排列组合a

的技巧．还是C排列组合用解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属

于排列问题还是组合问题，或者属于列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本

质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析同时还要注意讲究一些策略和方法技

巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略)利用计数原一、合理分类与准确分步

解含有约束条件的排列组合问题应按元素性质进行分类按事情发生的连续过分

步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。1、五个人

排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法(

77129分析：由题意可先安排甲，

并按其分类讨论）若甲在末尾，剩下四人可自由排P(4,4)=24种排法）若甲在第

二，三，四位上，则C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54排法，由分类计数原理，排法共

78种，解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）

的方法解答个不同小球放入编号的四个盒中，恰有一空盒的方法多少种

分析因恰有一空盒，故必有一盒子放两球）选：从四个球中个C(4,2种个盒

中个盒C(4,3种）排：把选出个球看作一个元素与其球个元素对选出盒作全排

列P(3,3)种故所求放法C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144

种。二、特殊元素与特殊位置优待对于有附加条件的排列组合问题，一

般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，考虑其它元素和位置，五个数字，

组成没有重复数字的三位数，其中偶数）有

6423分由于该三位数为偶数，

故末尾数字必为偶数，又因不能排首位，就是其中的“特殊”元素，应该优先安

排，排在末尾不排在末尾分两类排末尾时，P(4,2)=1个不排在末尾时，则

C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18个，个，3分数计数原理，共有偶马路上只路灯，

为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只关掉，但不能同时关掉相邻的

两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯法共有多少种分

析：表面上看关掉只灯的方法种，关第二只，第三只时需分类讨论十分复杂若从

反面入手考虑每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关的排列，于

是问题转化为“只亮灯个空中插只暗灯”的问题。故关灯方法C(4,3)=4数三、

插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，

再将不相邻元素在排好的元素之间及两端空隙中插入即可若要求甲、乙、丙不相

邻，则有多少种不同的排法人站成一排照相分析先将其余四人排好

P(4,4种排法，再在这人之间及两端个“空中选三个位置让甲乙丙插入，则P(5,3)

种方法，这样共P(4,4)*P(5,3)=144种同排法对于局部“小整体”的排

列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与余元素一同排列，然后在进

行局部排列人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法

分析把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其人个元作全排列，P(5,5)种

排法而甲乙丙之间又P(3,3)种排法故共P(5,5)*P(3,3)=720排法四、排除

对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不多

减，也不能少减例如在中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排

列C(4,1)P(4,2)=4个，排好后发不能排首位，而且数也不能排末位，这两个偶

数排法要除去，故C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=3)对等(五、顺序固定

问题用“除法对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素

与其他元素一同排列然后用总排列数除以这几个元素的全排列数个人排

队，甲、乙、丙三人按“----丙”顺序排的排队方法有少种分析不考虑附加条

件，排队方法P(6,6种，而其中甲、乙、丙种排法中只种P(6,6)/P(3,3)=120

一种符合条件。故符合条件的排法“挡板法六、构造模

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题

有多少组正整数解方a+b+c+d=1

分析：建立隔板模型：1个完全相同的球排成一列，在它们之间形成1个

隙中任意插块隔板，把球分堆，每一种分法所堆球的各堆球的数目，对应

C(11,3)=165的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共、1本相同的书

发给编号的三个学生阅览室，每个阅览室分的书的本数不小于其编号数，试求不

同分法的种数解：先号阅览室依次分本书本书；再对余下本书进行分配保

证每个阅览室至少得一本书，这相当于本相同书之间个“空档”内插块种插法板

共C(6,2)=1又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级，有多少种不

同的分配方法过转化后都可用此法解。七、分排问题“直排法把几个元素

排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一成一排的方法

来处理个人，则不同的坐法有多少种个人坐两排座位，第一个人，第二排

分析个人可以在前两排随意就坐再无其它条件故两排可看作一排来处理种不同

的坐法共P(7,7)=504八、构造方程或不等1：某赛季足球比赛的记分规

则是：胜一场分；平一场分；负一场分，若不考虑顺序，该队胜、负、平情况共

有3分。一球队打1场D.A.B.

C.3x+y=33(15-x-y场，由题意场，场，则解析：设该队15x+1y=33-3x

(因此，有以下三种情况A故x=9,y=6x=11,y=x=10,y=1、

把一2元面值的人民币换元元元面值的人民币，有多少不同的换法解：设

对换元的人民张元的人民张元的人民张

x+2y+5z=201种方法2，z=时x+2y=20,可以

种方法1，x+2y=15,时可以z=种方法1，z=时x+2y=10,可以

种方法z=时x+2y=5,可以y=0,种方法z=时x+2y=0,x=种

方法故共11+8+6+3+1=2

九、枚举法有些计数问题由于条件过多从排列或组合的角度思考不太方

便可以尝试用举法，枚举时也要按照一定的思路进行，才能做到不重不漏

1：某寝名同学各写了一张新年贺卡，先集中起来，然后每人从中取一张别人写

的贺卡，问有多少种不同的取法，各人取别人贺卡的不同取法可罗列成下表位同

学分别解：D同同A同BC同

1BADC

2BCDA

3BDAC

4CADB5CD

AB

6CDBA

7DABC

8DCAB

9DCBA

种不同的取法故共有．