行列式相乘

（1）矩阵乘积的行列式：

引理5.2.2：一个n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个

对角矩阵

并且detA=det=

证（略）

定理5.2.5设A，B是任意两个n阶矩阵，那么

det（AB）=detAdebt

证明：1、先看特殊的情形：A是对角阵，容易得出结论

2、再看一般情形：由引理5.2.2，可以通过第三种初等变换把A化为对

角矩阵，并且，detA=det，

A也可以通过第三种初等变换得到，即：A=

型矩阵，于是

AB=B，由行列式性质，第三种初等变换不改变行列式，我没

有

det（AB）=det（B）

=det（B）

=detdet（）

=detdetB

=detAdetB

还可推广到多个的情形。

（一）矩阵乘积的行列式

引理：一个n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角

矩阵

（10）

证：如果A的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第

三种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把

A化为

如果A的第一行和第一列都是零，那么A已经具有（10）的形式.

对A进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A化为对角矩阵