微分方程通解

第六节二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性

微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数

如果y

1

、y

2

是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC

1

y

1

C

2

y

2

就是它的通解

我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程

ypyqy0

得

(r2prq)erx0

由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解

特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r

1

、r

2

可用公

式

求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r

1

、r

2

时函数xrey1

1

、xrey2

2

是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数xrey1

1

、xrey2

2

是方程的解又xrr

xr

xr

e

e

e

y

y

)(

2

1

21

2

1不是常数

因此方程的通解为

xrxreCeCy21

21



(2)特征方程有两个相等的实根r

1

r

2

时函数xrey1

1

、xrxey1

2

是二阶常系数齐次线性微分方程的

两个线性无关的解

这是因为xrey1

1

是方程的解又

0)()2(

1

2

11

11qprrxeprexrxr

所以

xrxey1

2

也是方程的解且x

e

xe

y

y

xr

xr



1

1

1

2

不是常数

因此方程的通解为

xrxrxeCeCy11

21



(3)特征方程有一对共轭复根r

1,2

i时函数ye(

i)

x、ye(

i)

x是微分方程的两个线性无关的复数

形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y

1

e(

i)

x和y

2

e(

i)

x都是方程的解而由欧拉公式得

y

1

e(

i)

xex(cosxisinx)

y

2

e(

i)

xex(cosxisinx)

y

1

y

2

2excosx)(

2

1

cos

21

yyxex



y

1

y

2

2iexsinx)(

2

1

sin

21

yy

i

xex



故excosx、y

2

exsinx也是方程解

可以验证y

1

excosx、y

2

exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

yex(C

1

cosxC

2

sinx)

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步写出微分方程的特征方程

r2prq0

第二步求出特征方程的两个根r

1

、r

2



第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解

例1求微分方程y2y3y0的通解

解所给微分方程的特征方程为

r22r30即(r1)(r3)0

其根r

1

1r

2

3是两个不相等的实根因此所求通解为

yC

1

e

xC

2

e3

x

例2求方程y2yy0满足初始条件y|

x0

4、y|

x0

2的特解

解所给方程的特征方程为

r22r10即(r1)20

其根r

1

r

2

1是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为

y(C

1

C

2

x)e

x

将条件y|

x0

4代入通解得C

1

4从而

y(4C

2

x)e

x

将上式对x求导得

y(C

2

4C

2

x)e

x

再把条件y|

x0

2代入上式得C

2

2于是所求特解为

x(42x)e

x

例3求微分方程y2y5y0的通解

解所给方程的特征方程为

r22r50

特征方程的根为r

1

12ir

2

12i是一对共轭复根

因此所求通解为

yex(C

1

cos2xC

2

sin2x)

n阶常系数齐次线性微分方程方程

y(

n

)p

1

y(

n

1)p

2

y(

n

2)p

n1

yp

n

y0

称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p

1

p

2

p

n1

p

n

都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微

分方程上去

引入微分算子D及微分算子的n次多项式

L(D)=Dnp

1

Dn

1p

2

Dn

2p

n1

Dp

n



则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(Dnp

1

Dn

1p

2

Dn

2p

n1

Dp

n

)y0或L(D)y0

注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(

n

)

分析令yerx则

L(D)yL(D)erx(rnp

1

rn

1p

2

rn

2p

n1

rp

n

)erxL(r)erx

因此如果r是多项式L(r)的根则yerx是微分方程L(D)y0的解

n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L(r)rnp

1

rn

1p

2

rn

2p

n1

rp

n

0

称为微分方程L(D)y0的特征方程

特征方程的根与通解中项的对应

单实根r对应于一项Cerx

一对单复根r

1



2

i对应于两项ex(C

1

cosxC

2

sinx)

k重实根r对应于k项erx(C

1

C

2

xC

k

xk

1)

一对k重复根r

1



2

i对应于2k项

ex[(C

1

C

2

xC

k

xk

1)cosx(D

1

D

2

xD

k

xk

1)sinx]

例4求方程y(4)2y5y0的通解

解这里的特征方程为

r42r35r20即r2(r22r5)0

它的根是r

1

r

2

0和r

3



4

12i

因此所给微分方程的通解为

yC

1

C

2

xex(C

3

cos2xC

4

sin2x)

例5求方程y(4)4y0的通解其中0

解这里的特征方程为

r440

它的根为)1(

22,1

ir



)1(

24,3

ir





因此所给微分方程的通解为

)

2

sin

2

cos(

21

2xCxCey

x



)

2

sin

2

cos(

43

2xCxCe

x









二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程方程

ypyqyf(x)

称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程

的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和

yY(x)y*(x)

当f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法

一、f(x)P

m

(x)ex型

当f(x)P

m

(x)ex时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为y*Q(x)ex将

其代入方程得等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P

m

(x)

(1)如果不是特征方程r2prq0的根则2pq0要使上式成立Q(x)应设为m次多项式

Q

m

(x)b

0

xmb

1

xm

1b

m1

xb

m



通过比较等式两边同次项系数可确定b

0

b

1

b

m

并得所求特解

y*Q

m

(x)ex

(2)如果是特征方程r2prq0的单根则2pq0但2p0要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P

m

(x)

成立Q(x)应设为m1次多项式

Q(x)xQ

m

(x)

Q

m

(x)b

0

xmb

1

xm

1b

m1

xb

m



通过比较等式两边同次项系数可确定b

0

b

1

b

m

并得所求特解

y*xQ

m

(x)ex

(3)如果是特征方程r2prq0的二重根则2pq02p0要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P

m

(x)

成立Q(x)应设为m2次多项式

Q(x)x2Q

m

(x)

Q

m

(x)b

0

xmb

1

xm

1b

m1

xb

m



通过比较等式两边同次项系数可确定b

0

b

1

b

m

并得所求特解

y*x2Q

m

(x)ex

综上所述我们有如下结论如果f(x)P

m

(x)ex则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)

有形如

y*xkQ

m

(x)ex

的特解其中Q

m

(x)是与P

m

(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征

方程的的重根依次取为0、1或2

例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数f(x)是P

m

(x)ex型(其中P

m

(x)3x10)

与所给方程对应的齐次方程为

y2y3y0

它的特征方程为

r22r30

由于这里0不是特征方程的根所以应设特解为

y*b

0

xb

1



把它代入所给方程得

3b

0

x2b

0

3b

1

3x1

比较两端x同次幂的系数得











132

33

10

0

bb

b

3b

0

32b

0

3b

1

1

由此求得b

0

1

3

1

1

b于是求得所给方程的一个特解为

3

1

*xy

例2求微分方程y5y6yxe2

x的通解

解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且f(x)是P

m

(x)ex型(其中P

m

(x)x2)

与所给方程对应的齐次方程为

y5y6y0

它的特征方程为

r25r60

特征方程有两个实根r

1

2r

2

3于是所给方程对应的齐次方程的通解为

YC

1

e2

xC

2

e3

x

由于2是特征方程的单根所以应设方程的特解为

y*x(b

0

xb

1

)e2

x

把它代入所给方程得

2b

0

x2b

0

b

1

x

比较两端x同次幂的系数得











02

12

10

0

bb

b

2b

0

12b

0

b

1

0

由此求得

2

1

0

bb

1

1于是求得所给方程的一个特解为

xexxy2)1

2

1

(*

从而所给方程的通解为

xxxexxeCeCy223

2

2

1

)2(

2

1



提示

y*x(b

0

xb

1

)e2

x(b

0

x2b

1

x)e2

x

[(b

0

x2b

1

x)e2

x][(2b

0

xb

1

)(b

0

x2b

1

x)2]e2

x

[(b

0

x2b

1

x)e2

x][2b

0

2(2b

0

xb

1

)2(b

0

x2b

1

x)22]e2

x

y*5y*6y*[(b

0

x2b

1

x)e2

x]5[(b

0

x2b

1

x)e2

x]6[(b

0

x2b

1

x)e2

x]

[2b

0

2(2b

0

xb

1

)2(b

0

x2b

1

x)22]e2

x5[(2b

0

xb

1

)(b

0

x2b

1

x)2]e2

x6(b

0

x2b

1

x)e2

x

[2b

0

4(2b

0

xb

1

)5(2b

0

xb

1

)]e2

x[2b

0

x2b

0

b

1

]e2

x

方程ypyqyex[P

l

(x)cosxP

n

(x)sinx]的特解形式

应用欧拉公式可得

ex[P

l

(x)cosxP

n

(x)sinx]

xixiexPexP)()()()(

其中)(

2

1

)(iPPxP

nl

)(

2

1

)(iPPxP

nl

而mmax{ln}

设方程ypyqyP(x)e(

i)

x的特解为y

1

*xkQ

m

(x)e(

i)

x

则

)(

1

)(*i

m

kexQxy

必是方程)()(iexPqyypy







的特解

其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1

于是方程ypyqyex[P

l

(x)cosxP

n

(x)sinx]的特解为

xkex[R(1)

m

(x)cosxR(2)

m

(x)sinx]

综上所述我们有如下结论

如果f(x)ex[P

l

(x)cosxP

n

(x)sinx]则二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)

的特解可设为

y*xkex[R(1)

m

(x)cosxR(2)

m

(x)sinx]

其中R(1)

m

(x)、R(2)

m

(x)是m次多项式mmax{ln}而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程

的单根依次取0或1

例3求微分方程yyxcos2x的一个特解

解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

且f(x)属于ex[P

l

(x)cosxP

n

(x)sinx]型(其中02P

l

(x)xP

n

(x)0）

与所给方程对应的齐次方程为

yy0

它的特征方程为

r210

由于这里i2i不是特征方程的根所以应设特解为

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

把它代入所给方程得

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x

比较两端同类项的系数得

3

1

ab0c0

9

4

d

于是求得一个特解为xxxy2sin

9

4

2cos

3

1

*

提示

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x

(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x

y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x

(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x

y*y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x

由



















034

03

043

13

da

c

cb

a

得

3

1

ab0c0

9

4

d