变力做功

变力做功的计算

公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。

一、微元法

对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很

多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后

累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有

普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力

的做功问题。

例1.用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物

块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。

图1

思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向

时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元

段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求

出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。

图2

正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可

认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，

，…，，摩擦力在一周内所做的功

。

误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这

是错误的。必须注意本题中的F是变力。

小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力

的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用

计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。

［发散演习］

如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不

变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少

图3

答案：。

二、图象法

在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的

位移s。如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。经过一段时间物体发生

的位移为s

0

，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W

＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示），s轴下方的面积表示力对

物体做负功（如图4（b）所示）。

图4

如果F－s图象是一条曲线（如图5所示），表示力的大小随位移不断变化，在曲线下

方作阶梯形折线，则折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功。当阶梯折线越分越

密时，这些小矩形的总面积越趋近于曲线下方的总面积，可见曲线与坐标轴所围成的面积在

数值上等于变力所做的功。由于F－s图象可以计算功，因此F－s图象又称为示功图。

图5

例2.子弹以速度射入墙壁，入射深度为h。若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比，

欲使子弹的入射深度为2h，求子弹的速度应增大到多少

思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6所示，由图象求出子弹克服阻力做的功，再

由动能进行求解。

图6

正确解答：解法一：设射入深度为h时，子弹克服阻力做功W

1

；射入深度为2h时，

子弹克服阻力做功W

2

。由图6可知

①

根据动能定理，子弹减少的动能用于克服阻力做功，有

②

③

①②③联立求解得。

解法二：设阻力与深度间的比例系数为k，F

f

＝ks。由于F

f

随位移是线性变化的，所以

F

f

的平均值为

。

根据动能定理，有

①

②

①②联立求解得。

小结点评：若力随位移按一次方函数关系变化时，求功时可用平均作用力来代替这个

变力，用恒力功的公式求功，也可用F－s图象求功；若力随位移的变化不是一次函数关系，

则可用图象求功，而不能用平均值求功。

［发散练习］

1.如图7所示，有一劲度系数k＝500N/m的轻弹簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一

质量m＝2kg的物块，物块与水平面间的动摩擦因数，弹簧处于自然状态。现缓慢

推动物块使弹簧从B到A处压缩10cm，然后由静止释放物块，求（1）弹簧恢复原长时，

物块的动能为多大（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的最大动能为多大

图7

答案：（1）；（2）。

提示：（1）从A到B的过程，对物体应用动能定理得，其中

。W弹可利用示功图求出，画出弹簧弹力随位移变化的图象（如图8所示）F

1

＝kx

1

，弹力做功的值等于△OAB的面积，即，所以

。

图8

（2）放开物体后，物体做的是加速度越来越小的加速运动，当弹簧的弹力等于摩擦力

时，物体有最大的动能。设此时弹簧的压缩量为。由得

。物体的位移。在

这一过程中弹力的功在数值上等于图8中梯形OADC的面积，即，

所以物块的最大动能为

。

2.用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程

中至少要做多少功（g取10m/s2）

答案：2250J

提示：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，但在拉起铁索的过程

中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也逐渐减小，即拉力是一个随距离变化的变力。从物体在

井底开始算起，拉力随深度h的变化关系是（0≤h≤10），

作出F－h图线如图9所示，利用示功图求解拉力的功（可用图中梯形面积表示），得出

。

图9

3.一辆汽车质量为1×105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的倍。其牵引力的大小

与车前进的距离是线性关系，且，是车所受阻力，当该车前进100m时，

牵引力做了多少功

答案：1×107J。

提示：阻力。则牵引力为

。作出F－s图象如图10所示，图中梯形OABD的面积表示牵引力的功，

所以。

图10

三、利用W＝Pt求变力做功

这是一种等效代换的观点，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的。

例3.汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进距离s的过程中，其速度由

v

1

增至最大速度。假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s所用的时间

为_____________。

思路点拨：汽车以恒定的功率P加速时，由P＝Fv可知，牵引力逐渐减小，汽车做加

速度逐渐减小的加速运动，当F＝F

f

时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大的速

度做匀速直线运动。

正确解答：当F＝F

f

时，汽车的速度达到最大v

2

，

由可得①

对汽车，根据动能定理，有

②

①②两式联立得

。

误点警示：有同学可能这样解：平均速度，时间。这

样解是错误的，因为汽车的运动不是匀加速运动，不能用求平均速度。

小结点评：汽车以恒定的功率起动时，牵引力是变力，牵引力的功不能用W＝Fs计算，

但可以用W＝Pt计算；若用求牵引力的功也是错误的，因为牵

引力随位移的变化不是线性关系，不能用求平均牵引力。

［发散演习］

质量为m的汽车在平直的公路上从速度v

0

开始加速行驶，经过一段时间t后，前进了

距离s，此时恰好达到其最大速度，设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽

车所受的阻力为恒力F

f

，则这段时间里，发动机所做的功为（）

A.B.

C.D.

答案：A、B

提示：发动机所做的功即为发动机牵引力做的功，由功率定义可知W＝Pt，选项B正

确。汽车以恒定功率起动，当F＝F

f

时，达到最大速度，应有，所

以t，选项A正确。选项C、D均将汽车的运动看作匀变速运动，其中选项

C是先求出a，再求出合外力ma的功，选项D是先算出平均速度，然后用表

示发动机做的功，显然都是错误的，因为机车的运动是变加速运动而不是匀变速运动。

四、利用功能关系求变力功

求变力所做的功，往往根据动能定理、机械能守恒定律和功能关系等规律，用能量的

变化量等效代换变力所做的功。这种方法的优点是不考虑变力做功过程中力的大小及方向的

细节，只考虑变力做功的效果��能量变化，解题过程简捷，是求变力功的首选方法。

例4.如图11所示，质量m＝2kg的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O

处。将橡皮条拉直至水平位置OA处（橡皮条无形变）然后将小球由A处静止释放，小球到

达O点正下方h＝处的B点时的速度为v＝2m/s。求小球从A运动到B的过程中橡皮条的弹

力对小球所做的功。取g＝10m/s2。

图11

思路点拨：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从A运动到B的过

程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能守恒。

正确解答：取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为

零。设在B时橡皮条的弹性势能为E

p2

，由机械能守恒定律得

则

橡皮条的弹性势能增加6J，则小球的机械能必减少6J，故橡皮条的弹力对小球做功－

6J。

小结点评：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹

力做功与弹性势能变化的关系。

［发散演习］

1.将一质量为m的物体以初速度v

0

竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为v，已知空

气阻力与速率成正比，则从抛出到落回抛出点的整个过程中，空气阻力做的功为__________。

答案：。

提示：对整个过程应用动能定理。

2.如图12所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的

高度为5m，速度为6m/s。若物体的质量为1kg。则下滑过程中物体克服阻力所做的功为多

少

图12

答案：根据动能定理可得

。

五、利用动能定理求变力功

6．质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运

动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，

此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高

点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）

A．

4

1

mgRB．

2

1

mgRC．

3

1

mgRD．mgR

5．某消防队员从一平台跳下，下落2m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方

法缓冲，使自身重心又下降了。在着地过程中，地面对他双腿的平均作用力是他

自身重力的（）

A．2倍；B．5倍；C．8倍；D．10倍

4．如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，

拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到时，物体以另一线速度仍做匀速

圆周运动，半径为2R，则物体克服外力所做的功是()

A．0

B．C．D．

2．如图所示，AB为1/4圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R，一

质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为，当它由轨道顶端A从静止开始下落，恰

好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为（）

A．B．

C．D．

1、质量为m的小球从离泥塘高H处由静止落下，不计空气阻力，落在泥塘上又深入泥塘如

图所示，求小球在泥塘中运动时所受平均阻力多大后停止，训练1．一粒钢球从1高处

自静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭后停止运动，若钢球的质量为，空气阻力忽略不计，

则钢球克服泥潭的阻力做功_____J