光行差

1

狭义相对论讲授（纲要）

一、物理定律的变换与不变性

二、光速测量及以太理论的破产

三、爱因斯坦假定与洛仑兹变换

四、相对论运动学、四维矢量

五、相对论动力学

六、狭义相对论与电磁学（略）

一、物理定律的变换与不变性

1．伽利略的力学相对性原理

①牛顿的力学三定律；

②伽利略变换；

③伽利略变换下力学规律（定律）的形式不变性；

④伽利略变换是力学规律不变性的充分条件，而非必要条件（充

分而不必要），充分而不唯一；

⑤牛顿的绝对时空概念。

时空线性变换的一般讨论

前提：

1．相对性原理（不变性与协变性的概念）

2．时间及长度测量的相对性或光速不变原理

试举例分析：

机械波的波动方程与波速问题

2

2

2

22

2

1

t

y

vx

y













N

v

质量密度惯性

弹性模量

)(:

:

P

N

其中

x

y





是相对于介质所在的特定惯性，故v也是相对于介质这一

特定参照系。观察者相对于介质有一运动速度时，他测得的波速用相

加原理。这与力学相对性原理并不抵触。

波速（相对于介质）与波源的运动状态无关（这一点与光速相同）。

2．电磁波的波动方程

2

2

2

2

00

1

t

E

x

E













（l）1861年建立

16

2

00

2

109

1























cm2/s2

c=3×108m/s恰为真空光速。

具有波动方程的形式

1867年证实电磁波的存在（c来源于麦氏方程的真空形

式）。麦氏方程的建立并没依仗于某一参照录。

附：庞加莱对相对性原理的推广。

庞加莱（又译彭加勒）（ré）合理的推理——麦氏方程的

真空形式对不同惯性系是形式不变的，即不能通过惯性系内部进行的

电磁学及光学实验来确定该系统的绝对运动或绝对静止——把相对性

原理推广到电磁、光学领域。

re坚信相对性原理，1899年断定借助光学观测测定绝对

运动之不可能性，1904年在一篇论文中扩展了其思想。

①洛仑兹收兹收缩（实际收缩）

②质量随速度而增大

③光速c作为动力学的极限速度

3

④不放弃Ether假设

问题的症结在于对时空本质的认识。

人们先念地认为存在一种Ether媒质，即以机械波的模式解释电磁

波

非常大的弹性模量

以太特性非常小的惯性密度

透明性

使“以太”论破灭的几个重要实验

1．1881年、1887年son与所进行的实验









































2

2

21

2

2

21

1

1

2

c

v

ll

c

v

ll

c

（图略）

)(

2

21

2

2

lll

c

vl





v=3.0×104m/s，c=3.0×108m/s

当l=11.0m时，4.0（个）（条纹级数）这是一个与

2













c

v

有关

的实验。称为二级效应。

结果没有观察到预期的条纹的移动。

说明若有以太，以太必为地球完全拖拽。

V=0

恒星的光行差现象

4

如图称为光行差角

c

v

tc

tv







tg

5.20

m/s100.3

m/s100.3

tg

8

4











得到实测的验证。

结果说明以太完全不被地球所拖拽。若恒星不在观察正上方，而

是位于与黄道平面（公转平面）夹角为

0

的上方，则：

0

0

0

sin

cos

sin

tg







c

v

vc

v







布喇德雷对天龙座星进行了一年的观测，与计算结果极为接近。

斐索拖曳实验

1851年（）斐索做了一个著名的以太拖曳实验

干涉条纹移动数目：



















c

vlkntc





2

4

5

这是与













c

v

有关的一级效应。其中k为拖曳系数：vk

n

c

V

结果测得：020.0434.0K

（1818年菲涅耳推出：

2

1

1

n

k

）

本实验证明以太被部分拖曳。

这就是以太论的不可调和的矛盾。

6

狭义相对论基础

一、相对论和量子力学是近代物理的两大理论支柱。

狭义相对论specialrelativity（特殊）

相对论

广义相对论generalrelativity（一般）

二、相对论诞生的背景

十九世纪末，二十世纪初，经典力学、热力学及电磁学已系统而

接于完备地建立起来，但在晴朗的物理学的天空，还飘浮着两朵“乌

云”。

绝对黑体辐射的紫外发散“灾难”——量子论

的诞生

两朵乌云迈克耳逊—莫雷实验

以太论的破灭

三、爱因斯坦建立狭义相对论的考虑（思想）

1．参照——伽利略的力学相对论，即：力学现象对一切惯性系而

言，都遵守同样的（物理）规律，即力学规律对一切惯性系都是等价

的。

但电磁场的麦克斯韦方程组在伽利略变换下却不能保持其形式的

不变性——局限性。

所谓相对论：就是物理规律在某种变换（时空座标）之下保持形

式的不变性。

在伽里略变换之下：































tt

zz

yy

utxx

或

































tt

zz

yy

utxx

)(tzyxS

系沿x轴以速度u相对于S系运动。

→相对论的诞生

7

由此：























zz

yy

xx

vv

vv

uvv

及

aa

aa

aa

aa

zz

yy

xx







































另外：mm

（与速度无关）。

amF











由，FFamF











（力学相对性）

这就是力学相对性的数学表达。

2．牛顿的绝对时空概念是伽利略变换的基本前提，但并不是力学

相对性原理的前提。

3．爱因斯坦狭义相对论基本假设（公理）

1905《运动物体的电动力学》（in）

①物理学相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同的，

亦即物理学定律与惯性系的选择无关。所有的惯性系都是等价的。

②光速不变原理：在所有惯性系中，由自空间（真空）中的光速

具有相同的量值c，与观察者及光源的运动无关。

③第一个假设说明（意味着）所有的物理定律（包括力、电、光、

热）等都应遵守同样的相对性原理——力学相对性原理的推广。这里，

相对性——在某种变换之下，所有物理规律都具有形式不变性——具

体表现为在爱因斯坦——洛仑兹变换之下许多物理量及物理方程具有

协变性。

第一假设也否定了绝对时空的存在。

④第二假设与迈一莫实验结果一致，但显然与伽利略变换不相容。

它隐含着一个前提——对于电磁波的传播来说，真空是各向同性的。

⑤爱因斯坦在他的两个基本假设的前提下，推导出正确的物理定

律相对性变换表达式。

8

洛仑兹在此之前在承认以太的基础上，也曾提出这一套变换式（错

误的前提→正确的结果）。

四、洛仑兹变换



































)(

)(

2

x

c

u

tt

zz

yy

utxx





或











































)(

)(

2

x

c

u

tt

zz

yy

tuxx





2

2

1

1

c

v





该变换式的简单推导：

如图：S

系沿S系之X轴正向运动（速度为u）。

两系原点重合的时刻，t=0，0



t，此时收射一光信号，在

)(tt

时

刻到达P点（X轴上），根据光速不变原理：

ctx，0y，0z（S系中）

tcx





，0



y，0



z（S

系中）

S系与S

系之间应有变换：



















),(

),(

txtt

txxx

或















),(

),(

txtt

txxx

因P点选在X（或X

）轴上，0



yy，0



zz，故上述变

换中无y，y

，z，z

项。该变换座是线性的（因为自S系或S

系观

察同一事件的结果座是一一对应的）。——（自S系观察到一个结果，

S系中：

),0,0,(txP

S

系中：

),0,0,(txP



9

那么自S

系也只能观察到一个结果。）

taxax

1211





taxat

2221





又t时刻，对0



x的点座有utx（同时成立）

)(

11

utxax

（1）

t

时刻，x=0的点座有tux





而有，

)(

11

tuxax









（2）

联立（1），（2）

utautxax

11

2

11

)(

ua

utaxa

t

11

2

11

2

11

)1(



（3）

由















tcx

utxax)(

11及（3）式可知：







c

aCua

Cuaua

x

2

11

2

11

2

11

22

11

2

2

11

1

1

C

u

a





于是：

)(utxx



，

)/(cxtt



其中：

2

2

2

1

1

1

1













c

u

，

cu/

。

五、结论

洛仑兹——爱因斯坦—洛仑兹变换。































)/(

)(

2

cuxtt

zz

yy

utxx











































)/(

)(

2

cxutt

zz

yy

tuxx





10

（从S系→S

系变换）（从S

系→S系变换）

对低速情况，

cu

，

0

，

1

。

故有：











































ttzzyytuxx

ttzzyyutxx

,,,

,,,

。

故伽利略变换是洛仑兹变换在低速下的极限形式。

11

洛仑兹变换（他种推导法）

一、前提：

1．物理学相对性原理

2．光速不变原理

其作用与地位。类似于平面欧几里德几何中七条公设的地位。

二、变换的特点：

1．线性（正交）变换

2．一一对应（在S系——S

系变）

并加注明：“线性变换”的限制。

“一一对应”的限制。

三、洛仑兹变换的推导

如图：S

系沿S系之X轴向右均速直线运动速度为V。

首先：

yy

，zz

。

记时起点：0



tt时两座档系原点0，0

重合，考虑0点的运

动。















)(

)(0

系中

系中

Stvx

Sx

因而：)(tvxx









①

而不可能有：n

vtxx)(

（n>1）

否则违反变换的线性及一一对应的要求。（举例：当n=2时，一头

猪变两头猪之不可能性）

再考虑0

的运动：

12

















)(

)(0

系中

系中

Svtx

Sx

如法炮制：（同0点之理）

)(vtxx



②

而不可能有n

vtxx)(







（n>1）①、②的普适性。（对任意事件）

特殊事件：

0



tt时，一光子自0点（0

点）沿x轴发射：















④)(

③)(

系中

系中

Stcx

Sctx

又

⑤



（惯性系S，S

之平权性、变换之可逆性）

将③④代入①、②并联立①、②、⑤可得：























tvctvtcct

tvcvtcttc

)()(

)()(





两式相乘：

ttvcttcc







)(

22

22

/1

1

cv



于是：

)(vtxx



；

)(tvxx









可得][

2

x

c

v

tt



故

































)(

,

)(

2

x

c

v

tt

zzyy

vtxx





2

2

1

1

c

v





其递变换：

13











































)(

,

)(

2

t

c

v

xz

zzyy

tvxx





2

2

1

1

c

v





四、其意义：洛仑兹是四维闵科斯基时空的线性正交的变换，有

了这一变换，任意其它四维矢量的SS



变换也都遵从同一变换形式。

并解释这一变换被称为洛仑兹变换的原因。

14

§20.4相对论中的长度与时间

一、①狭义相对论最基本的一点就是对经典力学的绝对时空观进

行了一次彻底的清算和深刻的革命。

②经典力学中，物体的长度和两事间的时间间隔是具有绝对意义

的，不随观察者的运动状态而变（即与观测的参考系的选择无关）。

③狭义相对论中，物体的长度依观测者所在的参考系而定，两事

件之间的时间间隔也是依观测者所在的参考系而定，因此“长度”与

“时间”只具有相对意义。

二、狭义相对论中“动尺缩短”的效应

在与动尺（一根长棒、沿X，X

轴放置）相对静止的参考系S

系

中测得棒长

120

xxl







，叫做固有长度或本征长度。

在相对于长棒运动（沿-X轴方向以-v速度运动）的参考系中（S

系），欲测棒长须同时测定两端点的坐标

2

x，

1

x，则S系中：（t时刻）

12

xxl叫运动长度或相对论长度

由洛仑兹变换：

2

2

1

1

C

v





)(

11

vtxx



)(

22

vtxx



故：)(

1212

xxxx







即：lll

0

)1(或

00

2

2

0

1

1

ll

c

v

ll



15

这就是所谓动尺缩短效应。

注意：①相对于观测者运动的方向（x轴方向）物体的长度“缩短”

了，而垂直于运动方向物体的线度（y向，z向）沿变。

②动尺缩短的效应，并不是动尺在运动方向受到某种“压缩”作

用，而是一种相对论效应，动尺的长度本来就只有相对意义，与其运

动状态有关。

③动尺缩短效应也不是一种视觉效果，不是一种观测上的错觉和

幻觉。

三、狭义相对论中“动钟变缓”效应或时间膨胀的效应

设一事件在S

系中某点





x

处发生，用固定在S

系中时钟来量

度，这事件发生于

1

t

时刻，另一事件也在





x

处发生于

2

t

时刻，两者

之间的时间间隔















12

ttt。叫做固有时间或本征时间。而从固定

在S系中的时钟测量时，前一事件在

1

t时刻发生于x

1

处，后一事件在

t

2

时刻发生于x

2

处（一般

12

xx）而：

)(

11







c

tt



，)(

22







c

tt





2

1

1







，

c

v



则











tttttt)(

1212

t：S系中观测的时间间隔；





t：固有时间；

0

t：即时间膨胀效应的表达式。

即：一时钟由一个与它作相对运动的观测者来说，就比由相对静

止的惯性系中观察时走得慢些。

四、孪生子佯谬的简单阐释

16

五、举例

①书中例题P

118

，例20-3，例20-4（P

120

）。

②球在运动时的形状（方程）。

习题册，作业布置。

§20-5相对论动力学基础

一、问题的提出：若保留质量的绝对不变性矛盾：①从牛顿力

学：

m

F

dt

dv

a若m不变，则：在恒力F作用下：

v，这与v≤c相矛盾。

所以经典力学的质量概念必须进行相对论修正。

②动量守恒等定律也将不满足相对论变换的不变性。

S系：y方向：0

0



y

P

0

00



bbaa

ymym



（碰前）

00ba

yy





0

bbaa

ymym



17

但S

系中

2

2

00

1

c

u

yy

aa







00

2

0

22

00

]/1[

/1

ba

b

bb

yy

cux

cu

yy

















若S

系中

ba

mm必导致：

||||

00ba

PP







0

00









byay

PP

同样碰后：||||

byay

PP







0







byay

PP

且

byaybyay

PPPP















00

因此：①必须对经典力学的质量的概念进行相对论的修正。

2

2

0

1

c

v

m

m



，m与物体的运动状态有关。

)(0

/

v

fmm。

②必须对牛顿经典动力学方程进行相对论修正：而保留动量的定

义。

mvP，

)(0

/

v

fmm

dt

vmd

dt

mvd

dt

dp

F

)(

)(

0





dt

dm

v

dt

dv

m

由

2

2

0

1

c

v

m

m



知：

cv时，m0

dt

dv

（F=常数）

这与cv且v≤c是自洽的（这就是）相对论的（在洛仑兹变换

下）的理论的自洽性。

满足两个前提：

①光速极限，洛仑兹变换下不变性。

18

②相对论的极限近似→回到经典力学。即：极限兼容性。

19

相对论中的同时性与因果律

一、经典力学中同时性的概念

①经典力学中，若在惯性系K中观测的两件事件，是同时发生的，

那么在惯性系

K

中的观测也是同时发生的——从伽利略变换可直接

导出。

②经典力学认为时间是绝对的，惯性系的改变不影响时间的量度。

③经典力学中，同时性具有绝对意义。

二、狭义相对论中的同时性的概念

①若在K系中观察两事件是同时发生的，那么K

系的观测就不一

定是同时发生的。

②同时性是相对的，即相对于某一K系是同时的，不存在具有绝

对意义的同时性。

三、同时性的相对性的证明

1．事件的时空表述

一事件P

1

发生于K系中t

1

时刻（x

1

,y

1

,z

1

）处，记为（x

1

,y

1

,z

1

,t

1

），

另一事件P

2

在同一K系中发生于t

2

时刻（x

2

,y

2

,z

2

）处，记为（x

2

,y

2

,z

2

,

t

2

）。

而在K

系中P

1

，P

2

分别发生于（

1111

,,,tzyx

），（

2222

,,,tzyx

）

（K

相对K系沿x轴以速度v运动）。

根据洛仑兹变换



















)(

)(

2

x

c

v

tt

vtxx





则：

)]()[(

12

2

1212

xx

c

v

tttt







若两事件在K系观测是同时发生的，即：

20





















)(

),(0

12

2

12

212112

xx

c

v

tt

PPxxtt



及两处同时发生事件

（1）

这就是说：在K系中观测到的同时发生于不同地点的两个事件，

在K

系中观测却不是同时发生的。同样，在K

系中观测到两事件发生

于不同地点，那么，按洛仑兹变换，从K系中观测它们并不同时。

从（1）式可以看出：

①同时性的相对性的问题在于信号传递需要时间，假如信号的速

度无穷大，则同时性将具有绝对意义。

②现实的日常生活中速度远小于光速，不同事件之间的空间距离

至多是太阳系的尺度，因而同时性近似具有绝对性（光速可看成

）。因此，我们未曾感觉到同时的相对性。

四、因果律及最大的信号速度

因果律的哲学含义此处不讲，我们处理的是两个事件在不同惯性

系中的先后顺序问题。设K系中事件P

1

发生于t

1

时刻x

1

处，事件P

2

发生于时刻t

2

及x

2

处，且P

2

迟于P

1

发生，即

t

2

＞t

1

按洛仑兹变换

)]()[(

12

2

1212

xx

c

v

tttt







①若t

2

＞t

1

，且：

)(

12

2

12

xx

c

v

tt（2）

则：K

系中观测也有：

12

tt





，仍然是事件P

1

发生于前，事件P

2

发生于后（先后顺序不变）。

21

②反之，若

1212

2

12

)(ttxx

c

v

tt









。

则事件P

2

在前、事件P

1

在后（先后顺序颠倒）。

③但并不是所有两事件的先后顺序都是相对的（可颠倒的）。如果

两个事件之间存在因果关系或间接的因果关系，则它们的称后次序是

绝对的——不容颠倒的。（在任何惯性系中观测都是顺序不变的）。

两个事件P

1

（x

1

,t

1

），P

2

（x

2

,t

2

），若有因果联系，则存在从

21

PP

的信号传播，该信号速度

12

12

tt

xx

u





代入（2）式：

2

cuv（保持P

1

，P

2

先后次序不变的条件）。其中v是K

系相对

于K系的运动速度。因而v也可看是一种信号速度。cv。

故：











cu

cv

保证了具有因果关系的两事件的先后次序具有绝对意

义（永不颠倒）。

因为：无数经验告诉我们：光速是物质运动（或信号传播）的最

大速度，也是一切相互作用传播的极限速度。

在以上前提下，相对论的时空观完全符合因果律的要求（即狭义

相对论在因果律问题中是自洽的）。

五、间接的因果关系问题举例

中国武汉（x

1

,t

1

）→美国纽约（x

2

,t

2

）

飞机起飞

1

P

→飞机降落

2

P



武汉t

1

时刻A男孩出生P

1

→纽约t

2

时刻B孩出身P

2

飞机的起飞→到达着陆是不可颠倒的因果关系。因而A男孩与B

孩具有严格的长幼关系（兄弟关系）。P

1

与P

2

之间具有间接的因果

关系。

例：1.在同一惯性系中不同地点同时发生两个事件，它们不存在

22

因果关系，试证明（反证）：2

12

2

12

2

12

)()()(zzyyxxl

信号传播速

)0(





t

t

l

u

故u＞c，这与光速是最大的信号传播速度矛盾。

例：在同一惯性系中同一地点不同时刻的两个事件的先后次序是

绝对的（在任何其它系中都是这一次序）。

用

)]([

12

2

1212

xx

c

v

tttt







证明。

23

相对论中的能量

前提：动量定律与功能原理

根据功能原理的相对论不变性：

外力作功=动能增量

dtvFsdFdE

k











)(dtFv







)(vmv





（动量定律）

假设vF





//，则：





vP

P

k

c

v

vm

vdmvvdE

0

2

2

0

1

)(2

1

=















































0

3

2

2

0

0

2

0

1

1

d

cm

cm

cd

=2

0

22

0

)1(cmcmcm

其中：

c

v

，

2

1

1









0

EEE

k



2

mcE——总能量：一切形式的能量均包括在内。

2

00

cmE——静能：一切形式内能总和。

0

EEE

k

——动能：由于运动而具有的动能。

2

0

2

cmmcE

k

与经典力学中动能的概念的异同：

2

0

2

2

20

1

cm

c

v

cm

E

k







)(

2

0

fcm

24

1

1

1

2

)(











f作其关于



的泰勒展开：



















4

2

2

2

)(

0

2

1

1

1

1

c

v

c

v

f







4

4

2

2

8

3

2

1

c

v

c

v

于是：



















4

4

2

2

2

0

8

3

2

1

c

v

c

v

cmE

k

2

4

0

2

0

8

3

2

1

c

vm

vm





















2

2

2

0

2

0

4

3

2

1

2

1

c

v

vmvm

2

0

2

1

vm（0













c

v

）

这就是相对论中动能概念与经典力学中动能概念的联系与区别。

爱因斯坦质能关系式发现的意义。

①在质量与能量的关系上实现了相对论基础上的统一。

质量与能量存在当量关系。

②它是现代热核反应的理论基础，现代核工业与核子技术的理论

基础之一。

质能关系2

mcE对人类无现实意义。

但2

mcE意义重大（有现实意义），需要重新理解







能量守恒与转化原理

物质不灭原理

——在质、能概念统一的前提下理解。

25

能量动量关系：

①三角关系：

222

0

2

cPEE

②







































2

00

22

0

22

2

0

2

/1

/1

cmE

h

cv

vm

mvP

cv

cm

mcE



（以光子为例讨论）

爱因斯坦光量子理论hvE与德布罗意物质波理论

p

h



在光子

的相对论能量——动量三角关系中胜利会师。

26

间隔不变性与因果关系

一、三维空间笛卡尔坐标系中两点间隔

2

12

2

12

2

12

)()()(zzyyxxd

点

),,(

1111

zyxP

，

),,(

2222

zyxP

，在三维欧氏几何中，d对于坐标

系

xyz0

的平移与转动变换是不变的。

二、四维Minkowski时空中两事件P

1

，P

2

的间隔S

12

。

2

12

22

12

2

12

2

12

2

12

)()()()(ttczzyyxxS

事件

),,,(

11111

ictzyxP→世界点P

1

),,,(

22222

ictzyxP→世界点P

2

2

12

S

可正可负亦可为零，但在洛仑兹变换下保持不变：

2

12

2

12

SS





即：2

12

22

12

2

12

2

12

)()()()(ttczzyyxx

2

12

22

12

2

12

2

12

)()()()(ttczzyyxx

































三、讨论

1．

0

2

12

2

12





SS

类时间隔

这是因为：总存在一个参考系S

，使：

12

xx





，

12

yy





，

12

zz





而有：

)0()(

2

12

22

12

2

12













ttcSS

也就是说：这两个事件在S

系中是被纯粹的时间间隔着，故谓之

类时间隔（time-like）。具有类时

．．

间隔的两事件可具有因果关系或具有

间接因果关系。（加以说明）

，:间接因果关系举例飞机起落同时,两异地小孩同时出生,其先后

27

顺序具有不可颠倒性。

:直接因果关系举例举枪伤人致死,人死不可复生，破镜不可重圆，

覆水难收。

2．

0

2

12

2

12





SS

类空间隔

此时，总存在一个参考系S

，使：

12

tt





，而有：

)0()()()(

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12





























zzyyxxSS

事件P

1

，P

2

在S

系中被纯粹的空间所间隔着，故谓之类空

．．

间隔。

具有类空间隔的两事件不可能具有直接或间隔的因果关系。（加以

说明）它们的先后顺序是可以颠倒的。

3．

0

2

12

2

12





SS

类光间隔

在任意惯性系中两事件P

1

，P

2

的间隔

0

2

12

2

12





SS

。说明两事之

间是通过光或电磁波信号相互连接的。

2

12

22

12

2

12

2

12

)()()()(ttczzyyxx

两事件之间的关系是类光的。

例举80年与90年代的科幻小说及科幻电影。所谓







时光倒流

时间隧道

时

光倒流相矛盾于时光之箭（熵增方向）。

28

一、电磁波的能量

①能量密度：2

2

1

Ew

e

，2

2

1

Hw

m



总能量密度：)(

2

1

22

HEwww

me



②辐射强度（或能流密度）的概论：

单位时间、单位截面（垂直于传播方向）的辐射能。

设v为波速

)(

2

22

HE

v

wvS

将



1

v及EHHEEHS

而S的传播方向为

HE





的方向。

故记S为S



而有：

HES





（右手系）

S



：坡印延矢量。

③振荡电偶子发射功能：







2

00

2

sinddrSP

)(cos

)4(

sin

2

22

242

0

v

r

t

vr

P

S





vr

P

S

22

242

0

)4(2

sin







)(cos

6

2

42

0

v

r

t

v

P

P





平均辐射功率：

29

v

P

P





12

42

0

——拉莫尔公式。

二、电磁振荡

①RL电路，RC电路，RLC电路，LC电路。其中，LC电

路——无阻尼自由振荡。

C

q

dt

dI

L

dt

dq

I

0

1

2

2

q

LC

dt

qd

令

LC

1

2



简谐振荡。

)cos(

0

tQq

)sin(

00

tQ

dt

dq

I

)sin(tI

m

LCT2

LC

r

1

2

1





)(cos

22

2

2

0

2

t

C

Q

C

q

e

)(sin

2

1

2

1

22

0

22tQLLI

m

)(sin

2

1

2

2

0t

C

Q

故

C

Q

WWW

me

2

2

0

=0不变。

非耗散系统。

30

②RLC电路，有阻尼的自由振荡。

0

2

2



C

q

dt

dq

R

dt

qd

L















0,,0

2

0

IQqt

c

L

R

时

时

)cos(2

0

0









teQq

t

L

R

teI

dt

dq

I

t

L

R

sin2

0



















2

2

0

0

4

11

cos

l

R

LcLc









I

R

2

称为阻尼系数。

有阻尼时（0R）频率将减少。振幅指数衰减。耗散系统

③受迫振荡

有外加驱动tsin

0

力（周期性）的情形：

t

C

q

dt

dq

R

dt

qd

Lsin

0

2

2



稳定状态解：（t）

)sin(

0

tII

22

00

0

)

1

(







C

LR

Z

I





R

C

L







1

tg



解加频率。

31

L：感抗；

C

1

：容抗；

)

1

(

C

L



：电抗；22

)

1

(





C

LRZ：阻抗。

当：



C

L





1

0

1



LC

时，

)

1

2

1

(

LC





。

电流振幅最大，R/

0

，且电流与电动势间无周期差（

0

）。

这就是电共振。

LC

r

2

1

称为共振频率（

0

r）

当

0

且0R时，振幅

0

I。

三、赫兹实验——电磁波的发射与接收

验证麦克斯韦电磁波存在的预言。