菲涅尔公式

Chapter1理论基础

1.1介质中的Maxwell’quations及物质方程

微分形式

=

t

=J+

t

=

=0

B

E

D

H

D

B



































r

v

r

rr

r

g

r

g

（1-1）

传导电流密度J的单位为安培/米2(A/m2)，自由电荷密度的单位为库仑/米2(C/m2)。同时

有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）

0

0

=

=()

J=

DEEP

BHHM

E

























rr

vv

rrrr

r

v

（1-2）

麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情

况。因此，所有关于电磁波的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下

求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题

的关键及核心。

1.2积分形式及边界条件

由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E

v

、D

v

、B

v

、H

v

发生跃变，因此这些量的导数

往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell’quations，而必须由其积分

形式出发导出界面上的边界条件。

积分形式

0

LS

LS

S

S

d

EdlBdS

dt

d

HdlIDdS

dt

DdSQ

BdS







































rur

vv

gg

rur

r

vv

gg

ur

v

g

urur

g

Ñ

Ñ

Ò

Ò

（1-3）

得边界条件为

21

21

21

21

()0

()

()

()0

nEE

nHH

nDD

nBB



























vv

v

ur

vv

v

vv

v

r

v

v

（1-4）

式（1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）：

（1）电场强度矢量E

v

的切向分量连续，n

v

为界面的法向分量。

（2）

ur

为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，

ur

=0，此时H

v

的切向

分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。

（3）为界面上的自由电荷面密度。

（4）磁感应强度矢量B

r

的法向分量在界面上连续。

Chapter2电磁波在分层介质中的传播

2.1反射定律和折射定律

光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透

明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表

达式为

入射波

0

exp[()]

iiii

EEitkr

r

r

v

r

g

反射波

0

exp[()]

rrrr

EEitkr

r

rr

r

g

折射波

0

exp[()]

tttt

EEitkr

r

rr

r

g

界面两侧的总电场为：

100

20

exp[()]exp[()]

exp[()]

iriiirrr

tttt

EEEEitkrEitkr

EEEitkr



















rr

rrrrr

rr

r

rrr

r

由电场的边界条件

21

()0nEE

rr

r

，有

000

exp[()]exp[()]exp[()]

iiirrrttt

nEitkrnEitkrnEitkr

rrr

rrr

rrrrrr

欲使上式对任意的时间t和界面上r

r

均成立，则必然有：

irt

（1-5）

irt

krkrkr

rrr

rrr

（1-6）

可见，时间频率ω是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反

射而变化。

()0

()0

ri

ti

kkr

kkr















rr

r

rr

r（1-7）

由于r

r

可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量()

ri

kk

rr

和()

ti

kk

rr

均与界

面的法线n

r

平行，由此可以推知，

i

k

r

、

r

k

r

、

t

k

r

与n

r

共面，该平面称为入射面。由此可得出

结论：反射波和折射波均在入射面内。

上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得

cos()cos()cos()

222iirrtt

kkk



（1-8）

又由于

1

/

i

knc，

1

/

r

knc，

2

/

t

knc，得

12

()

sinsin

ir

it

nn















反射角等于入射角

（折射定律）

（1-9）

2.2菲涅耳公式

折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。而反射波、折射波和入

射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel公式来描述。

电场E

r

是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为‘s’

分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为‘p’分量。

首先研究入射波仅含‘s’分量和仅含‘p’分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，

则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加

即可得到结果。

（1）单独存在s分量的情形

首先规定：电场和磁场的s分量垂直于纸面，

向外为正，向内为负。

在界面上电场切向分量连续：

21

()0nEE

rr

r

另外由式（1-5）、（1-6），可得

000isrsts

EEE（2-1）

在界面上磁场的切向分量连续：

21

()0nHH

rr

r

注意

1

HkE





r

rr

，如图所示。所以同理有

000

coscoscos

ipirprtpt

HHH（2-2）

非磁性各向同性介质中E

r

、H

r

的数值之间的关系：

00

Bn

HE

c

EH

















rr

那么式（2-1）整理为

101020

coscoscos

isirsrtst

nEnEnE（2-3）

联立式（2-1）（2-3）可得

012

012

coscos

coscos

rsit

s

isit

Enn

r

Enn











01

012

2cos

coscos

tsi

s

isit

En

t

Enn









（2）单独存在p分量的情形

首先规定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。

根据E

r

、H

r

的边界条件得：

000isrsts

HHH

000

coscoscos

ipirprtpt

EEE

再利用E

r

、H

r

的数值关系以及正交性，得到

0

21

021

coscos

coscos

rp

it

p

ipit

E

nn

r

Enn











0

1

021

2cos

coscos

tp

i

p

ipit

E

n

t

Enn









综上所述，S波及P波的反射系数和透射系数的表达式为：

012

012

0

21

021

01

012

0

1

021

coscos

coscos

coscos

coscos

2cos

coscos

2cos

coscos

rsit

s

isit

rp

it

p

ipit

tsi

s

isit

tp

i

p

ipit

Enn

r

Enn

E

nn

r

Enn

En

t

Enn

E

n

t

Enn































































sin()

sin()

tan()

tan()

2cossin

sin()

2cossin

sin()cos()

it

s

it

it

p

it

it

s

it

it

p

itit

r

r

t

t































































上面左边的式子就是著名的Fresnel公式。利用折射定律，Fresnel公式还可以写成右边的形

式。

2.3反射波和透射波的性质

2.3.1n1

（1）反射系数和透射系数

①两个透射系数t

s

和t

p

都随着入射角

i

增大而单调降低，即入射波越倾斜，透射波越弱，

并且在正向规定下，t

s

和t

p

都大于零，即折射光不发生相位突变。

②r

s

始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波

电场的s分量振动方向始终与入射波s分量相反，既存在π相位突变（又称半波损失）。

③对于r

p

，它的代数值随着入射角

i

单调减小，但是经历了一个由正到负的变化。由公式

tan()

tan()

it

p

it

r











，当0

p

r时有90

it

o，即sincos

it

，又由折射定律

12

sinsin

it

nn，联立可得此时入射角为布儒斯特角

1

2

1

B

n

tg

n

。布儒斯特定律内容：

如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p分量，只

有s分量；反射角与折射角互为余角。

（2）反射率和透射率

上图中

i

A

r

A

t

A为波的横截面面积，

0

A为波投射在界面上的面积。若入射光波的强度为

is

I，

则每秒入射到界面上

0

A面积的能量为

0

cos

isisiisi

WIAIA

又由光强表达式

2

0

0

||

2

n

IE

c

，上式可写成

2

1

00

0

||cos

2isisi

n

WEA

c







类似地，反射光和折射光的能量表达式为

2

1

00

0

||cos

2rsrsi

n

WEA

c







2

2

00

0

||cos

2tstst

n

WEA

c







于是反射率和折射率分别为

2

2

2

1

||

coscos

||

coscos

rsrs

ss

isis

tsttst

ss

isiisi

WI

Rr

WI

WIn

Tt

WIn























类似地，当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反射率R

p

和透射率T

p

：

2

2

2

1

||

coscos

||

coscos

rprp

pp

ipip

tptp

tt

pp

ipiipi

WI

Rr

WI

WI

n

Tt

WIn























s

R与

s

T之间、

p

R与

p

T之间均存在‘互补’关系，即：

1

1

ss

pp

RT

RT











这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散

射、吸收等能量损失）。

当入射波同时含有s分量和p分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任

何时刻都有：

222||||||

iisip

EEE

r

从而有：

iisipiisip

IIIWWW

类似还有

rrsrp

WWW，

ttstp

WWW

可以定义反射率R和透射率T为：

r

i

W

R

W

，

t

i

W

T

W



注意：入射光波的s分量(p分量)只对折射率、反射率的s分量(p分量)有贡献。

如果入射波中s和p分量的强度比为α，

iisip

WWW，则有：

1

[]

1sp

RRR







和

1

[]

1sp

TTT







即R和T分别是

s

R、

p

R和

s

T、

p

T的加权平均。但是仍然有：1RT

正入射时，s分量和p分量的差异消失。若用R

0

和T

0

表示此时的反射率和透射率，则有：

22

12

00

12

()

nn

Rr

nn







以及

22

2

212

00

2

112

4

()

nnn

Tt

nnn





利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小(30

i

o

)的反射率和透射率。

2.3.2n1>n2的情况

这种情形即由光密媒质入射到光疏媒质的情形。

由折射定律可知，

ti



把90

t

o

所对应的入射角称为全反射临界角，用

c

表示。即2

1

sin

c

n

n



。

因此分ic



和ic



两种情况来讨论。

（1）当ic



时

此时

90

t

o

，可以直接用Fresnel公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n

1

2

的情形完全相同。

对于s分量来说，当ic



时，

0

s

r

，说明无半波损失，正如上图中的蓝线所示；对于

p分量来说，在iB



范围内，

0

p

r

，说明有半波损失，而在Bic



范围内，

0

p

r

，说明无半波损失。

注意

2

1

sintan

cB

n

n



，所以必然是Bc



，说明布儒斯特定律依然有效，同时也说

明无论是n

1

>n

2

还是n

1

2

的情形，布儒斯特定律都成立。

t

s

和t

p

均大于1，且随着i



的增大而增大，但是这不意味着透射率T大于1以及T必然随i



的增大而增大。

2

2

1

cos

||

cos

t

ss

i

n

Tt

n







2

2

1

cos

||

cos

t

pp

i

n

Tt

n







（2）当

ic

时

因为全反射临界角满足

2

1

sin

c

n

n



。由该式可见，当ic



时，会出现

2

1

sin

i

n

n



的现

象，这显然是不合理的。此时折射定律12

sinsin

it

nn不再成立。但是为了能够将菲

涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式1

2

sinsin

ti

n

n

。

由于t

在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。而

i

始终是实参量，为此

应将

cos

t

写成如下的虚数形式：

222

1

2

cos1sinsin1(sin)1

ttti

n

ii

n



有关

2

cos取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说明。将上式代入菲涅耳公式，

得到复反射系数

22

22

cossin

||exp()

cossin

ii

ssrs

ii

in

rri

in













%%

222

222

cossin

||exp()

cossin

ii

sprp

ii

nin

rri

nin













%%

并且有

||||1

sp

rr

%%

22

p

2

sin

tantan

22cos

r

i

rs

i

n

n













式中，

21

/nnn，是二介质的相对折射率；||

s

r

%

、

||

p

r

%

为反射光与入射光的s分量、p分

量光场振幅大小之比。

rs

、

rp

为全反射时，反射光中的s分量、p分量光场相对入射光的

相位变化。由上式可见，发生全反射时，反射光强等于入射光强，而反射光的相位变化较复

杂。他们之间的相位差由下式决定：

22

p

2

cossin

2arctan

sin

ii

rsr

i

n









因此，在n一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状

态。比如菲涅耳棱镜的原理。

当光由光密介质射向光疏介质，并在界面上发生全反射时，投射光强为零。这就有一个问题：

此时在光疏介质中有无光场呢？

当把t

s

、t

p

的Fresnel公式推广到复数域进行计算，将会发现t

s

、t

p

都不等于零，亦即光疏媒

质内有折射光波。在发生全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄的一层（约为光波波长）

范围内，这个波叫倏逝波。

现假设介质界面为xOy平面，入射面为xOz平面，则在一般情况下可将透射波场表示为

00

exp[()]exp[(sincos)]

tttttttttt

EEitkrEitkxkz

r

rrr

r

g

上式可改写为

2

1

0

2

exp[(sin(sin)1)]

tttttti

n

EEitkxikz

n



rr

2

11

0

22

exp[(sin)1]exp[(sin)]

tttitti

nn

EEkzitkx

nn



rr

这是一个沿着z方向振幅衰减，沿着界面x方向传播的非均匀波，也就是全反射的倏逝波。

由此可以说明前面讨论的正确性：只有

cos

t



取虚数形式，并且取正号，才可以得到客观上

存在的倏逝波。

倏逝波在入射波刚刚达到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波电磁场外，当达到稳定状

态之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿着界面处传播，不进入第二媒质内部。因而全

反射时Rs=1、t

s

≠0和R

p

=1、t

p

≠0并不违反能量守恒定律。

具体性质参看《物理光学与应用光学》P38

2.4Stocks倒逆关系

Stokes'reversiblerelation可以导出不同介质两侧折射系数、反射系数的关系。

如上左图所示，假设入射光束的振幅为A，相应反射光束与折射光束为Ar，At。再设一束振

幅为Ar的光束逆向传播（上右图中蓝色光束Ar）相应反射和折射分别是Arr、Art；再设一

束振幅为t的光束逆向传播（上右图中橙色光束At），相应反射和折射分别为Atr'、Att'。

由于最初的反射光行波和折射光行波r、t正逆抵消。则另外第二、第三象限的光束也抵消，

得到斯托克斯倒逆关系，即：

A'

A'0

rrAttA

rtAtr











（第二象限）

（第三象限）

整理后，得

2'1

'0

rtt

rr











r、t为从n1介质到n2介质入射时的反射和折射系数；r'、t'为从n2到n1介质入射时的反

射和折射系数。