矢量积

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

1.三重标量积

如a，b和c是三个矢量，组合abc叫做他们的

三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边

所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐

标轴向的三个单位矢量标记为

,,ijk，令三个矢量

的分量记为



123123

,,,,,aaaabbbb及



123

,,cccc则有

123

123123123

123123

ccc

ijk

abcaaacicjckaaa

bbbbbb



因此，三重标量积必有如下关系式：

abcbcacab即有循环法则成立，这就是说

不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结

果相等。

2.三重矢量积

如a，b和c是三个矢量，组合abc叫做他们的

三重标量积，因有

()()()abcacbcba

故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量

时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个

重要的性质（证略）:

()()abcabcacb

（1-209）

将矢量作重新排列又有：

abcbacbac

（1-210）

3.算子（a）

是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（a）则是

一个标量算子，将它作用于标量，即()a是在a

方向的变化速率的a倍。如以无穷小的位置矢量

dr代替以上矢量a，则

()dr是在位移方向dr的变化率的dr倍，即d。

()ddrdr

若将()dr作用于矢量v，则()drv就是v再位移方向

dr变化率的dr倍，既为速度矢量的全微分

dvdrv

应用三重矢量积公式（1-209）

00

()()()()abababbaabbaab

应用三重矢量积公式（1-210）又有

0

0

()()()()abababababbaba

将以上两式结合（相减）后可得

1

()()()()()

2

abababbaabbaab

一个重要的特例，令abv，因

0vv则有

2

1

()()

2

vvvvv

4.算子



的应用

令是标量，a是矢量，;ab为并矢量，则有

0

0

0

0

2

000

()()()()()

()()()()

()()

(;)(;)(;)()()

aaaaa

aaaaa

aaa

abababbaab













在直角坐标中，令

222

2

222

()

xyz

y

x

z

xyz

xyz

aiajaka

ijk

xyz

a

a

a

a

xyz

ijk

a

xyz

aaa

xyz

aaaa

xyz













































对一组正交曲线坐标系123

(,,)，其单位矢量

123

(,,)eee，将任意位置矢量R变分写为

111222333

Rhdehdehde

其中123

,,hhh为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐

标中，Rdxidxjdxk，所以123

1hhh。在柱坐标(,,)rz

中，因rz

Rdrerdedze



，所以132

1,hhhr。在球坐标

(,,)r中，因sin

r

Rdrerdere



，所以

123

1,,sinhhrhr。

在任意正交曲线坐标系中，令是标量，矢量

112233

aaeaeae，则有

3

12

112233

231312231

123133

112233

123123

112233

()()()

1

1

e

ee

hhh

hhahhahha

a

hhh

hehehe

a

hhh

hahaha







































单位矢量的旋度和散度为

3

211

1

133122

23

1

1231

2

2331

12

3

(1,2,3)

()

1

(1,2,3)

1

()()()

e

ehh

e

hhhh

hh

e

hhh

hhhh

hh

hhhhhh







































轮换

轮换

123

(,,)nnnn方向梯度n作用于矢量a为







33

2121

111213

12213131

333

222

122321

23323112

33

1122

333132

31132323

()()

()()

()()

ah

ahhh

naenannnn

hhhh

aah

hhh

enannnn

hhhh

hh

ahah

enannnn

hhhh

















































笛卡尔张量

1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号

以1

(1,2,3)xi表示笛卡尔直角坐标系的坐标，1

(1,2,3)ii

表示三个坐标轴方向单位矢量。令123

(,,)xxx，定义

求和约定的写法为123

123

i

i

ddxdxdxdx

xxxx









式中

重复下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字

母可以任意更换，j

j

dx

x



和i

i

dx

x



具有相同的效果。

使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使

用不能超过两次。

克罗克尼尔（Kroneker）符号定义为

0,

1,ij

ij

ij















在笛卡尔直角坐标系中，有12

,,3,i

ijijijijij

j

x

iixx

x









单位矩阵也可以表示为

111213

212223

313233

100

010()

001

ij

I





























轮转符号定义为

0,,,

1,,,1,2,3

-1,,,1,2,3

ijk

ijk

ijk

ijk















当中有两个相同时

当为顺序轮转排列时

当为非轮转顺序排列时

例如2321213

1,1。采用轮转符号ijk

可

使运算的书写简化，如

123

123

123

i

ijkjki

iii

abaaaab

bbb



或

123

123

123

()

()

i

iijkjki

k

ijki

j

abab

iii

v

vi

xxxx

vvv





























或

()()k

iijk

j

v

v

x









2.笛卡尔张量定义

在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本

身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系

中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个

适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维

空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三

个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢

量亦称为一阶张量。若有一个量（如应力）在

任一点处有三个矢量分量123

,,ppp即这个量具有九

个分量。这个量在任何坐标系中都为一个量，

而它们的9个分量在不同的坐标系中有不同的

分量，但它们存在一定的变换关系，则这个量

称为二阶张量，常简称为张量。在三维空间中被

称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因

为它们分别有0123,3,3个分量，而称之为零阶，一阶，

二阶张量，并可由此类推到n阶张量。

笛卡尔二阶张量所确定的三个矢量的分解式

为

112233

1111212313

2121222323

3131232333

ipipip

pipipip

pipipip

pipipip









则张量可用9个张量元素来定义，可写成如下

的矩阵形式

111213

212223

313233

ppp

ppp

ppp













或写成张量的九项式：,,1,2,3

ijij

iipij

如111213

1,0()

ij

ppppij



，则为单位张量

如果张两分两满足条件ijji

pp，则这个张量叫对称

张量。如果张两分两满足条件ijji

pp，则这个张

量叫反对称张量。若将张量的分量ij

p与ji

p互易

位置后的张量，则称该张量的共轭张量，并以c



表示：

112131

122232

132333

c

ppp

ppp

ppp













3.并失

为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失ab

写成;ab。令3

,aiaiaiabibibib，则并失亦有9

个分量，写成矩阵形式为

111213

212223

313233

;

ababab

ababababab

ababab













，并失

为二阶张量。必须注意，并失;ab与;ba是不同的

111213

212223

313233

;

bababa

babababa

bababa













，由此可见;ba是并失;ab的共轭张量。

矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量：

3

12

111

3

12

222

3

12

333

;

a

aa

xxx

a

aa

gradaa

xxx

a

aa

xxx







































考虑矢量123

()(,,)araxxx的无穷小增量，因

111

1123

123

222

2123

123

333

3123

123

aaa

dadxdxdx

xxx

aaa

dadxdxdx

xxx

aaa

dadxdxdx

xxx



















故/dadr为具有九个分量的二阶张量

3

12

111

3

12

222

3

12

333

a

aa

xxx

a

aa

da

xxx

dr

a

aa

xxx







































因可将da表示为张量/dadr与矢量dr的点乘，

(;)

da

dadrdrgradadra

dr



应用并失运算法则又有(;)();()dadradradra

对标量函数()r类似的有ddrgraddr

并失运算服从如下四个运算法则

（1）结合律法则;;(;);;(;)abcabcabc连续的并失积

可以任何方式加上括号而不改变结果。

（2）标量率法则;();(;)ababab标量在并失运

算中可以提到任何一个位置。

（3）缩并率法则两个矢量点乘为一个标量，一

个并失（张量）与一个矢量点乘则为一个矢量，

表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个

过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，可知

并失与矢量的点乘后为一矢量：(;);()()abcabcbca

如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并

失(;)(;);();()(;)abcdabcdbcad

（4）分配律法则;();;abcabac

4.张量的梯度，散度和格林定理

零阶张量（标量）的梯度是矢量，一阶张量（矢

量）的梯度是二阶张量，一次类推，二阶张量的

梯度必为三阶张量。

设A是二阶张量，其分量123

(,,)

ijji

AAxxx，定义,

ij

ijk

k

A

A

x







表示ij

A对k

x求偏导数。

梯度符号是一矢量算子，

123

,,,1,2,3

k

gradAk

xxxx













故张量A的梯度可写

为

,

,1,2,3,1,2,3

ij

ijk

k

A

gradAAA

ijk















张量A的梯度具有27个分量

的量，即33个分量，属于三阶张量。

一阶张量（矢量）的散度是一个标量，二阶张量

的散度将是一个矢量。散度的定义为

3132132333

11211222

123123123

,,ij

k

A

AAAAA

AAAA

divAA

xxxxxxxxx

















在正交坐标系123

(,,)中，拉美系数为123

,,hhh时，二

阶张量的散度和变形率张量分量ij

D的公式为

22

33

123123

11

11

12311232

lnln

11

ij

k

kkkkkk

kk

ikkkk

A

hhhhhhhh

divAAAAAA

hhhhhhhh





































2211

12

112221

33

22

12

223332

333

111211

1211

333

33

2212

1133

2223312133

()()

()()

11

()(),

2

1111

,

22

hvhv

D

hhhh

hv

hv

D

hhhh

hvv

hvvvhh

DD

hhhhhhhhh

vv

vhvhv

DD

hhhhhh





































33

12

311232

hh

v

hhhh







若令;Xva为一并失（二阶张量），则有张量形式

的高斯定理为(;)(;)

A

vadnvadA





故将二阶张量分量记为ij

T，则又可写为

ij

Aiji

i

T

dTndA

x









