殊情况下，不同流线上的恒量相同

当流体微团均以相同速率沿同一方向作匀速运动时，如图取一柱形隔离体，其上下底面包含

A、B点。此隔离体沿水平方向匀速运动。由于竖直方向无加速度，根据平衡条件，可得与

静止流体类似的公式

ghPP

AB



设h为A、B两点的高度差，若以B点所在高度为势能零点，则A点所在流线上各点有：

AA

CPghV2

2

1

同理可以证明对所有微团都以相同的速度沿任一方向作匀速运动，上述结论总是正确的。

流量sv

t

sl

t

V

tt















00

limlim

例1、P356

流线——中心轴线

对1、2两点有

2

2

21

2

12

1

2

1

PVPV（1）

连续性方程

2211

VSVSQ（2）

ghPP

111





ghPP

222





ghPPghPP







2121

汞

∴

汞

ghPP

21

（3）

联立（1）（2）（3），可得处流量



2

2

2

1

2

1

2

2

2211

-2

SS

SghS

VSVSQ









汞

由（1）式：



12

2

1

2

2

2PP

VV





1

2

1

2

V

S

S

V





gh

S

SSV

-2

2

2

2

2

2

1

2

1

汞





2

2

2

1

2

2

1

-2

SS

ghS

V









汞



2

2

2

1

2

2

2

1

11

-2

SS

SghS

VSQ









汞

气体在点2处：0

2

V称为驻点

（1

21

hh）

对2



1的流线

2211

2

12

1

PghPghv（0

2

v）

设（1

21

hh）

12

2

1

-

2

1

PPV

∴





12

1

2PP

v





而

液

ghPP

12

∴

气

液



hg

v

2

1

为所测流速

因为皮托管的大小和空气流动范围相比微乎其微，不影响气流速分布。

例3小孔流速P495

对由自由表面到小孔的流线，应用伯努力方程有

0

2

02

1

PvPgh

∴ghv2

可知，小孔流速和物体自高度h处自由下落的速度相同。

讨论