数学向量

向量公式汇总

平面向量

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；

当λ＜0时，λa与a反方向；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向

线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）

上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）

上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且

λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b

的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不

共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律）；

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c(a≠0)，推不出b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、

b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直

于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

②当且仅当a、b反向时，右边取等号。

6.定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一

个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是a•b=0。

a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

空间向量

令a=(a

1

,a

2

,a

3

),),,(

321

bbbb，则

),,(

332211

babababa

))(,,(

321

Raaaa

332211

babababa

共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

a∥)(,,

332211

Rbababab

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a



如果三个向量

．．．．

cba,,不共面

．．．

：那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，

使czbyaxp.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组

x、y、z使OCzOByOAxOP(这里隐含x+y+z≠1).

向量垂直0

332211

babababa。

空间两个向量的夹角公式

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211

||||

,cos

bbbaaa

bababa

ba

ba

ba

























（a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb）。

空间两点的距离公式：

2

12

2

12

2

12

)()()(zzyyxxd

.

利用法向量求点到面的距离：

如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A

，则点B到平面

的距离为

||

||

n

nAB

.

.异面直线间的距离

||

||

CDn

d

n



(

12

,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是

12

,ll上任一点，d为

12

,ll间的距离).

B到平面的距离

||

||

ABn

d

n



（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.

直线AB与平面所成角

sin

||||

ABm

arc

ABm





(m为平面的法向量).

利用法向量求二面角的平面角：

cos

||||

mn

arc

mn





或cos

||||

mn

arc

mn





（m，n为平面，的法向量）