平面法向量

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(43)平面法向量的求法及其应用

嵩明县一中吴学伟

引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳

和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特

别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、

证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何

题将会变得更加轻松。

一、平面的法向量

1、定义：如果



a，那么向量



a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类

（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法

方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量

(,,1)nxy

[或

(,1,)nxz，或(1,,)nyz]，在平面内任找两个不共线的向量,ab。由n，得

0na且0nb，由此得到关于,xy的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个zyx,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是zyx,,

的一次方程。0DCzByAx

)0,,(不同时为CBA，称为平面的一般方程。其法向

量),,(CBAn



;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(

321

cPbPaP,如图所示,

则平面方程为:1

c

z

b

y

a

x

,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的

法向量。

方法三(外积法):设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积



ba为一长

度等于sin||||



ba，（θ为,两者交角，且0

），而与,皆垂直

的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方

向时，大拇指所指的方向规定为



ba的方向,



abba。

:),,,(),,,(

222111

则设zyxbzyxa















2

1

y

y

ba,

2

1

z

z

2

1

x

x

,

2

1

z

z

2

1

x

x









2

1

y

y

（注：1、二阶行列式:

c

a

Mcbad

d

b

；2、适合右手定则。）

例1、已知，)1,2,1(),0,1,2(



ba，

图1-1

C

1

C

B

y

F

A

D

x

A

1

D

1

z

B

1

E

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试求（1）：;



ba（2）：.



ab

Key:(1))5,2,1(



ba;)5,2,1()2(



ab

例2、如图1-1,在棱长为2的正方体

1111

ABCDABCD中，

求平面AEF的一个法向量n。

二、平面法向量的应用

1、求空间角

(1)、求线面角：如图2-1，设



n是平面的法向

量，

AB是平面



的一条斜线，A，则AB与平面



所成的角为：

图2-1-1:.

||||

arccos

2

,

2











ABn

ABn

ABn





图2-1-2:

2

||||

arccos

2

,

















ABn

ABn

ABn

(2)、求面面角:设向量



m，



n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：

||||

arccos,













nm

nm

nm（图2-2）;

||||

arccos,













nm

nm

nm(图2-3)

两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2

中，



m的方向对平面而言向外，



n的方向对平面而言向内；在图2-3中，



m的方向对

平面



而言向内，



n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外



β

α



m

图2-2



n





m

α

图2-3



nβ

|,cos|sin



ABn

)2,2,1(:



AEAFnkey法向量

A

B

α

图2-1-2



C



n

图2-1-1

α



B



n

A

C

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积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法

向量的夹角即为二面角l的平面角。

2、求空间距离

（1）、异面直线之间距离:

方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量



a、



b，

求a、b的法向量



n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；

②在直线a、b上各取一点A、B，作向量



AB；

③求向量



AB在



n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为

||

||









n

nAB

d,其中bBaAbnan



,,,

（2）、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A

为平面α内任一点，平面的法向量为

n

，则点P到

平面α的距离公式为

||

||









n

nAB

d

（3）、直线与平面间的距离:

方法指导：如图2-6,直线

a

与平面



之间的距离：

||

ABn

d

n



，其中aBA,。n是平面的法向量

（4）、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面,之间的距离：

||

||









n

nAB

d，其中,AB。n是平面、的法向量。

3、证明

（1）、证明线面垂直：在图2-8中,



m向是平面的法向量，



a是

直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（



am）。

（2）、证明线面平行：在图2-9中,



m向是平面的法向量，



a是直线a

图2-4

n

a

b

A

B

图2-10

β

α



m



n

图2-9

α



m

a



a

图2-8

α

a



m

a

图2-7

α

β

A

B



n

n

A

a

B

α



n

图2-6

图2-5



n

A

α

M

B

N

O

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的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0



am）。

（3）、证明面面垂直：在图2-10中，



m是平面的法向量，



n是平面的法向量，证明两

平面的法向量垂直（0



nm）

（4）、证明面面平行：在图2-11中,



m向是平面的法向量，



n是平

面的法向量，证明两平面的法向量共线（



nm）。

三、高考真题新解

1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）

已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，

PADAB,90底面ABCD，且PA=AD=DC=

2

1

AB=1，

M是PB的中点

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz

如图所示.

)1,0,0().(



API，)0,0,1(



AD，设平面PAD的法向量为)0,1,0(



ADAPm

)0,1,0(



DC又，)1,0,1(



DP，设平面PCD的法向量为)1,0,1(



DPDCn

0



nm，



nm，即平面PAD平面PCD。

).(II

)0,1,1(



AC，)1,2,0(



PB，

5

10

arccos

||||

arccos,













PBAC

PBAC

PBAC

).(III)

2

1

,0,1(



CM，)0,1,1(



CA，设平在AMC的法向量为

)1,

2

1

,

2

1

(



CACMm.

又)0,1,1(



CB,设平面PCD的法向量为)1,

2

1

,

2

1

(



CBCMn.

)

3

2

arccos(

||||

arccos,













nm

nm

nm.

面AMC与面BMC所成二面角的大小为)

3

2

arccos(.]

3

2

arccos[或

图2-11

α



m

β



n

图3-1

C

D

M

A

P

B

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2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分)

如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

已知AB＝AA1＝a，BC＝2a，M是AD的中点。

(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

).(I

)0,0,2(aBC



,),,0(

1

aaBA



,设平面A

1

BC的法向量为

)2,2,0(22

1

aaBABCn



又)0,0,2(aAD



,0



ADn,



nAD,即AD//平面A

1

BC.

).(II

),0,

2

2

(aaMC



,)0,,

2

2

(

1

aaMA



,设平面A1MC的法向量为:

)

2

2

,

2

2

,(222

1

aaaMAMCm



,

又),,2(

1

aaaBD



,),,0(

1

aaBA



,设平面A1BD1的法向量为:

)2,2,0(22

11

aaBABDn



,

0



nm,



nm,即平面A

1

MC平面A

1

BD

1

.

图

3-2

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).(III设点A到平面A1MC的距离为d,



)

2

2

,

2

2

,(222

1

aaaMAMCm



是平面A

1

MC的法向量,

又)0,0,

2

2

(aMA



,A点到平面A1MC的距离为:a

m

MAm

d

2

1

||

||











.

四、

五、用空间向量解决立体几何的“三步曲”

(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何

知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几

何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

（进行向量运算）

（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）