线面角范围

线线角和线面角

[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。

[知识要点]：

一、线线角

1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫

做异面直线a、b所成的角.

2、范围:(0,]

3.向量知识：

对异面直线AB和CD

(1)；

(2)向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB

和CD的夹角；

(3)

二、线面角

1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围

是(0,).

2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；

直线垂直平面它们所成角为，

3、范围:[0,]。

4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成

的一切角中最小的角。

6、向量知识

（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或

者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.

[例题分析与解答]

例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，求：异面直线BA

1

与AC所成

的角.

分析：利用，求出向量的夹角

,再根据异面直线BA

1

，AC所成角的范围确定异面直线所成角.

解：∵，，

∴

∵AB⊥BC，BB

1

⊥AB，BB

1

⊥BC，

∴

∴

又

∴

∴

所以异面直线BA

1

与AC所成的角为60°.

点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，

必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.

例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥平面

ABCD，PD与平面ABCD成30°角.

(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）

解法一：

（1）证明：

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，

∵AD⊥AB，

∴AB⊥平面PAD，

∴AB⊥PD，又AE⊥PD，

∴PD⊥平面ABE，

∴BE⊥PD.

(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））

易知，

∴BH//CD.

∵G、H分别为ED、AD的中点，

∴HG//AE

则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，

而，，

，

在ΔBHG中，由余弦定理，得，

∴.

∴异面直线AE、CD所成角的大小为.

解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，

则，，，

，，

（1）证明：

∵

∴

∴

∴

（2）解：

∵

∴

∴异面直线AE、CD所成角的大小为

例3．如图，在正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，，求BE

1

与DF

1

所成角

的余弦值.

解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐

标系D-xyz，

设正方体的棱长为4，则

D(0,0,0)，B(4,4,0),E

1

(4,3,4),F

1

(0,1,4).

则，

∴，

∵.

∴

∴BE

1

与DF

1

所成角的余弦值为

点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中

的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可

以避开较为复杂的空间想象。

例4．在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱

的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.

(1)求直线AB和棱a所成的角；

(2)求直线AB和平面Q所成的角

解：如图，作AC⊥a，BD⊥a，垂足分别为C，D

分别以的单位向量为空间的基底

过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点，

∴CE⊥a，从而，得：∠ACE就是二面角P-a-Q的平面角，

∴,

依题设：设

(1)

∵,

又∵,∴

展开：

∵,

∴m2+20+8=100，从而得

∴

∴异面直线与a所成的角为.

(2)

作AF⊥EC，交EC的延长线于F，

∴a⊥平面ACE，aÌ平面Q，

∴平面ACE⊥平面Q，

从而得：AF⊥平面Q，连结FB，

则∠ABF就是AB与平面Q所成的角，

∵上的射影为，

∴，∴，

在RtΔAFB中，，

∴直线AB和平面Q所成的角为：.

反馈练习：

1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（）

A.1个B.无数个C.一个或无数个D.没有

2.已知从一点P引三条射线PA，PB，PC，且两两成60度角，则二面角A—PB—C的二面

角的余弦值是（）

A..B.C.D.不能确定

3．正方体AC

1

中，E、F分别是AA

1

与CC

1

的中点，则直线ED与D

1

F所成角的大小是（）

A、B、C、D、

4．在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为ΔABC的中心，SA=BC=2，则异面直线

EF与AB所成的角是（）

A、60°B、90°C、45°D、30°

5．已知正三棱柱ABC-A

1

B

1

C

1

中，AB=AA

1

，则直线CB

1

与平面AA

1

B

1

B所

成角的正弦值是（）

A、B、

C、D、

6、如图所示，M、N分别是单位正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中BB

1

、B

1

C

1

的中点.求MN与CD

1

所成的角.

7、如图1所示，已知正三棱柱ABC-A

1

B

1

C

1

，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.

(1)求异面直线AB

1

与BC

1

的夹角；

(2)在直线CC

1

上求一点N，使MN^AB

1

.

参考答案：

1.C.

2.B.

3.A．

如图.：

依题意，可知：

设

由三角形法则，

∴

∴

∴直线ED与D

1

F的所成的角为.

4．A．

如图设

依题意可得：，

∵

∴

∴

也就是：异面直线EF与AB所成的角是60°.

5．B．

如图取AB中点E，连结CE，

由正三棱柱可知：CE⊥平面AA

1

B

1

B.

连结EB

1

，∴∠CB

1

E就是B

1

C与平面AA

1

B

1

B所成的角

设棱长AA

1

=1，设，

依题意可得：，

∵

∴

又∵

∴，

∴，

∴直线CB

1

与平面AA

1

B

1

B所成角的正弦值是.

6、解：

∵，，

且

∴

∵，

∴

∴.

∴MN与CD

1

所成角为60°.

7、分析：利用向量理论求异面直线所成的角.

解：

(1)求异面直线AB

1

与BC

1

所成的角，就是求向量的夹角，如图2

∵正三棱柱ABC-A

1

B

1

C

1

，

∴，

依题意，

从而得：

∴

∴

(2)设，如图3，

依题意可得：

∵

也就是：

∴

即

∴，

∴当时，AB

1

⊥MN.