二项式展开公式

二项式定理

二项式知识回顾

1.二项式定理

0111()nnnknkknn

nnnn

abCaCabCabCb,

以上展开式共n+1项，其中k

n

C叫做二项式系数，

1

knkk

kn

TCab



叫做二项展开式的通项.

（请同学完成下列二项展开式）

0111()(1)(1)nnnkknkknnn

nnnn

abCaCabCabCb，

1

(1)kknkk

kn

TCab





01(1)nkknn

nnnn

xCCxCxCx①

1

110

nnnk

nnnk

axaxaxaxa



②

①式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012nn

nnn

CCC，即二项式系数和等于2n；

偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n

nnnn

CCCC

②式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.

2.二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，

即mnm

nn

CC.

（2）二项式系数k

n

C增减性与最大值：

当

1

2

n

k



时，二项式系数是递增的；当

1

2

n

k



时，二项式系数是递减的.

当n是偶数时，中间一项2

n

n

C取得最大值.当n是奇数时，中间两项1

2

n

n

C



和

1

2

n

n

C



相等，

且同时取得最大值.

3.二项展开式的系数a

0

,a

1

,a

2

,a

3

,…,a

n

的性质：f(x)=a

0

+a

1

x+a

2

x2+a

3

x3……+a

n

xn

⑴a0+a1+a2+a3……+an=f(1)

⑵a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(-1)

⑶a0+a2+a4+a6……=

2

)1()1(ff

⑷a1+a3+a5+a7……=

2

)1()1(ff

经典例题

1、“nba)(展开式：

例1．求4)

1

3(

x

x的展开式；

【练习1】求4)

1

3(

x

x的展开式

2.求展开式中的项

例2.已知在3

3

1

()

2

nx

x

的展开式中，第6项为常数项.

（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

【练习2】若

4

1

()

2

nx

x



展开式中前三项系数成等差数列.求：

（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.

3.二项展开式中的系数

例3.已知22

3()nxx的展开式的二项式系数和比(31)nx的展开式的二项式系数和大

992，求2

1

(2)nx

x

的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的

项

[练习3]已知*

2

2

()()nxnN

x

的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：

1.

(1)求展开式中含

3

2x的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

例4．72)2)(1xx（的展开式中，3x项的系数是；

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数

例5（04安徽改编）3)2

1

(

x

x的展开式中，常数项是；

6、求中间项

例6求（10

3

)

1

x

x的展开式的中间项；

例710

3

)

1

(

x

x的展开式中有理项共有项；

8、求系数最大或最小项

（1）特殊的系数最大或最小问题

例8（00上海）在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；

（2）一般的系数最大或最小问题

例9求8

4

)

2

1

(

x

x

展开式中系数最大的项；

（3）系数绝对值最大的项

例10在（7)yx的展开式中，系数绝对值最大项是；

9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和

例11．若4

4

3

3

2

210

4)32(xaxaxaxaax，则2

31

2

420

)()(aaaaa的值为；

【练习1】若20042

210

20042004...)21(xxaxaax，

则)(...)()(

200402010

aaaaaa；

【练习2】设

01

5

5

6

6

6...)12(axaxaxax，则

6210

...aaaa；

【练习3】92)

2

1

(

x

x展开式中9x的系数是；