旋转曲面方程

.

1/19

引言

空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面.但是也可以研究一些非二次特殊曲

面.本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程.主要讨论

由直线产生的柱面和锥面,曲线产生的旋转曲面这三大类.

1.柱面

定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线

相交而移动时所产生的曲面叫做柱面〔图1〕,曲线作叫

做准线.构成柱面的每一条直线叫做母线.

显然,柱面的准线不是唯一的,任何一条与柱面所有母

线都相交的曲线都可以取做柱面的准线,通常取一条平面曲

线作为准线.特别地,若取准线为一条直线,则柱面为一平

面,可见平面是柱面的特例.

下面分几种情形讨论柱面的方程.

1.1母线平行于坐标轴的柱面方程

选取合适的坐标系,研究对象的方程可以大为化简.设柱面的母线平行于z

轴,准线为

Oxy

面上的一条曲线,其方程为：

,0

0

fxy

z















又设,,Pxyz为柱面上一动点〔图2〕,则过点P与z

轴平行的直线是柱面的一条母线,该母线与准线的

交点记为,,0Mxy,因点M在准线上,故其坐标应满

足准线方程,这表明柱面上任一点,,Pxyz的坐标满

足方程,0fxy

反过来,若一点,,Pxyz的坐标满足方程,0fxy,过P作z轴的平行线

交Oxy面于点M,则点M的坐标,,0xy满足准线的方程,0,0fxyz,这



x

z

y

O

,,Pxyz

,,0Mxy

图2

图1



.

2/19

表明点M在准线上,因此直线MP是柱面的母线<因为直线MP的方向向量为

0,0,||0,0,1z>,所以点P在柱面上.

综上所述,我们有如下结论：

母线平行上于z轴,且与

Oxy

面的交线为,0,0fxyz的柱面方程为：

,0fxy〔1〕

它表示一个无限柱面.若加上限制条件azb,变得它的一平截段面.

同理,母线平行于x轴,且与

Oyz

面的交线为,0,0gyzx的柱面方程为

,0gyz；母线平行于y轴,且与Ozx面的交线为,0,0hxzy的柱面方程

为,0hxz.

定理1：凡三元方程不含坐标,,xyz中任何一个时必表示一个柱面,它的母线

平行于方程中不含那个坐标的坐标轴.

应该注意,如果母线不平行于坐标,柱面方程就要包含所有的坐标.

例1：以

Oxy

面上的椭圆

22

22

1,0

xy

z

ab

,双曲线

22

22

1,0

xy

z

ab

和抛物

线22,0yPxz为准线,母线平行于z轴的柱面方程分别为

它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面,由于它们的准线是二次曲线,故又

统称为二次柱面,其图形见〔图3〕.

例2：证明,若柱面的准线为

母线方向为,,0Vlmnn,则柱面方程为

,0

lm

fxzyz

nn









〔2〕

z

x

y

o

x

y

z

o

o

y

x

z

图3

.

3/19

证：设

111

,,0Pxy为准线上一点,则过此点的柱面母线的参数方程为：

11

,,xxlyymzn〔为叁数〕①

当点

1

P遍历准线上的所有点,那么母线①就推出柱面,消去参数,由①式中最

后一个式子得

z

n



,代入其余两个式子,有

因点

1

P在准线上,代入

11

,0fxy,即得<2>式

若柱面的准线为



1

,0

:

0

fxz

y

















母线方向为{,,}0Vlmnm

则柱面方程为：

1

:,0

ln

fxyzy

mm









〔3〕

若柱面的准线为：



2

,0

:

0

fyz

x

















母线方向为{,,}0Vlmnl

则柱面方程为

2

:,0

mn

fyxzx

ll









〔4〕

1.2柱面的一般方程

设柱面的准线是一条空间曲线,其方程为

母线方向为,,lmn,在准线上任取一点

1111

,,Pxyz,则过点

1

P的母线方程是：

11

,,xxlyymzn〔为叁数〕

这里,,xyz是母线上点的流动坐标.因点

1

P的坐标应满足：

从上面这两组式子中消去参数,最后得一个三元方程

,,0Fxyz<5>

这就是以为准线,母线的方向数为,,lmn的柱面方程.

例3：柱面的准线是球面2221xyz与平面0xyz的交线,母线方向

.

4/19

是1,1,1,求柱面的方向.

解：设

111

,,xyz是准线上任一点,则过这点的母线方程为

由此得

111

,,xxyyzz

代入准线方程,得

2221

30

xyz

xyz



















消去参数,得

222

1

333

xyzxyzxyz

xyz











展开,化简后得22223xyzxyyzzx

这就是所求的柱面方程.

1.3柱面的参数方程

设柱面的准线的参数方程为：：







xft

ygtatb

zht

















母线方向为,,lmn又设

1111

,,Pftgtht是准线上的一点,则过

1

P的母

线方程为



111

,,xftlygtmzhtn〔为参数〕

令

1

P在准线上移动,即让

1

t取所有可能的值,并让取所有可能的值,则由上式

决定的点,,xyz的轨迹就是所求的柱面.因此,柱面的参数方程是：







xftl

atb

ygtm

zhtn







































〔6〕

例4：设柱面的准线为：

cos

sin02

0

xa

yb

z





















母线方向为{0,1,1},求柱面的方程.

.

5/19

解：由<6>式,柱面得参数方程为：

cos

02

sin

xa

yn

z









































从上式中消去参数和,得住面的一般方程

2

2

22

1

yz

x

ab





1.4由生成规律给出柱面的方程

有时不给出柱面的准线,只给出生成规律下面举一例.

例5：求以直线q为轴,半径为r的圆柱面

方程,其中直线q通过点

0000

,,Pxyz,方向向

量为{,,}Vlmn.

解：设,,Pxyz为所求柱面上的一点〔图

4〕,按题意P到q的距离为PMr,设

0

PPM,按向量的定义有

两端平方即得所求柱面的向量是方程：

22

2

0

PPVrV①

写成坐标式,即

2222rlmn

②

若利用公式22

22

000

PPVPPVPPV③

则②式又可写成

2222rlmn或

=

2

000

222

lxxmyynzz

lmn









特别地,若取直线q为z轴,令

000

0xyz,则比时柱面方程为222xyr.

M

r





0000

,,Pxyz

y

x

z

O

,,Pxyz

000:

xxyyzz

q

lmn





图4

.

6/19

1.5曲线的射影柱面

定义2：设是一条空间曲线,



为一平面,经过上每一点作平面的垂线,

由这些垂线构成的柱面叫做从到



的射影柱面

〔图5〕

显然,在



上的射影就是从到



的射影柱

面与



的交线.通常我们将平面



取为坐标平面.

给定空间曲线





1

2

,,0

:

,,0

Fxyz

Fxyz

















那么怎样求曲线到

Oxy

平面上的射影柱面方

程？因为这个柱面的母线平行于z轴,因此它的方

程中不应含变量z,这样只要消去z即从的某一

个方程中解出z来,把它代入另一个方程中,就得

到从向

Oxy

面的射影柱面方程：

同理,曲线在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：

因为射影柱面方程比一般三元方程简单,所以常用两个射影柱面方程来表示

空间曲线.具体做法是：从曲线的方程中轮流消去变量,xy与z,就分别得到它

在

Oyz

面,

Ozx

面和

Oxy

面上的射影柱面方程,然后于这三个柱面方程中选取两个

形式简单的联立起来,那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图.

例6：求曲线22

2222:1,111xyxxyz在

Oxy

面上的射影.

解：欲求曲线在Oxy面上的射影,需先求出曲线到Oxy面上的射影柱面,这又

须从曲线方程消去z,由的第一个方程减去第二个方程并化简得

1yz

或

1zy

将1zy代入曲线的方程中的任何一个,得曲线到Oxy面的射影柱面：

故两球面交线在Oxy面的射影曲线方程是

2220

0

xyy

z











这是一椭圆.



图5



.

7/19

2.锥面

定义3：通过一定点

0

P且与一条曲线相交的一切直线所构成的曲面叫做锥

面〔图6〕,定点

0

P叫做锥面的顶点,定曲线叫做锥面的准线,

构成锥面的直线叫做锥面的母线.

由定义3,可见,锥面有个显著的特点：顶点与曲面上任意

其它点的联线全在曲面上.

显然,锥面的准线不是唯一的,任何一条与所有母线相交

的曲线都可以作为锥面的准线.通常取一条平面曲线作为准

线.

下面分几种情形讨论锥面的方程：

2.1顶点在原点,准线为平面曲线的锥面方程

设锥面的准线在平面

zh

上,其方程为

,0

:

fxy

zh

















又设,,Pxyz为锥面上一动点〔图

7〕,

111

,,Pxyh为准线上一点,且P、

1

P、

O

三

点共线,则

1

OPOP或

11

{,,}{,,}xyzxyh即

11

,,xxyyzh

,于是

11

,

xhxyhy

xy

zz



.

由于

11

,xy应满足

11

,0fxy,可见,,xyz应满足方程：

反过来,若一点P



的坐标,,xyz满足方程<1>,则将上式逆推可知,点P



在过

点O与

1

P的直线上,因而在锥面的母线上,即点P



是锥面上的点.

因此,以原点为锥顶,准线为,0,gyzxk或,0,hxyym的锥面方

程分别为：

0

P



图6

O

x

z



P



111

,,Pxyh

y

图7

.

8/19

例7：采用上式易知,以原点为锥顶,准线为椭圆

22

22

1

xy

ab

zh















双曲线

22

22

1

xy

ab

zh















和抛物线

22yPx

zh











的锥面方程分别是：

2222

2222

1111

1,1

hhhh

xyxy

azbzazbz









和

2

20

hh

yPx

zz









即

222222

222222

,

xyzxyz

abhabh

和220hyPxz.

这三个二次方程都是关于x、y、z的二次齐次方程,因此统称为二次锥面〔图

8〕.

2.2锥面的一般方程

设锥面的准线为一空间曲线：





1

2

,,0

:

,,0

Fxyz

Fxyz

















顶点

0

P的坐标为

000

,,xyz.又设

1111

,,Pxyz为准线上一点,则过点

1

P的母线方程

为：

zh

z

y

x

O

y

x

z

zh

O

图8

y

z

x

O

zh

222

222

xyz

abh



222

222

xyz

abh

220hyPxz

.

9/19

因为

1

P在准线上,故应有





1111

2111

,,0

,,0

Fxyz

Fxyz



















000

1

000

2

111

,,0

111

,,0

xxyyzz

F

xxyyzz

F









































〔7〕

从以上一组方程中消去可得,,0Fxyz

这就是以为准线

0

P为顶点的锥面方程.

例8：锥面的顶点在原点,且准线为

22

22

1

xy

ab

zc















求锥面的方程.

解：设

1111

,,Mxyz为准线上的任意点,那么过

1

M的母线为

111

xyz

xyz

①

且有

22

11

22

1

xy

ab

②

1

zc③

由①、③得

11

,

xy

xcyc

zz



④

④代入②得所求的锥面方程为

222

222

0

xyz

abc



这个锥面叫做二次锥面.

定理2：关于,,xyz的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面.

证：设,,0Fxyz是关于,,xyz的n次齐次方程,点

1111

,,Pxyz是方程所表

示的曲面上的任意一点〔但不是原点〕,那么

连结

1

OP,在此直线上任取一点,,Pxyz,因为

1

OPtOP,故有

把点P的坐标代入曲面的方程,利用F是n次齐次函数,有

这表示直线

1

OP上任何点都在曲面上,因而是由过原点的动直线构成的,这就

.

10/19

证明了它是一个以原点为顶点的锥面.

推论：关于

000

,,xxyyzz的齐次方程表示以

000

,,xyz为顶点的锥面.

证：平移坐标轴,以

000

,,xyz为新原点,利用定理<2>即得证明.

例9：求顶点在

0

0,,0Pb,准线为

22

22

:1,0

zx

y

ca

的锥面方程.

解：设,,Pxyz是锥面上一动点,则母线

0

PP的方程为

11

,,xxybbzz〔为叁数〕

其中

111

,0,Pxz为母线

0

PP与准线的交点,从上式可解得交点

1

P的坐标

由此可解得

yb

b

,将点

1

P的坐标代入准线方程中,得

22

2222

1

zx

ca

或

22

2

22

0

zx

ca

此即

2

22

222

0

yb

zx

cba

这就是所求的锥面方程.

2.3锥面的参数方程

设锥面的准线的参数方程为

:

xft

ygtatb

zht

顶点为

0000

,,Pxyz,又设

1111

,,Pftgtht为准线上一点,则母线

01

PP的参数

方程为

当点

1

P在准线上移动时,母线

01

PP的轨迹就是锥面,因此锥面的参数方程是

0

0

0

1

1

1

xxft

atb

yygt

zzht

〔8〕

从<8>式可见,锥面有两叶,0是一叶,0是另一叶.

例10：已知锥面的顶点为0,0,0,准线为

.

11/19

求它的方程.

解：由<8>式,所求锥面的参数方程是

cos

02

sin

xa

yb

zc

〔9〕

消去参数和,就得所求锥面的一般方程,它是二次锥面

222

222

xyz

abc

〔9〕

2.4由生成规律给出锥面的方程

定义4：已知一定直线q上的一定点

0

P,过空间一点P与

0

P作直线使与q所成

锐角等于定角,则动点P的轨迹叫做<直>圆锥面,q叫做锥面的轴,锐角叫做

半锥项角,定点

0

P叫做锥顶.

例11：求以000:

xxyyzz

q

lmn

为轴,

半锥角为的圆锥面方程.

解：设,,Pxyz为所求圆锥面上的一

点,

0000

,,Pxyz为锥顶<图9>.

0

PP与q的夹角为

的条件是：

00

PPPPcos

〔10〕

其中{,,}lmn为直线q的方向向量,

0000

{,,}PPxxyyzz.

方程<10>即为所求圆锥面的向量式方程,写成坐标形式是：

2

000

0lxxmyynzz〔10〕

它是关于

000

,,xxyyzz的二次齐次式,因而是二次锥面.两个特例是:

1以原点0,0,0为锥项,且轴的方向为{,,}lmn的锥面方程为

2

2222222cos0lmnxyzlxmynz〔11〕

0000

,,Pxyz

,,

P

xyz

z

x

y

o

000:

xxyyzz

q

lmn





图9

.

12/19

若设l、m、n为方向余弦,则<11>式简化为

2

2222cos0xyzlxmynz〔

11

〕

2

以原点0,0,0为锥顶,z轴为轴,为半锥项角的圆锥面方程是〔此时

{,,}{0,0,1}lmn

〕：

22222cos0xyzz

或

2222222cos1cossinxyzz

此即2222tanxyz〔12〕

其图形见图10

例12：求以原点为顶点且过三条坐标轴的

圆锥面方程.

解：设将过原点且方向角为



、、的直

线q取作轴,因为所求圆锥面包含三条坐标轴,所以它的轴必与三条坐标轴交成等

角,因而有

coscoscos

,但222coscoscos1,故有

3

cos

3

,

3

cos

3

,

3

cos

3

.根据不同的符号,q的位置共有四种,且分

别在八个封限内,但圆锥的半锥顶角满足2

1

cos

3



〔因为此时

2222

1

coscoscoscos

3



〕.

1设q位于第Ⅰ、Ⅶ封限,则有

3

coscoscos

3



写出母线方向

{,,}xyz

与

{cos,cos,cos}成角为的条件：

由此出锥面的方程为：0xyyzzx

此时轴的方程是：xyz

2设q位于第Ⅱ、Ⅷ封限内,同理得锥面的方程为：

此时轴的方程是：xyz

3设q位于第Ⅲ、Ⅴ封限内,则锥面方程为：0xyyzzx

y

x

z





直圆锥面：2222tanxyz

图10

.

13/19

且轴的方程是：xyz

4设q位于第Ⅳ、Ⅵ封限内,则锥面方程为：

0xyyzzx

且轴的方程是：xyz

3.旋转曲面

定义5：一条曲线绕一条定直线q

旋转而产生的曲面叫做旋转曲面〔图11〕,

曲线叫做旋转曲面的母线,直线q叫做

旋转轴,上每一点在旋转过程中生成的

圆叫做纬线圆或平行圆.

当为直线时,若与轴平行,则旋转

曲面是〔直〕圆柱面；若与轴相交时,旋转曲面是〔直〕圆锥面；若与轴垂直,

则旋转曲面是平面〔图12〕,因此圆柱面、圆锥面,还有平面都可看作是旋转曲面

的例子.

下面分几种情形讨论旋转面的方程：

3.1旋转曲面的一般方程

设旋转曲面的母线是一条空间曲线1

2

,,0

:

,,0

Fxyz

Fxyz

旋转轴q是过点

0000

,,Pxyz,方向为{,,}lmn的直

线

又设

1111

,,Pxyz是母线上任意一点,,,Pxyz是过

q

纬线圆

旋转曲面

图11

q

q

q

0

P

图12



y

z

x

1

P

P

C

0

P

O

000:

xxyyzz

q

lmn





图13

.

14/19

1

P的纬线圆〔它的圆心是q上的一点〕上的任意一点〔图13〕,则

1

,qCPqCP且

1

CPCP

1001

,PPqPPPP,所以有

111

0lxxmyynzz①

222

101010

xxyyzz

②

②式表示以

0

P为中心,以

01

PP为半径的球面,而①式表示通过点

1

P且垂直于轴

q的平面.所以①和②联立表示通过

1

P的纬线圆.又因点

1

P在母线上,故有

11112111

,,0,,,0FxyzFxyz③

由三式①、②、③消去

111

,,xyz,即得旋转曲面方程：

,,0Fxyz〔13〕

例13：求直线

1

122

xyz

绕直线:qxyz旋转所得的旋转曲面方程.

解：设,,Pxyz是旋转曲面上的任意一点,过P作

轴xyz的垂直平面,交母线

1

122

xyz

于一点

1

P

111

,,xyz〔图14〕,因为旋转轴通过点,不妨取原点

为

0

P,于是由上述,过点

1

P的纬线圆方程是：

由于点

1

P在母线上,故

111

1

122

xyz

或

1111

21,21yxzx⑥

⑥代入④

因此

上式代入⑤,得22

222

18

41

2525

xyzxyzxyz

这就是所求的旋转曲面方程.

在实际运用中,我们常把旋转轴取为坐标轴.特别地,若母线是一条平面曲线,

我们又常把母线所在的平面取作一坐标面,旋转轴取作该平面内的某一坐标轴,这



0

0,0,0P

,,Pxyz



1111

,,Pxyz

c

1

122

xyz



:gxyz

图14

.

15/19

时旋转曲面的方程具有较简形式.

3.2平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面

设是坐标平面

Oxy

上的曲线〔图15〕,,

它的方程是

旋转轴为z轴：

001

xyz

,如果

111

,,POyz为

母线上的一点,那么过

1

P的纬线圆方程为：

且有

11

,0gyz③

从上面两组式子消去参数

11

,yz,具体做法是：

将①代入②,得

将22

1

yxy与

1

zz代入⑦即得



22,0gxyz

〔14〕

同样,把曲线绕y轴旋转所得的旋转曲面的方程是：



22,0gyxz〔15〕

同理可知,坐标平面Ozx上的曲线:,0,0hxzy

绕x轴或z轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：



22,0hxyz和

22,0hxyz

Oxy

面上的曲线:,0,0fxyz

绕x轴或y轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：



22,0fxyz和

22,0fxzy

因此,我们有如下结论：

定理3：当坐标平面上的曲线绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时,只要将

曲线在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标,而以其余两个变量的平方和

的平方根去替换方程中的另一坐标,即得旋转曲面的方程.

例14：将Oxy面上的圆2

22:,0Cxayrzar绕y轴旋转,求所得



1

P

z

y

x

O

图15

.

16/19

旋转曲面的方程.

解：因为绕y轴旋转,所以方程2

22xayr中保留y不变,而x用

22xz代替,即得旋转曲面方程为：



2

22222xzayr

,即22222222xyzaraxz

,或

这

样

的

曲

面

叫

做

圆

环

面

〔图16〕,它的形状象救生圈.

3.3旋转二次曲面

例15：圆222:,0Cxyrz绕x轴旋转所得的曲面方程为：



2

2222xyzr

,即2222xyzr

它是以原点为中心,r为半径的球面.

例16：椭圆：

22

22

1,0

xy

z

ab

分别绕长轴〔即x轴〕与短轴〔即y轴〕旋

转二的的旋转曲面方程分别为：

222

22

1

xyz

ab





〔16〕

222

22

1

xzy

ab





〔17〕

O

x

y

z

x

y

O

a

r

2

22xayr

图16

.

17/19

曲面〔16〕叫做长形旋转椭球面〔图17〕,曲面〔17〕叫做扁形旋转椭球面

〔图18〕.

在研究地球时,常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面；有些锅炉为了减轻

蒸汽对炉壁的冲击力,而把它做成旋转椭球面的形状.

例17：将双曲线

22

22

1,0

yz

x

bc

,绕虚轴〔即z轴〕旋转的曲面方程为：

222

22

1

xyz

bc



〔18〕〔图19〕

绕实轴〔即y轴〕旋转的曲面方程为：

222

22

1

yxz

bc



〔19〕〔图20〕

z

x

y

222

222

1

xyz

abb



长形旋转椭球面〔图17〕

222

222

1

xyz

aba



y

z

x

扁形旋转椭球面〔图18〕

.

18/19

曲面〔18〕叫做旋转单叶双曲面,曲面〔19〕叫做旋转双叶双曲面.

旋转单叶双曲面在工程技术中很有用.例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建

成旋转单叶双曲面的形式.

例18：将抛物线22,0ypyx,绕它得对称轴〔即

z轴〕旋转的曲面方程为：

222xypz〔20〕

它叫做旋转抛物面.〔图21〕

旋转抛物面有着广泛的用途,如探照灯,车灯和太阳

灶的反光面就是这种曲面.为了保持发射与接收电磁波

的良好性能,雷达和射电望远镜的天线多做成旋转抛物

面.

参考文献

[1]朱德祥,朱维宗.新编解析几何[M].西南师X大学,1989:342～

367

[2]章学诚.解析几何[M].大学,1989：274～324

[3]X冠之,唐宗李.空间解析几何[M].：中央民资学院,1989：213～294

[4]方德植.解析几何[M].：高等教育,1986：156～171

[5]陈明.解析几何讲义[M].：高等教育,1984：213～237

[6]汪国鑫.解析几何[M].##大学,1989：133～180

222

222

1

xyz

abc



z

y

x

o

旋转双叶双曲面

图20

y

x

z222

222

1

xyz

abc



图19

旋转单叶双曲面

z

y

x

o

旋转抛物面〔图21〕

.

19/19

[7]朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何学[M].：师X大学,1984：133～175