二项分布公式

二项分布概念及图表

二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发

生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验

中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

中文名二项分布外文名BinomialDistribution

提出者伯努利涉及实验伯努利试验；两点分布

属于

概率论与数理统计应用学科大气科学；气候学；计算机科学

目录

1定义

▪统计学定义

▪医学定义

2概念

3性质

4图形特点

5应用条件

6应用实例

定义

统计学定义

在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每

次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当

时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

医学定义

在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量

（dichotomousvariable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传

染源的感染与未感染等。二项分布（binomialdistribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型

随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种

试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoullitrial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为

的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)

二项分布公式

式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努

里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial

coefficient）。

所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。

概念

二项分布（BinomialDistribution），即重复n次的伯努利试验（BernoulliExperiment），用ξ

表示随机试验的结果。

二项分布公式

如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是

P(ξ=K)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括

号里的是上标，表示的是方幂。

那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p)

期望：Eξ=np；

方差：Dξ=npq；

其中q=1-p

证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试

验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布

随机变量之和。

设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).

因X(k)相互独立，所以期望：

方差：

证毕。

如果

1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；

2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；

3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。

在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。二项分布可

二项分布

以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，

应用二项分布可以得到通过试验的概率。

若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。

C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。

性质

（一）二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。因为x为不连续变量，用概率条图表示

更合适，用直方图表示只是为了更形象些。

1．当p=q时图形是对称的

例如，，p=q=1/2，各项的概率可写作：

2．当p≠q时，直方图呈偏态，pq的偏斜方向相反。如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐

降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。故当n很大时，二项分布的概率可用正态

分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定：当pq且nq≥5，这时的n就被

认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。

（二）二项分布的平均数与标准差

如果二项分布满足pq，np≥5)时，二项分布接近正态分布。这时，也仅仅在

这时，二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质：

即x变量具有μ=np，的正态分布。

式中n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1-p。由于n很大时二项分布逼近正态分布，

其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。它们的含意是指在二项

试验中，成功的次数的平均数μ=np，成功次数的分散程。例如一个掷10枚硬币的试验，出现

正面向上的平均次数为5次(μ=np=)，正面向上的散布程度为√10×（1/2）×（1/2)=1.58(次)，这是

根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，

正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1.58。

图形特点

（1）当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值；

（2）当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。

注：[x]为不超过x的最大整数。

应用条件

1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。

2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从

大量观察中获得比较稳定的数值。

二项分布公式

3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结

果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。

应用实例

二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验

或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造

成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。

下面给出一个例子。

已知有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出

于猜测因素?

分析：此题，即猜对猜错的概率各为0.5。，故此二项分布接近正态分布：

根据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下包含了全体的95%。如果用原分数表示，则为

它的意义是，完全凭猜测，10题中猜对8题以下的可能性为95%，猜对8、9、10题的概率只

5%。因此可以推论说，答对8题以上者不是凭猜测，而是会答。但应该明确：作此结论，也仍然有

犯错误的可能，即那些完全靠猜测的人也有5%的可能性答对8、9、10道题。

此题的概率值，还可用二项分布函数直接计算，亦得与正态分布近似的结果：

b(8100.5)=10*9/2*0.58*0.52=45/1024

b(9100.5)=10*0.59*0.51=10/1024

b(10100.5)=1/1024

根据概率加法，答对8题及其以上的总概率为：45/1024+10/1024+1/1024=56/1024=0.0547同

理，可计算8题以下的概率为95%。(近似)



附表1二项分布表

P{Xx}

⎛

n

⎛

pk(1p)nk

k

k0⎛

k

⎛

nx

p

0.0010.0020.0030.0050.010.020.030.050.100.150.200.250.30

200.998

0

0.99600.99400.99000.98010.96040.94090.90250.81000.72250.64000.56250.4900

211.00001.00001.00001.00000.99990.99960.99910.99750.99000.97750.96000.93750.9100

300.997

0

0.99400.99100.98510.97030.94120.91270.85740.72900.61410.51200.42190.3430

311.00001.00001.00000.99990.99970.99880.99740.99280.97200.93930.89600.84380.7840

321.00001.00001.00001.00000.99990.99900.99660.99200.98440.9730

400.996

0

0.99200.98810.98010.96060.92240.88530.81450.65610.52200.40960.31640.2401

411.00001.00000.99990.99990.99940.99770.99480.98600.94770.89050.81920.73830.6517

421.00001.00001.00001.00000.99990.99950.99630.98800.97280.94920.9163

431.00001.00000.99990.99950.99840.99610.9919

500.995

0

0.99000.98510.97520.95100.90390.85870.77380.59050.44370.32770.23730.1681

511.00001.00000.99990.99980.99900.99620.99150.97740.91850.83520.73730.63280.5282

521.00001.00001.00000.99990.99970.99880.99140.97340.94210.89650.8369

531.00001.00001.00000.99950.99780.99330.98440.9692

541.00000.99990.99970.99900.9976

600.994

0

0.98810.98210.97040.94150.88580.83300.73510.53140.37710.26210.17800.1176

611.00000.99990.99990.99960.99850.99430.98750.96720.88570.77650.65540.53390.4202

621.00001.00001.00001.00000.99980.99950.99780.98420.95270.90110.83060.7443

631.00001.00000.99990.99870.99410.98300.96240.9295

641.00000.99990.99960.99840.99540.9891

651.00001.00000.99990.99980.9993

700.993

0

0.98610.97920.96550.93210.86810.80800.69830.47830.32060.20970.13350.0824

711.00000.99990.99980.99950.99800.99210.98290.95560.85030.71660.57670.44490.3294

721.00001.00001.00001.00000.99970.99910.99620.97430.92620.85200.75640.6471

731.00001.00000.99980.99730.98790.96670.92940.8740

741.00000.99980.99880.99530.98710.9712

751.00000.99990.99960.99870.9962

761.00001.00000.99990.9998

800.992

0

0.98410.97630.96070.92270.85080.78370.66340.43050.27250.16780.10010.0576

811.00000.99990.99980.99930.99730.98970.97770.94280.81310.65720.50330.36710.2553

x

821.00001.00001.00000.99990.99960.99870.99420.96190.89480.79690.67850.5518

831.00001.00000.99990.99960.99500.97860.94370.88620.8059

841.00001.00000.99960.99710.98960.97270.9420

851.00000.99980.99880.99580.9887

861.00000.99990.99960.9987

871.00001.00000.9999

900.99100.98210.97330.95590.91350.83370.76020.630

2

0.38740.23160.13420.07510.0404

911.00000.99990.99970.99910.99660.98690.97180.92880.77480.59950.43620.30030.1960

921.00001.00001.00000.99990.99940.99800.99160.94700.85910.73820.60070.4628

931.00001.00000.99990.99940.99170.96610.91440.83430.7297

941.00001.00000.99910.99440.98040.95110.9012

950.99990.99940.99690.99000.9747

961.00001.00000.99970.99870.9957

971.00000.99990.9996

981.00001.0000

1000.99000.98020.970

4

0.95110.90440.81710.73740.59870.34870.19690.10740.05630.0282

1011.00000.99980.99960.99890.99570.98380.96550.91390.73610.54430.37580.24400.1493

1021.00001.00001.00000.99990.99910.99720.98850.92980.82020.67780.52560.3828

1031.00001.00000.99990.999

0

0.98720.95000.87910.77590.6496

1041.00000.99990.99840.99010.96720.92190.8497

1051.00000.99990.99860.99360.98030.9527

1061.00000.99990.99910.99650.9894

1071.00000.99990.99960.9984

1081.00001.00000.9999

1091.0000

1100.98910.97820.96750.94640.89530.80070.71530.56880.31380.16730.08590.04220.0198

1110.99990.99980.99950.99870.99480.98050.95870.89810.69740.49220.32210.19710.1130

1121.00001.00001.00001.00000.99980.99880.99630.98480.91040.77880.61740.45520.3127

1131.00001.00000.99980.99840.98150.93060.83890.71330.5696

1141.00000.99990.99720.98410.94960.88540.7897

1151.00000.99970.99730.98830.96570.9218

1161.00000.99970.99800.99240.9784

1171.00000.99980.99880.9957

1181.00000.99990.9994

1191.00001.0000

1200.98810.97630.96460.94160.88640.78470.69380.540

4

0.28240.14220.06870.03170.0138

1210.99990.99970.99940.99840.99380.97690.95140.88160.65900.44350.27490.15840.0850

1221.00001.00001.00001.00000.99980.99850.99520.980

4

0.88910.73580.55830.39070.2528

1231.00000.99990.99970.99780.97440.90780.79460.64880.4925

1241.00001.00000.99980.99570.97610.92740.84240.7237

1251.00000.99950.99540.98060.94560.8822

1260.99990.99930.99610.98570.9614

1271.00000.99990.99940.99720.9905

1281.00000.99990.99960.9983

1291.00001.00000.9998

12101.0000

1300.98710.97430.96170.93690.87750.76900.67300.51330.25420.12090.05500.02380.0097

1310.99990.99970.99930.99810.99280.97300.94360.86460.62130.39830.23360.12670.0637

1321.00001.00001.00001.00000.99970.99800.99380.97550.86610.69200.50170.33260.2025

1331.00000.99990.99950.99690.96580.88200.74730.58430.4206

1341.00001.00000.99970.99350.96580.90090.79400.6543

1351.00000.99910.99250.97000.91980.8346

1360.99990.99870.99300.97570.9376

1371.00000.99980.99880.99440.9818

1381.00000.99980.99900.9960

1391.00000.99990.9993

13101.00000.9999

13111.0000

1400.98610.97240.95880.93220.86870.75360.65280.48770.22880.10280.04400.01780.0068

1410.99990.99960.99920.99780.99160.96900.93550.847

0

0.58460.35670.19790.10100.0475

1421.00001.00001.00001.00000.99970.99750.99230.96990.84160.64790.44810.28110.1608

1431.00000.99990.99940.99580.95590.85350.69820.52130.3552

1441.00001.00000.99960.99080.95330.87020.74150.5842

1451.00000.99850.98850.95610.88830.7805

1460.99980.99780.98840.96170.9067

1471.00000.99970.99760.98970.9685

1481.00000.99960.99780.9917

1491.00000.99970.9983

14101.00000.9998

14111.0000

1500.98510.97040.95590.92760.86010.73860.63330.46330.20590.08740.03520.01340.0047

1510.99990.99960.99910.99750.99040.96470.92700.829

0

0.54900.31860.16710.08020.0353

1521.00001.00001.00000.99990.99960.99700.99060.96380.81590.60420.39800.23610.1268

1531.00001.00000.99980.99920.99450.94440.82270.64820.46130.2969

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0

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2

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0

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1961.00000.99830.98370.93240.82510.6655

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2021.00001.00001.00000.99990.99900.99290.97900.92450.67690.40490.20610.09130.0355

2031.00001.00000.99940.99730.98410.86700.64770.41140.22520.1071

2041.00000.99970.99740.95680.82980.62960.41480.2375

2051.00000.99970.98870.93270.80420.61720.4164

2061.00000.99760.97810.91330.78580.6080

2070.99960.99410.96790.89820.7723

2080.99990.99870.99000.95910.8867

2091.00000.99980.99740.98610.9520

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2510.99970.99880.99740.99310.97420.91140.82800.64240.27120.09310.02740.00700.0016

2521.00001.00000.99990.99970.99800.98680.96200.87290.53710.25370.09820.03210.0090

2531.00001.00000.99990.99860.99380.96590.76360.47110.23400.09620.0332

2541.00000.99990.99920.99280.90200.68210.42070.21370.0905

2551.00000.99990.99880.96660.83850.61670.37830.1935

2561.00000.99980.99050.93050.78000.56110.3407

2571.00000.99770.97450.89090.72650.5118

查表方法：本表对于n、p、x给出二项分布函数P（x；n，p）的数值。

例：对于n=11，p=0.02和x=0，P（x；n，p）=0.8007。