共面直线

立体几何中的共点、共线、共面问题

一、共线问题

例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一

点O，求证：

(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；

(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR

∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.

例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。

二、共面问题

例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，

求证：直线a、b、c、m、n共面.

例5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.

求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内

例6.已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、

N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.

例7.在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足

MB

AM

＝

NB

CN

＝

QD

AQ

＝

PD

CP

＝k.

(1)求证：M、N、P、Q共面.

(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b

表示)

三、共点问题

例8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.

1、(1)证明：∵AA1∩BB1＝O,

∴AA1、BB1确定平面BAO，

∵A、A1、B、B1都在平面ABO内，

∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.

同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在

两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

2证明：如图，设AB∩A1B1＝P；

AC∩A1C1＝R；

∴面ABC∩面A1B1C1＝PR.

∵BC面ABC；B1C1面A1B1C1，

且BC∩B1C1＝Q∴Q∈PR,

即P、R、Q在同一直线上.

3解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点

∴过A、B、C有一个平面

又ABPAB且,

.,,lplP则设内内又在既在点

.,,

,:

三点共线

同理可证

RQP

lRlQ





4解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直

线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.

∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可证nα.

∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证mβ.

∵平面α、β都经过相交直线b、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.

5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，

然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l1∩l2＝P，

∴l1,l2确定平面α.

又l1∩l3＝A,l2∩l3＝C,∴C,A∈α.

故l3α.

同理l4α.

∴l1,l2,l3,l4共面.

图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.

所以结论成立.

6、证明如图，连结MN、NR，则MN∥l1,NR∥l2，且M、N、R不在同一直线上(否则，

根据三线平行公理，知l1∥l2与条件矛盾).∴MN、NR可确定平面β，连结B1C2，取

其中点S.连RS、ST，则RS∥l2，又RN∥l2，∴N、R、S三点共线.即有S∈β，又

ST∥l1，MN∥l1，∴MN∥ST，又S∈β，∴STβ.

∴M、N、R、T四点共面.

7解析：(1)∵

MB

AM

＝

QD

AQ

＝k

∴MQ∥BD，且

MBAM

AM



＝

1k

k

∴

BD

MQ

＝

AB

AM

＝

1k

k

∴MQ＝

1k

k

BD

又

NB

CN

＝

PD

CP

＝k

∴PN∥BD，且

NBCN

CN



＝

1k

k

∴

BD

NP

＝

CB

CN

＝

1k

k

从而NP＝

1k

k

BD

∴MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.

(2)∵

MA

BM

＝

k

1

，

NC

BN

＝

k

1

∴

MA

BM

＝

NC

BN

＝

k

1

,

MABM

BM



＝

1

1

k

∴MN∥AC，又NP∥BD.

∴MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.

∵MNPQ是正方形，∴∠MNP＝90°

∴AC与BD所成的角为90°，

又AC＝a，BD＝b，

AC

MN

＝

BA

BM

＝

1

1

k

∴MN＝

1

1

k

a

又MQ＝

1

1

k

b,且MQ＝MN，

1k

k

b＝

1

1

k

a，即k＝

b

a

.

说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.

已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.

求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.

证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b

∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.

(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b

而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点

又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.

(2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且aα，aγ

∴a∥c且a∥b

∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.

由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.