年利税

第五章动态数列

例1、“九五”时期我国国内生产总值资料如下：

单位：亿元

年份国内生产总值

其中

第一产业第二产业第三产业

1996

1997

1998

1999

2000

试计算“九五”时期我国国内生产总值和其中各产业的平均发展水平。

解：【分析】这是时期数列资料，可按简单算术平均数（

n

a

）计算平均发展水平。

计算结果如下：

国内生产总值平均发展水平亿元

其中：第一产业平均发展水平亿元；第二产业平均发展水平亿元；第三产业平均发展水平亿元。

例2、我国人口自然增长情况见下表：

单位：万人

1986年1987年1988年1989年1990年

比上年增加人口

616781629

试计算我国在“七五”时期年平均增加人口数量。

解：【分析】新增长人口是时期指标，故平均增加人口数量仍用

n

a

a



计算。

年平均增加4.1696

5

617931656









n

a

a（万人）

例3、某商店2010年商品库存资料如下：

单位：万元

日期库存额日期库存额

1月1日

1月31日

2月28日

3月31日

4月30日

5月31日

6月30日

63

60

55

48

43

40

50

7月31日

8月31日

9月30日

10月31日

11月30日

12月31日

48

45

45

57

60

68

试计算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均库存额。

解：这是一个等间隔时点数列，用“首末折半法”计算：

1

2

1

2

1

121









n

aaaa

a

nn



（万元）第一季度平均库存额8.56

3

2

48

5560

2

63







（万元）第二季度平均库存额44

3

2

50

4043

2

48







（万元）第三季度平均库存额8.46

3

2

45

4548

2

50







（万元）第四季度平均库存额8.57

3

2

68

6057

2

45







（万元）上半年平均库存额4.50

2

448.56







（万元）下半年平均库存额3.52

2

8.578.46







（万元）全年平均库存额35.51

4

8.578.46448.56







例4、某企业2002年各月份记录在册的工人数如下：

1月1日2月1日4月1日6月1日9月1日12月1日12月31日

在册工

人数

326332412

试计算2002年该企业平均工人数。

解：【分析】这是不等间隔时点数列，用间隔月数进行加权的公式计算平均工人数：

121

11232121

)(

2

1

)(

2

1

)(

2

1











n

nnn

fff

faafaafaa

a





133221

1

2

412412

3

2

412414

3

2

414408

2

2

408335

2

2

335330

1

2

330326





























=385（人）

例5、某企业2002年各季度计划利润和利润计划完成程度的资料如下：

计划利润（万元）利润计划完成（%）

第一季度

第二季度

第三季度

第四季度

860

887

875

898

130

135

138

125

试计算该企业年度利润计划平均完成百分比。

解：【分析】应该按两个时期数列对比组成的相对指标动态数列计算序时平均数的算式计算：







b

a

n

b

n

a

a

该企业利润年平均计划完成百分比（%）

%132

898875887860

%125898%138875%135887%130860









例6、1995-2000年各年底某企业职工工人数和工程技术人员数资料如下：

年份职工人数工程技术人员

1995

1996

1997

1998

1999

2000

1000

1020

1085

1120

1218

1425

50

50

52

60

78

82

试计算工程技术人员占全部职工人数的平均比重。

解：【分析】这是由两个时点数列对比所组成的相对指标动态数列计算序时平均数的问题。分子和分母均

应按“首末折半法”计算序时平均数后加以对比。

工程技术人员占全部职工工人数比重（%）

)

2

1

2

1

(

1

1

)

2

1

2

1

(

1

1

121

121

nn

nn

bbbb

n

aaaa

n



















=

%4.5

1.1131

2.61

)

2

1425

51020

2

1000

(

16

1

2

82

78605250

2

50

16

1











）（

例7、某工厂2003年上半年工人数和工业总产值资料如下：

月份月初工人数（人）总产值（亿元）

1

2

3

4

5

6

1850

2050

1950

2150

2216

2190

另外，7月初工人数为2250人。根据上述资料计算：

（1）上半年平均工人数。（2）上半年平均总产值。（3）上半年平均劳动生产率。（4）上半年劳动生产率。

解：【分析】解答本题要明确劳动生产率的概念；认识月初工人数是时点指标，总产值是时期指标，然后

采用相应的方法计算序时平均数加以对比。

（1）上半年平均工人数（人）2101

17

2

2250

21902050

2

1850









（2）上半年平均总产值（亿元）105.3

6

73.374.323.371.272.250.2







（3）上半年平均劳动生产率人万元（亿元）/78.14001478.0

2101

105.3



（4）上半年劳动生产率

人万元（亿元）/67.88008867.0

2101

73.374.323.371.272.250.2







例8、某公司的两个企业2004年2月份工业增加值及每日工人在册资料如下：

企业增加值（万元）工人数

1-15日16-20日21-28日

甲

乙

415

452

330

332

312

314

245

328

试计算各企业和综合两企业的月劳动生产率

先按



f

af

公式计算平均工人数

甲企业：人）(3035.302

8515

8245531215330







乙企业：人）(3286.327

8515

8328531415332







全公司：人）

）（）（）（

(630

8515

83282455330







计算结果如下表：

企业增加值（万元）平均工人数（人）月劳动生产率（元/人）

（1）（2）（3）=(1)÷(2)

甲

乙

415

452

13719

13797

合计

86763013762

例9、试利用动态指标的互相联系来确定某市生产总值动态数列水平和所缺的环比动态指标：

年份

生产

总值

(亿元)

环比动态指标

增长量

(亿元)

发展速度(%)增长速度(%)

增长1%绝对值(亿

元)

2000353

200124

2002

2003

2004

200532

2006108

200742

2008612

200948

解：【分析】动态分析指标中增长速度与发展水平、前期水平与增长1%绝对值的关系是解答本题的依据。

就是结果如下表所示：

年份

生产

总值

(亿元)

环比动态指标

增长量

(亿元)

发展速度(%)增长速度(%)

增长1%绝对值(亿

元)

2000353

————————

200137724

200240023

200342929

200445930

200549132

2

200757242

200861240

200966048

平均增长量=11.34

9

484324

9

353660









平均发展速度

=

9%8.107%107%9.107%108%107%107%3.107%1.106%8.106=

072.1

353

660

9

平均增长速度==

即该市生产总值年平均总值亿元，平均发展速度%。

例10、已知某公司所属甲、乙两工厂2001年利税各为500万元与1000万元，其环比增长速度如下：

单位：%

2002年2003年

甲厂

乙厂

10

15

试通过计算确定哪个工厂平均增长速度较高整个公司哪年的发展速度较快

解：各年份利税总量指标计算如下：

单位：%

2001年2002年2003年

甲厂

乙厂

500

1000

500×=

1000×=1100

×=

1100×=1265

合计

1500

平均增长速度：

甲厂：%24.111124.01

500

75.618

11.1125.1

乙厂：%47.121247.01

1000

1265

115.11.1

乙厂的平均增长速度比甲厂高个百分点

公司发展速度：

2002年：%83.110

1500

5.1662

1000500

11005.562







2003年：%31.113

5.1662

75.1883

11005.562

126575.618







说明整个公司2003年发展速度较快。

例11、某地区粮食产量1985—1987年平均发展速度是，1988—1989年平均发展速度是，1990年比1989

年增长6%，试求1985—1990年六年的平均发展速度。

解：【分析】本题的基年是1984年，前后跨度七年，可理解为对6项环比发展速度按几何平均法计算其平

均值。

平均发展速度%2.10406.1)05.1()03.1(6

23



f

fXX

例12、1995年我国国内生产总值万亿元。“九五”的奋斗目标是到2000年增加到万亿元，远景目标是2010

年比2000年翻一番。试问：（1）“九五”期间将有多大平均增长速度（2）1996—2010年（以1995年为基

期）平均每年发展速度多大才能实现远景目标

（3）2010年人口控制在14亿内，那时人均国内生产总值达到多少元

解：（1）平均发展速度=%52.110

76.5

5.9

5

0

n

n

a

a

“九五”平均增长速度将达到%

（2）至2010年国内生产总值将达到的规模是：)(195.92万亿元

实现远景目标的平均增长速度为：%3.81083.11

76.5

19

115

0

n

n

a

a

（3）2010年人均国内生产总值将达到的水平是：)(357.11419万元

例13、某煤矿采煤量如下：

日期产量日期产量日期产量

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

301

302

304

291

298

310

305

312

315

310

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

308

319

320

323

296

290

328

330

334

338

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

336

334

338

338

339

345

342

356

350

351

求：（1）按五日和按旬合并煤产量，编成时间数列；（2）按五日和按旬计算平均日产量，编成时间数列；

（3）运用移动平均法（时距扩大为四天和五天）编制时间数列。

解：（1）（2）按五日和按旬计算的采煤量与按五日和按旬的平均日产量编成时间数列。

某煤矿每五日的采煤量和每五日平均每日采煤量的时间数列

单位：吨

日期起止煤产量平均日产量日期起止煤产量平均日产量

1-5

6-10

11-15

1496

1552

1566

16-20

21-25

26-30

1615

1685

1744

323

337

某煤矿每10日的采煤量和每10日平均每日采煤量的时间数列

单位：吨

日期起止

1-1011-2021-30

煤产量

平均日产量

3

（3）运用移动平均法（时距扩大为四天和五天）编制时间数列:

五天移动平均：

第一个平均数为2.299

5

1496

5

298291304302301





对正第三天原值。

依次类推移动平均，得出五天移动平均数列共26项。

四天移动平均：

第一个平均数为5.299

4

291304302301





对着第2-3项中间。

第二个平均数为75.298

4

298291304302





对着第2-3项中间。依次类推移动平均，得出四天移动平均数列。最后进行二项移正平均。

日期产量趋势值

五天移动平均四天移动平均两项移正平均

1301

——

—

2302

——

3304

4291

5298

6310

7305

8312

9315

10310

11308

12319

13320

14323

15296

16290

17328

18330

19334

20333

21336

22334

23338

24338

25339

26345

27342

28356

29350

——

—

30351

——

例14、某地区年粮食总产量如下表所示：

年份产量（万吨）年份产量（万吨）

1

2

3

4

5

230

236

241

246

252

6

7

8

9

10

257

262

276

281

286

要求：（1）试检查该地区粮食生产发展趋势是否接近于直线型的（2）如果是直线型，请用最小平方法配

合直线趋势方程。（3）预测第11年的粮食生产水平。

解：（1）列表如下：

年份产量y逐期增长量年份产量y逐期增长量

1

2

3

4

5

230

236

241

246

2525

—

6

5

5

6

6

7

8

9

10

257

262

276

281

286

5

5

14

5

5

从逐期增长量可以看出，各期增长量大体相同，所以变化趋势是直线型的。

（2）配合直线趋势方程如下：

年份

产量y

时间代码t2t

ty趋势值btay

t



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

230

236

241

246

252

257

262

276

281

286

-9

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

9

81

49

25

9

1

1

9

25

49

81

-2070

-1652

-1205

-738

-252

252

786

1380

1967

2574

2567

把上表数据代入简化了的方程组：



















2tbty

nay

解得7.256

10

2567





n

y

a，17.3

330

1047

2







t

ty

b

则配合的直线方程为tbtay

t

17.37.256

（3）预测第11年（11t）粮食产量为：

)(57.2911117.37.256

11

万吨y

例15、以下是某厂的单位产品成本和配合方程的相关数据：

年份

金额（元）y

环比速度(%)

t2t

ylgytlg

1995

1996

1997

1998

1999

2000

435

422

407

395

382

370

—1

2

3

4

5

6

1

4

9

16

25

36

——

2191

预测2001年的单位产品水平。

解：【分析】从以上资料可知环比速度大体相同，所以其发展趋势是指数曲线型的，方程式为

t

t

aby

abtylglglg

设aAbByYlg,lg,lg

下面用最小二乘法配合曲线方程。

01412.0

21916

620.1521424.546

)(222



















ttn

YttYn

B

968..0Bb

6528.2

6

21

1412.0

6

6203.15





n

t

B

n

Y

A

573.44910106528.2Aa

所以

tt

t

aby968.0573.449

元）(358968.0573.44977

7

aby

例16、某市1999——2002年各月毛衣销售量如下：

单位:件

月份

19992

月平均

1

2

3

4

5

8000

6000

2000

1000

600

15000

9000

4000

2500

1000

24000

15000

6000

4000

2000

28000

14000

8000

3000

1200

18750

1100

5000

2625

1200

6

7

8

9

10

11

12

400

800

1200

2000

5000

21000

25000

800

1200

2000

3500

8500

34000

35000

1100

3200

4000

7000

15000

42000

48000

900

3700

4800

8300

14000

47000

51000

800

2225

3000

5200

10625

36000

39754

根据上表资料按月平均法计算季节比率。

解：【分析】先计算出各年同月份的月平均数（即上表的“月平均”）和各年所有月份的月总平均数，然后

将12个各年同月的平均数分别除以各年所有月份的月总平均数，得到12个季节比率，比率高说明是旺季，

比率低说明是淡季。

通过计算，各年所有月份的平均数（月总平均数）为

12

3975436300018750

=

所计算的季节比率如下表：

月份季节比率（%）月份季节比率（%）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

季节比率的具体计算：

如1月份的季节比率=%22.165

25.11348

18750



如12月份的季节比率=%31.350

25.11348

39754

