xcscx泰勒展开公式推导
泰勒(Taylor)公式,被某本数分书称作一元函数微分学的顶峰,
我深以为然。Taylor将光滑函数在参考点用任意阶多项式近似的方
案,往小了说可以解决数分/高数中各种求极限作业题,往大了说即
便是最前沿的论文,这一函数近似也是家常便饭般在不同场合按需使
用着,可以说是行走江湖必备神器。我之所以想到做这个整理,也正
是在阅读优化领域的论文时发现自己对向量值函数的Taylor公式及
其积分余项还不够熟练,所以干脆就追根溯源,把这个基础工具彻底
整理一次。
推导过程:
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+......+f^(n)x^n/n!+......
则(1+x)^α=1+αx+α(α-1)x^2/2!
+..+α(α-1)...(α-n+1)x^n/n!+......,x∈(-1,1)。
令α=-1,得1/(1+x)=1-x+x^2-......+(-1)^nx^n+......,x∈
(-1,1),将x换为-x,得1/(1-x)=1+x+x^2+......+x^n+......,x∈
(-1,1)。
当|x|<1时,1+x+x^2+x^3+..+x^n+....=1/(1-x).
1/(1-x)的麦克劳林展开式,也就是在零点的泰勒展开,就是那
个无穷级数。可以拿泰勒公式直接计算出来。
事实上,1-x^n,n趋于无穷时,在x的定义域内,等于1,而
1-x^n=(1-x)(1+x+..x^(n-1)),n,1/(1-x)=1+x+...+x^n+...
本文发布于:2022-11-11 22:55:44,感谢您对本站的认可!
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