三角形定义

定义

由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°,这个是个准确的数!）的封闭图

形叫做三角形

三角形的内角和

三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；

三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。

三角形分类

(1)按角度分

a.锐角三角形：三个角都小于90度。并不是有一个锐角的三角形，

而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。

b.直角三角形（简称Rt三角形）：

⑴直角三角形两个锐角互余；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边

等于斜边的一半.；

⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直

角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；

c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形，钝角三角形统称斜

三角形)。

d.证明全等时可用HL方法

（2）按角分

a.锐角三角形：三个角都小于90度。

b.直角三角形：有一个角等于90度。

c.钝角三角形：有一个角大于90度。

（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）

（3）按边分

不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。

解直角三角形（斜三角形特殊情况）：

勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，

5。他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等

等

三角形的性质

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的

任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合

一。

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直

角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）

等于与其不相邻的两个内角之和。

6.一个三角形最少有2个锐角。

7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这

个角的顶点和交点之间的线段。

8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。

9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系

（a^2+b^2=c^2。）

那么这个三角形就一定是直角三角形。

10.三角形的外角和是360°。

11.等底等高的三角形面积相等。

12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积

之比等于其底之比。

**13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的

3/4。

**14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

16.全等三角形对应边相等，对应角相等。

17.三角形的重心在三条中线的交点上。

**18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等

于60度。

（包括等边三角形）三角形的边角之间的关系

（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于

180°）；

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.

（注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠

②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三

边的一半)

**（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切

圆的圆心，它到各边的距离相等.

**（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的

交点，它到三个顶点的距离相等.

**（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距

离等于它到对边中点的距离的2倍。

（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。特殊

三角形

1.相似三角形

（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形

（2）相似三角形性质

相似三角形对应边成比例，对应角相等

相似三角形对应边的比叫做相似比

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比

若a、b、b、c成比例，即a:b=b:c，则称b是a和c的比例中项

（3）相似三角形的判定

【1】三边对应成比例则这两个三角形相似

【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似

【3】两角对应相等则两三角形相似

2.全等三角形

（四）、全等三角形

（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形的性质。

全等三角形对应角（边）相等。

全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面

积相等。

（3）全等三角形的判定

①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL(RT三角形)】

寻找全等三角形的对应角、对应边常用方法：

3.等腰三角形

等腰三角形的性质：

（1）两底角相等；

(2)两条腰相等；

（3）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

等腰三角形的判定：

（1）等角对等边；

（2）两底角相等；

4.等边三角形

等边三角形的性质：

（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。

等边三角形的判定：

（1）三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

三角形的面积公式

(1)S△=1/2ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）

(2)S△=1/2acsinB＝1/2bcsinA＝1/2absinC（三个角为∠A∠B∠C，

对边分别为a,b,c，参见三角函数）

(3)S△=√［p(p-a)(p-b)(p-c)］［p=1/2(a+b+c)］（海伦—秦九韶

公式）

(4)S△=abc/(4R)(R是外接圆半径)

(5)S△=1/2(a+b+c)r(r是内切圆半径)

(6)...........|ab1|

S△=1/2|cd1|

............|ef1|

［|ab1|....|cd1|....|ef1|为三阶行列式,此三角形

ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d),C(e,f),这里ABC选区取最好按

逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果

不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取绝对值就可以了，不会影响

三角形面积的大小］

(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)

(8)S正△=[（√3）/4]a^2(正三角形面积公式，a是三角形的边长)

[海伦公式(3)特殊情况]

三角形重要定理

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于

斜边长的平方。

几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB²+BC²=AC²

勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平

方，则这个三角形是直角三角形

几何语言：若△ABC满足，则∠ABC=90°。

[3]

正弦定理

内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面

积的两倍与三边边长和的乘积之比

几何语言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc

结合三角形面积公式，可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外

接圆半径）

余弦定理

内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和

减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦

几何语言：在△ABC中，a²=b²+c²-2bc×cosA

此定理可以变形为：cosA=（b²+c²-a²）÷2bc

生活中的三角形物品

雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形

的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、

金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥

等。

三角形全等的条件注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等，

也不可以用“SSA”

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“SSS”。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成

“AAS”。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成

“HL”。

全等三角形的性质

全等三角形的对应角相等，对应边也相等，并且全等三角形能重合。

三角形中的线段

中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形的面积.

高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作

的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。

角平分线:平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线,它

到两边距离相等。(注:一个角的平分线是射线,平分线的所在直线是这个角

的对称轴)

中位线：任意两边中点的连线。

三角形相关定理

中位线定理

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

三边关系定理

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

勾股定理(又称毕达哥拉斯定理）

在Rt三角形ABC中，A=90度，则

AB^2+AC^2=BC^2

****梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、

E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

证明：

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延

长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利

用这个逆定理，可以判断三点共线。

*****塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点，

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①

而由△ABD被直线COF所截，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△C

OD)=S△AOB/S△AOC③

同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

*****莫利定理

将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个

交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫

利正三角形。

三角函数

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一

类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷

数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它由于三角函数的

周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数、但具有特殊的反三角函数

(如：arcsin)，三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角

函数也是常用的工具。

三角函数种类

包含六种基本函数：正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、

正割(c)、余割(csc)。